5.1.2 数据的数字特征
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用．2．会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题．
1.通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养．2．通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
知识点?
平均数
1．定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
这一公式在数学中常简记为＝i．
2．求和符号∑具有的性质
(1)(xi＋yi)＝i＋i．
(2)(kxi)＝ki．
(3)＝nt．
3．如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是a＋B．
思考1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符号∑表示？
(2)如何证明(kxi)＝ki?
提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝i．
(2)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn
＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝ki．
知识点?
中位数
1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数．
2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．
知识点?
百分位数
1．定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．
2．计算方法：
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
思考2：中位数和百分位数的关系是什么？
提示：中位数是50%分位数．
知识点?
众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
知识点?
极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
知识点?
方差与标准差
(1)如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差s2＝(xi－)2，方差的算术平方根称为标准差．
(2)如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．
思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？
(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？
提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．
(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
最值、平均数、众数的确定
┃┃典例剖析__■
典例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元
8
000
5
000
4
000
2
000
1
000
800
700
员工/人
1
2
5
8
20
12
2
(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；
(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？
[解析] (1)该公司员工月工资的最大值为8
000元，最小值为700元，众数为1
000元．平均数为(8
000×1＋5
000×2＋4
000×5＋2
000×8＋1
000×20＋800×12＋700×2)＝1
700(元)．
(2)用众数，因为最大值为8
000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1
000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．
规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数．
2．平均数的求法
(1)用定义式；
(2)用平均数的性质；
(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝x1＋x2＋…＋xk．
┃┃对点训练__■
1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲班
1
6
12
11
15
5
乙班
3
5
15
3
13
11
选用平均数与众数评估这两个班的成绩．
[解析] 甲班平均数为(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，
乙班平均数为(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，
从平均分看成绩较好的是乙班；
甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班．
题型?
中位数、百分位数的计算
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；
(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．
乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．
求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．
[解析] (1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是＝7.5．
(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，
因此，甲运动员得分的25%分位数为＝＝22.5，
甲运动员得分的75%分位数为＝＝38，
甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．
乙运动员得分的25%分位数为＝＝15，
乙运动员得分的75%分位数为＝＝34.5，
乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．
规律方法：1.求中位数的一般步骤
(1)把数据按大小顺序排列．
(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．
2．求百分位数的一般步骤
(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn．
(2)计算：求i＝np%的值．
(3)求值：
分数
p%分位数
i不是整数
xi0，其中i0为大于i的最小整数
i是整数
┃┃对点训练__■
2．确定数据0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数．
[解析] 因为数据已从小到大排列，共有20个．
而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，
i2＝20×75%＝15是整数，
因此，此数据的28%分位数为x6＝1,75%分位数为＝＝12．
题型?
极差、方差、标准差的计算
┃┃典例剖析__■
典例3 已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．
(1)求极差；
(2)求方差；
(3)求标准差．
[解析] (1)最大值为6，最小值为2，极差为4．
(2)可将数据整理为
x
2
3
4
5
6
频数
3
4
5
6
2
每一个数都减去4可得
x－4
－2
－1
0
1
2
频数
3
4
5
6
2
这组数的平均数与方差分别为
×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，
×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝．
因此，所求平均值为4，方差为．
(3)由(2)知标准差为．
规律方法：求方差的基本方法
(1)先求平均值，再代入公式s2＝(xi－)2，或s2＝－2．
(2)用性质．
(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2．
┃┃对点训练__■
3．(1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( A )
A．6
B．
C．66
D．6.5
(2)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( C )
A．8
B．15
C．16
D．32
[解析] (1)因为＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，所以x＝5．
方差为s2＝
＝＝6．
(2)样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则而样本数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16．
题型?
分层抽样的方差
┃┃典例剖析__■
典例4 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
[解析] 设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为
甲＝＝80.5(分)，
s＝＝500．
设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为
乙＝＝85(分)，
s＝＝360．
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为
＝＝＝82.5(分)，
方差s2＝
＝
＝≈442.78．
规律方法：若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2，则样本的均值为＝，方差为．
┃┃对点训练__■
4．在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差．
[解析] 由题意知男＝170，s＝16，女＝165，s＝25，则＝≈167.86，s2＝
≈25.98．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况：
甲：4
14
14
24
25
31
32
35
36
36
39
45
49
乙：8
12
15
18
23
27
25
32
33
34
41
则甲、乙得分的中位数之和是( B )
A．56分
B．57分
C．58分
D．59分
[错解] D 因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59．
[辨析] 本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误．因此理解样本的数字特征的含义较为重要．
[正解] 由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分．
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8
-5.1.3 数据的直观表示
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能根据所给数据和需要作出统计图．能根据统计图提供的信息，解决实际问题．2．了解频数与频率的关系．会列频数、频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图及其折线图．3．能利用直方图估计数据的数字特征．
1.通过对各种统计图的认识与应用，提升学生的数据分析素养．2．通过对样本的频数、频率分布直方图及其频率折线图的学习，提升学生的数据分析、逻辑推理素养．
必备知识·探新知
柱形图(也称为条形图)
知识点?
作用
形象地比较各种数据之间的数量关系
特征
(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例．(2)每一矩形都是__等宽__的
折线图
知识点?
作用
形象地表示数据的变化趋势
特征
一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的__数据__
扇形图(也称为饼图、饼形图)
知识点?
作用
形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的__比例__
特征
每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成__正比__
茎叶图
知识点?
作用
(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的__最值__、__中位数__等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息(3)比较两组数据的集中或分散程度
特征
所有的茎都竖直排列，而叶沿__水平__方向排列
思考1：(1)重复的数据在茎叶图中是如何表示的？
(2)茎叶图的优点是什么？
提示：(1)应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
(2)茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．
知识点?
画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤
(1)找出最值，计算极差．
(2)合理分组，确定区间．
(3)整理数据．
(4)作出有关图示.
频数分布直方图
纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的__高度__与频数成正比
频率分布直方图
纵坐标是____，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1
思考2：频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．
知识点?
频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的__中点__用线段连接起来，且画成与横轴相交．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
柱形图与折线图
┃┃典例剖析__■
典例1 2020年1月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏．奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20%)也是受访者欣赏的品质．”为形象地表示这一调查结果．
(1)作出柱形图；
(2)作出折线图．
[解析] (1)柱形图如图①．
(2)方法一：取图①中各小矩形上面的中点用线段连接起来(图略)，即得折线图．
方法二：直接作出折线图如图②
其中横轴上的1,2,3，…，12分别表示“有担当”，“踏实”，…，“洒脱”．
规律方法：1.柱形图中，各小矩形宽相等．
2．注意横、纵轴的意义．
3．由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．
┃┃对点训练__■
1．某射击运动员一次射击训练的成绩可以整理成如图所示的柱形图，试计算这次成绩的平均数与方差．
[解析] 设运动员共射击了n次，则由图可知，射中7环与10环的次数为0.2n，射中8环与9环的次数为0.3n.因此平均数为
＝0.2×7＋0.3×8＋0.3×9＋0.2×10＝8.5．
类似地，可以算出方差为
0.2×(7－8.5)2＋0.3×(8－8.5)2＋0.3×(9－8.5)2＋0.2×(10－8.5)2＝1.05．
题型?
扇形图
┃┃典例剖析__■
典例2 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为__50__；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1
020小时，980小时，1
030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为__1_015__小时．
[解析] 由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为
＝1
015(小时)．
规律方法：在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．
┃┃对点训练__■
2．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__20__人．
[解析] 分层随机抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)．
题型?
茎叶图的画法及应用
┃┃典例剖析__■
典例3 下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：
(1)甲、乙两名运动员的最高得分各是多少？
(2)哪名运动员的成绩好一些？
[解析] (1)甲、乙两名运动员的最高得分分别为51分，52分．
(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．而甲运动员的平均得分高于乙运动员的平均得分，因此甲运动员的成绩更好．
规律方法：1.利用茎叶图进行数据分析时，通常从茎叶图中各个“叶”上的数字多少来分析该组数据的分布对称性、稳定性等．
2．如果茎叶图中的数据大致集中在某一行附近，那么说明这组数据比较稳定．
3．茎叶图只适用于样本数据较少的情况．
┃┃对点训练__■
3．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20，
19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17．
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35，
12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22．
(1)画出两组数据的茎叶图；
(2)比较分析两组数据，能得出什么结论？
[解析] (1)依题意，画出茎叶图如下图所示：
(2)电脑杂志文章中每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为22.5，而报纸文章中每个句子的字数集中在20～40之间，中位数为27.5.还可以看出，电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．这与电脑杂志作为科普读物需要简明、通俗易懂的要求相吻合．
题型?
频率分布表和频率分布直方图
┃┃典例剖析__■
典例4 从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．
[分析] 计算频率、列表与绘图．
[解析] (1)频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
合计
50
1.00
(2)绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为，计算得到如下的数据表：
成绩分组
频率
小矩形的高
[40,50)
0.04
0.004
[50,60)
0.06
0.006
[60,70)
0.2
0.02
[70,80)
0.3
0.03
[80,90)
0.24
0.024
[90,100]
0.16
0.016
合计
1.00
根据表格画出如下的频率分布直方图：
(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．
规律方法：绘制频率分布直方图的方法：
(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．
(3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作长方形，它的高等于该组的.每个长方形的面积恰好是该组的频率，这些长方形构成了频率分布直方图．
┃┃对点训练__■
4．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：
起始月薪(百元)
[13,14)
[14,15)
[15,16)
[16,17)
频数
7
11
26
23
起始月薪(百元)
[17,18)
[18,19)
[19,20)
[20,21]
频数
15
8
4
6
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2
000元的频率．
[解析] (1)样本的频率分布表为
起始月薪(百元)
频数
频率
[13,14)
7
0.07
[14,15)
11
0.11
[15,16)
26
0.26
[16,17)
23
0.23
[17,18)
15
0.15
[18,19)
8
0.08
[19,20)
4
0.04
[20,21]
6
0.06
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如下图．
(3)起始月薪低于2
000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2
000元的频率的估计是0.94．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57
57 56 56 56 56 56 56 56 55 55
55 55 54 54 54 54 53 53 53 52
52 52 52 51 51 51 50 50 49 48
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
[错解] (1)极差61－48＝13．
(2)取组距2，分组＝6.5分7组．
(3)分点及分组如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．
(4)列频率分布表：
分组
频数
频率
48～50
2
0.05
50～52
5
0.125
52～54
7
0.175
54～56
8
0.20
56～58
11
0.275
58～60
5
0.125
60～62
2
0.05
合计
40
1.00
(5)画出频率分布直方图如图所示：
[辨析] 据画频率分布直方图的要求，分组的分点应比实际数多一位小数，故分点及分组应为47.5开始至61.5结束．
[正解] (1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13．
(2)决定组距与组数，取组距为2．
＝＝6，∴共分成7组．
(3)决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：
47．5～49.5,49.5～51.5,51.5～53.5,53.5～55.5，55.5～57.5,57.5～59.5,59.5～61.5
(4)列出频率分布表如下：
分组
频数
频率
47.5～49.5
2
0.05
49.5～51.5
5
0.125
51.5～53.5
7
0.175
53.5～55.5
8
0.20
55.5～57.5
11
0.275
57.5～59.5
5
0.125
59.5～61.5
2
0.05
合计
40
1.00
(5)绘出频率分布直方图．
PAGE
-
1
-5.1.4 用样本估计总体
5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(略)
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征．2．能用样本的分布估计总体的分布．
通过用样本估计总体，提升学生的数据分析、数学运算和逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点?
用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当，抽样方法合理．
(2)必要性
①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力．
②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用__样本__估计总体．
(3)误差
估计一般是有__误差__的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量__越来越大__时，估计的误差很小的可能性将越来越大．
思考：用样本估计总体出现误差的原因有哪些？
提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等．
知识点?
用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的__数字特征__即可．
(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例.
条件
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2
结论
如果记样本的平均值为a，样本方差为b，则＝，b2＝×
知识点?
用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在第一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，(πi－pi)2不等于零．当样本的容量__越来越大__时，上式很小的可能性将越来越大．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
用样本的特征数估计总体的特征数
角度1 简单随机抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例1 甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[解析] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用以估计总体．
(2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体．
┃┃对点训练__■
1．为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差．
4
5 9 7 9 6 6
5
1 8 9
6
0
[解析] 将样本中的每一个数都减去50，可得
－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，
这组数的平均数为＝1，
方差为＝30.4，
因此可估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4．
角度2 分层抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例2 在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？
[解析] 把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s，把样本的平均数记为，方差记为s2．
则＝＝165.2，
s2＝
＝
＝51.486
2，
即样本的方差为51.486
2．
因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486
2．
规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤
(1)求样本中不同层的平均数；
(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．
2．求分层随机抽样的方差的步骤
(1)求样本中不同层的平均数；
(2)求样本中不同层的方差；
(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解．
┃┃对点训练__■
2．为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据，计算得到他们的体质指数的平均数为25.1，方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们的体质指数的平均数为20.3，方差为3.求样本平均数与方差．
[解析] 样本平均数＝≈23.4，
方差s2＝
≈10.2．
题型?
用样本的分布估计总体的分布
┃┃典例剖析__■
典例3 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
[解析] (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30．
(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12．
由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
000×0.12＝36
000．
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3，
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，
所以x＝2.9，
所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
规律方法：(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据，以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值．
(2)可用样本的分布估计总体的分布．
┃┃对点训练__■
3．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：
(1)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
[解析] (1)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5．
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20．
(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30．
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，
男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．
所以根据分层随机抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
[错解] 根据以上数据可得众数为1.75，中位数为＝1.725，平均数为1.69．
[辨析] 所求数据要注意单位问题，另外中位数计算错误．
[正解] 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75
m．表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70
m；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75
m,1.70
m,1.69
m．
PAGE
-
6
-5.3 概率
5.3.1 样本空间与事件
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解随机现象和必然现象．2．了解随机试验，理解样本点和样本空间含义，了解事件的分类，能用样本空间的子集表示事件．3．了解随机事件的概率不等式．
通过结合实例对各个概念的理解，提升学生的数学抽象素养．
必备知识·探新知
知识点?
随机现象与必然现象
(1)随机现象(或偶然现象)：一定条件下，发生的结果__事先不能确定__的现象．
(2)必然现象(或确定性现象)：一定条件下，发生的结果__事先能够确定__的现象．
知识点?
样本点和样本空间
(1)样本点：把随机试验中每一种__可能出现__的结果，都称为样本点．
(2)样本空间：把由__所有样本点__组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．
思考：样本点是杂乱无章出现的吗？
提示：不是杂乱无章出现的，是有一定规律可循的．
知识点?
随机事件
(1)不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终__不会发生__的结果．
(2)必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中__一定会发生__的结果．
(3)随机事件：在__同样的__条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．
思考：事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
知识点?
随机事件的概率
不可能事件?的概率为0，必然事件Ω的概率为1；任意
事件A的概率为：__0≤P(A)≤1__．
思考：事件A的概率可能大于1吗？
提示：根据随机事件的概率知道，任意事件A的概率为：0≤P(A)≤1，不可能出现概率大于1的事件．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
事件类型的判断
┃┃典例剖析__■
典例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)“抛一石块，下落”；
(2)“在标准大气压下，温度低于0℃时，冰融化”；
(3)“某人射击一次，中靶”；
(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；
(5)“掷一枚硬币，出现正面”；
(6)“导体通电后，发热”；
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
(9)“没有水分，种子能发芽”；
(10)“在常温下，焊锡熔化”．
[分析] 根据在一定条件下必然事件必然发生，不可能事件不可能发生，随机事件可能发生也可能不发生判断．
[解析] 事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．
规律方法：事件类型的判断方法
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
┃┃对点训练__■
1．下列事件中的随机事件为( C )
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60
℃时水沸腾
[解析] A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压下，只有温度达到100
℃，水才会沸腾，当温度是60
℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．故选C．
题型?
样本点与样本空间
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是( C )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
(2)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
①写出这个试验的样本空间；
②求这个试验的样本点的总数；
③“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3，且y＞1”呢？
④“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
[分析] 解答本题要根据日常生活的经验，有条不紊地逐个列出所要求的结果．
[解析] (1)两个小孩有男、女之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件．故选C．
(2)①Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
②样本点的总数为16．
③“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
④“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．
“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
规律方法：随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
┃┃对点训练__■
2．(1)将例2(2)中条件不变，改为求“x＋y是偶数”这一事件包含哪些样本点？
(2)在例2(2)的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？
[解析] (1)“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．
(2)当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．
题型?
随机事件的概率
┃┃典例剖析__■
典例3 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球；B：至少摸出1个黑球；
(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小；
(4)集合表示C：一定抽到c小球，则集合C怎么表示呢，并判断P(A)和P(C)的大小？
[解析] (1)用树状图表示所有的结果为：
所以该试验的样本空间为Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}．
(2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}；B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}．
(3)因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P(A)＜P(B)．
(4)C＝{ac，bc，cd，ce}；
因为集合A中包含6个样本点，集合C中包含4个样本点，所以从直观上看，P(A)＞P(C)．
规律方法：概率意义的理解
(1)概率是事件固有的基础，可以通过大量重复的试验得到其近似值．但在一次试验中事件发生与否都是有可能的．
(2)概率反映了事件发生的可能性，可以看作是频率在理论上的期望值．
┃┃对点训练__■
3．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为__4__．
[解析] 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在坐标轴上”包含的样本点共有( C )
A．9个
B．10个
C．18个
D．19个
[错解] D
[辨析] 错误的原因是把题意理解成所有可能的坐标轴上的点，连同(0,0)计算在内，没有看清从A中选取不相同的两个数．
[正解] C
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-
5
-5.3.2 事件之间的关系与运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系．2．理解事件和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系．3．理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式．4．会进行事件的混合运算．
通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
事件的包含与相等
(1)包含关系
一般地，如果事件A__发生__时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A?B(或B?A)．用图形表示为：
(2)相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“__A与B相等__”，记作A＝B．
思考：如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？
提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同．
即：A＝B?A?B且B?A?A与B有相同的样本点．
知识点?
和事件与积事件
(1)事件的和(并)
给定事件A，B，由__所有__A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．
事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示．
(2)事件的积(交)
给定事件A，B，由A与B中的__公共样本点__组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．
事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示．
思考：“A∩B＝?”的含义是什么？
提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生．
知识点?
事件的互斥与对立
给定事件A，B，若事件A与B__不能同时__发生，则称A与B互斥，记作AB＝?(或A∩B＝?)．
互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥(即A∩B＝?)，则：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．
若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然__事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：，则：P(A)＋P()＝__1__．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
事件关系的判断
┃┃典例剖析__■
典例1 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解析] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．
规律方法：事件间运算方法
1．利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
2．利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
┃┃对点训练__■
1．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A．
题型?
互斥事件与对立事件的判断
┃┃典例剖析__■
典例2 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
规律方法：互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA．
┃┃对点训练__■
2．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是__①②⑤__(填写序号)．
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
[解析] A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．
所以正确结论的序号为①②⑤．
题型?
互斥事件概率加法公式的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解析] 设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．
(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3．
(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，
∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9．
规律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式．
(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．
┃┃对点训练__■
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[解析] (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝．
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝．
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.即甲不输的概率是．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
[错解] 设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．
P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝．
则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝＋＋＝．
P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝＋＋＝．
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1．
[辨析] 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．
[正解] 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4．
故P(A＋B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝．
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1
-5.3.3 古典概型
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解古典概型的两个特征．2．掌握古典概型概率公式．3．能运用古典概型概率公式、互斥(对立)事件概率加法公式解决问题．
通过本节课的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__有限的__，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件发生的__可能性大小都相等__，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型．
知识点?
古典概型的计算公式
试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为：P(C)＝____
思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
样本点的计数
┃┃典例剖析__■
典例1 袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球．
(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球．
写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数．
[解析] (1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4．
(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6．
(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12．
规律方法：列样本点的三种方法及注意点
(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题．
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求．
注意点：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，取球是否放回．
┃┃对点训练__■
1．(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，满足b＞a的样本点有( A )
A．3个
B．9个
C．10个
D．15个
(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件的个数为__25__．
[解析] (1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1),
(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中满足b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个．
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25．
题型?
古典概型的判断
┃┃典例剖析__■
典例2 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
[分析] 根据判断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解．
[解析] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为．
因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为．
同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为．
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．
规律方法：(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；
①基本事件个数有限，但非等可能．
②基本事件个数无限，但等可能．
③基本事件个数无限，也不等可能．
┃┃对点训练__■
2．下列问题中是古典概型的是( D )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
[解析] A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无数多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
题型?
古典概型的概率
┃┃典例剖析__■
典例3 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16．
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为．
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C．
则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝．
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝，因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
规律方法：求古典概型概率应按下面四个步骤进行：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意．
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A．
(3)分别求出样本点的总数n与所求事件A中所包含的样本点个数m．
(4)利用公式P(A)＝求出事件A的概率．
┃┃对点训练__■
3．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．
[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P＝＝．
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 某校从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．
[错解] 从A、B、C、D四名同学中随机选两人所得的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3个，∴P(M)＝＝．
[辨析] 错解中忽视了从A、B、C、D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的．
[正解] 从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参加甲、乙两个工厂所得的样本空间Ω＝{(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(C，D)，(D，C)}，共12个样本点．
记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，共6个．
∴P(M)＝＝．
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-5.3.4 频率与概率
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解频率、概率的区别与联系．2．能用频率估计概率．
通过本节课的学习，提升学生的数学抽象和数据分析素养．
必备知识·探新知
知识点?
频率与概率
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
思考1：同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．
知识点?
频率和概率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
思考：怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
概率概念的理解
┃┃典例剖析__■
典例1 下列说法正确的是( D )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
[解析] 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
规律方法：对概率的深入理解
1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值．
2．由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
┃┃对点训练__■
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( D )
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析] 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
题型?
概率与频率的关系及求法
┃┃典例剖析__■
典例2 下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数
45
92
194
470
954
1
902
优等品出现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率；
(2)估计该批乒乓球优等品的概率．
[解析] (1)
抽取球数
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数
45
92
194
470
954
1
902
优等品出现的频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95．
规律方法：频率与概率的认识
1．理论依据：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．
2．计算频率：频率＝．
3．得出概率：从频率估计出概率．
[母题探究1] 例2中若抽取乒乓球的数量为1
700只，则优等品的数量大约为多少？
[解析] 由优等品的概率的估计值为0.95，可知抽取1
700只乒乓球时，优等品数量大约为1
700×0.95＝1
615．
[母题探究2] 例2中若检验得到优等品数量为1
700只，则抽取数量大约为多少？
[解析] 由优等品概率的估计值为0.95，可知抽取数量大约为1
700÷0.95≈1
789．
题型?
概率的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2
000条鱼，给每条鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条，查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．
[解析] 设水库中鱼的条数是n，现在要估计n的值，假定每条鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一条鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝．
第二次从水库中捕出500条鱼，其中带记号的有40条．即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈，即≈，解得n≈25
000．
所以估计水库中的鱼有25
000条．
规律方法：1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
┃┃对点训练__■
2．某中学为了了解高中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩戴胸卡．第二次检查，调查了高中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡．据此估计该中学高中部一共有多少名学生．
[解析] 设高中部有n名学生，
依题意得＝，解得n＝1
250．
所以该中学高中部共有学生大约1
250名．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 把一枚质地均匀的硬币连续掷了1
000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为__0.5__．
[错解] 0.496
[辨析] 解本题时，很容易由fn(A)＝＝＝0.496，得掷一次硬币正面朝上的概率是0.496.导致以上错误的原因是混淆了概率与频率的概念，事实上频率是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.496是1
000次试验中硬币正面向上的频率，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关．
[正解] 0.5
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-5.3.5 随机事件的独立性
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解两个随机事件相互独立的含义．2．掌握独立事件的概率计算．
通过对独立事件的含义、概率计算的学习，培养学生的数学抽象、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
事件的相互独立性定义
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
思考1：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
提示：
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
知识点?
相互独立事件性质及计算公式
当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
思考2：怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率？
提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
相互独立事件的判断
┃┃典例剖析__■
典例1 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
[解析] (1)P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，因此事件P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
规律方法：两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
┃┃对点训练__■
1．下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1
000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖；
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从“8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解析] (1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件．
题型?
相互独立事件同时发生的概率
┃┃典例剖析__■
典例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[分析] 根据相互独立事件的概率公式求解．
[解析] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6．
(1)记C表示事件“一位车主同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3．
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3．
规律方法：1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)其次确定各事件会同时发生；
(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积．
2．要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
┃┃对点训练__■
2．(1)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是( A )
A．0.42
B．0.49
C．0.7
D．0.91
(2)已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝____；P(
)＝____．
[解析] (1)设甲投篮一次投中为事件A，则P(A)＝0.7，
则甲投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，
设乙投篮一次投中为事件B，则P(B)＝0.7，
则乙投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，
则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：
P＝P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A．
(2)∵A、B是相互独立事件，
∴A与，与也是相互独立事件．
又∵P(A)＝，P(B)＝，
故P()＝，P()＝1－＝，
∴P(A)＝P(A)×P()＝×＝；
P(
)＝P()×P()＝×＝．
题型?
相互独立事件的综合应用
┃┃典例剖析__■
典例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[解析] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
规律方法：与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；
(2)A，B都发生为事件AB；
(3)A，B都不发生为事件 ；
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B．
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ ．
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P( )
1－[P(A)＋P(B)]
P()P()
┃┃对点训练__■
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
[解析] (1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，
则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A3与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝()3×＋×()3＝．
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”，
则D＝B1B234∪1B234，
且B1B234与1B234是互斥事件．
由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，
所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)
＝()2×()2＋×()3＝．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
[错解] ∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，
∴P(A)＝P(B)＝，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
[辨析] 在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件A发生．
[正解] 在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生．
∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．
∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝.②
①－②得P(A)＝P(B)．③
联立①③可解得P(A)＝P(B)＝．
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
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1
-5.4 统计与概率的应用
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题．
通过统计与概率的应用，培养学生的数学建模、数据分析素养．
必备知识·探新知
概率的应用
知识点
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．
思考：用概率描述事物发生的可能性准确吗？
提示：概率是对未发生事件的估计，单独对一个事件来说不一定准确；但对大量事件来说，概率是有很强的说服力的．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
游戏的公平性
┃┃典例剖析__■
典例 1某校高一年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[分析] 分别计算游戏参与各方获胜的概率，若相等，则公平，否则就不公平．
[解析] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
规律方法：游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以先求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
┃┃对点训练__■
1．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？
答：__公平__．
[解析] 两枚硬币落地共有四种结果：
正，正；正，反；反，正；反，反．
由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
题型?
概率在决策中的应用
┃┃典例剖析__■
典例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．
[解析] 甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是，由此看出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽取的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，可以认为是从概率大的箱子中抽取的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽取的．
规律方法：在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据．因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学的决策．
┃┃对点训练__■
2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( A )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
[解析] 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
题型?
统计与概率的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 为迎接第32届东京奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：
序号
分组(分数段)
频数(人数)
频率
1
[0,60)
a
0.1
2
[60,75)
15
0.3
3
[75,90)
25
b
4
[90,100]
c
d
合计
50
1
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率；
(3)求本次竞赛学生的平均分．
[解析] (1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1．
(2)由(1)知c＝5，则得分在[90,100]之间的有五名学生，分别记为男1，男2，女1，女2，女3．
事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．
所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝．
(3)＝0.1×30＋0.3×67.5＋0.5×82.5＋0.1×95＝3＋20.25＋41.25＋9.5＝74．
┃┃对点训练__■
3．下表是从某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料统计表．(单位：cm)
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计身高低于134
cm的人数占总人数的百分比．
[分析] (1)先根据表中数据求出各组的频率，再画频率分布直方图．
(2)试估计500名12岁男孩中身高低于134
cm的频率．
[解析] (1)根据表中数据列表如下.
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00
画出频率分布直方图，如图所示．
(2)因为样本中身高低于134
cm的人数的频率为＝≈0.19，所以估计该校500名12岁男孩中身高低于134
cm的人数占总人数的19%．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 元旦就要到了，某校欲举行联欢活动，每班派一人主持节目，高二(1)班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任决定用抽签的方式来决定，小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？
[错解] 这种说法正确．
[辨析] 在解题过程中，很容易误认为先抽获奖的概率大，后抽获奖的概率小．实际上该题是一个简单随机抽样问题，号签“1”在每一次被抽到的概率都是相等的，不会因为抽取的顺序而改变．
[正解] 取三张卡片，上面分别标有1,2,3，抽到“1”就表示中签．假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把所有的情况填入下表：
情况人名
一
二
三
四
五
六
甲
1
1
2
2
3
3
乙
2
3
1
3
1
2
丙
3
2
3
1
2
1
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二种情况，甲中签；第三、五种情况，乙中签；第四、六种情况，丙中签．由此可知，甲、乙、丙中签的可能性相同，即甲、乙、丙中签的机会是一样的，所以对于小华来说，先抽后抽，机会是均等的．
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1
-第五章
统计与概率
5.1 统计
5.1.1 数据的收集
NNN第1课时 总体与样本、简单随机抽样
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解收集数据的两类方法：直接收集数据与间接收集数据．2．理解总体、个体、样本、样本容量、普查与抽样调查的概念，了解普查与抽样调查的局限性．3．了解简单随机抽样的含义；掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数表法．
1.引导学生从实际问题出发，进一步理解总体、个体、样本、样本容量等概念，提升学生数据分析的核心素养．2．通过抽签法和随机数表法抽取样本的学习，体会抽样的必要性和重要性，提升学生的逻辑推理和数学抽象素养．
必备知识·探新知
统计的相关概念
知识点?
总体
所考察问题涉及的__对象全体__是总体
个体
总体中__每个对象__都是个体
样本
抽取的部分对象组成总体的一个样本
样本容量
一个样本中包含的__个体数目__是样本容量
知识点?
普查与抽样调查
一般地，对总体中__每个个体__都进行考察的方法称为普查(也称全面调查)，只抽取__样本__进行考察的方法称为抽样调查．
知识点?
简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称纯随机抽样)就是从总体中不加任何__分组__、划类、__排队__等，完全随机地抽取个体．
(2)两种常见方法：①__抽签法__；②__随机数表法__．
思考1：抽签法与随机数表法的异同点是什么？
提示：
抽签法
随机数表法
不同点
①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取
知识点?
随机数表法进行简单随机抽样的步骤
思考2：用随机数表进行简单随机抽样的规则是什么？
提示：(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
简单随机抽样的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；
(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．
[分析] 若抽取样本的方式是简单随机抽样，它应具备哪些特点？
[解析] (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
(3)不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
(5)不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．
规律方法：1.如果一个总体满足下列两个条件，那么可用简单随机抽样抽取样本：
(1)总体中的个体之间无差异；
(2)总体个数不多．
2．判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
┃┃对点训练__■
1．下列问题中，最适合用简单随机抽样的是( B )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8
000亩，丘陵12
000亩，平地24
000亩，洼地4
000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
[解析] 根据简单随机抽样的特点进行判断．A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C中，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D中，总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．
题型?
抽签法
┃┃典例剖析__■
典例2 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试．请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
[分析] 已知N＝30，n＝3.抽签法抽样时编号1、2、…、30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本．
[解析] 应使用抽签法，步骤如下：
①将30辆汽车编号，号码是1、2、3、…、30；
②将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；
③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
规律方法：抽签法的5个步骤
┃┃对点训练__■
2．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目．某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．
[解析] 第一步，将32名男生从1到32进行编号；
第二步，用大小形状都相同的纸做成32个纸片，在每个纸片上分别写上这些编号；
第三步，将写好的纸片放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个纸片；
第四步，相应编号的男生参加合唱；
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名女生参加合唱．
题型?
随机数表法
┃┃典例剖析__■
典例3 假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)( B )
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
A．455 068 047 447 176
B．169 105 071 286 443
C．050 358 074 439 332
D．447 176 335 025 212
[解析] 第8行第26列的数是1，依次取三位数169、555、671、998、105、071、851、286、735、807、443、…，而555、671、998、851、735、807超过最大编号499，故删掉，所以最先检验的5袋牛奶的号码依次为：169、105、071、286、443，故选B．
规律方法：用随机数表法抽取样本的步骤：
(1)将总体中的每个个体编号(每个号码位数一样)．
(2)在随机数表中任选一个数作为起始号码．
(3)从选定的数开始，按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或与前面取出的数重复，则跳过不取，如此进行下去，直到取满为止．
(4)根据选定的号码抽取样本．
┃┃对点训练__■
3．现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00,01,02，…，79，在随机数表中任选一个数，例如，选出第6行第1组第5个数7(下面摘取了一个随机数表的第6行至第10行)．
16227 79439 49544 35482 17379 32378
87352 09643 84263 49164 84421 75331
57245 50688 77047 44767 21763 35025
83921 20676 63016 37859 16955 56719
98105 07175 12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438
15510 01342 99660 27954 57608 63244
09472 79654 49174 60962 90528 47727
08027 34328
规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为__77,39,49,54,43,17__．
[解析] 找到第6行第1组第5个数7开始向右读，
第一个符合条件的是77，
第二个数是94，因为它大于79，舍去．
第三个数是39，第四个数是49，
第五个数是54，第六个数是43．
第七个数是54，重复，舍去．
第八个数是82，因为它大于79，舍去．
第九个数是17．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽取的可能性是____；第三次抽取时，每个小球被抽取的可能性是____．
[错解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性均为，所以两空均填．
[辨析] 本题解答错误的原因在于混淆了抽样中，样本被抽到的可能性与每次抽取中个体被抽到的可能性．
[正解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性为，所以第一个空填，而抽样是无放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽取的可能性为，第二次抽取时，剩余5个小球被抽取的可能性为，第三次抽取时，剩余4个小球，每个小球被抽取的可能性为.因此，第二个空填．
第2课时 分层抽样
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围．2．了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．
通过分层抽样的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养．
必备知识·探新知
知识点?
分层抽样
1．定义
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)
思考1：如何理解“层在总体中所占比例”？
提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么＝＝＝．
2．应用的广泛性
(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．
(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．
(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．
思考2：简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？
提示：
类别
简单随机抽样
分层抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
相互联系
在各层抽样时采用简单随机抽样
适用范围
总体中的个体数较少
总体由存在明显差异的几部分组成
共同点
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
分层抽样的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( B )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1
000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间
D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量
[分析] 根据分层抽样的特点选取．
[解析] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．
规律方法：分层抽样的依据
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
┃┃对点训练__■
1．(1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一层(类)，然后每层抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( C )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
(2)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是__分层抽样__．
[解析] (1)保证每个个体等可能地被抽取是基本抽样的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取．
(2)因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样．
题型?
分层抽样中的有关计算
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．
(2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案
支持B方案
支持C方案
35岁以下的人数
200
400
800
35岁以上(含35岁)的人数
100
100
400
①从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．
②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[解析] (1)设该校其他教师有x人，
则＝，
解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．
(2)①由题意得＝
，
解得n＝40．
②35岁以下的人数为×400＝4人，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．
[母题探究] 将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．
[解析] 由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则＝，解得n＝80．
规律方法：分层抽样中的求解技巧
(1)＝．
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
┃┃对点训练__■
2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( B )
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
(2)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为__16__．
[解析] (1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．
(2)设应在丙专业抽取的学生人数为x，
则＝，
即＝，
解得x＝16．
题型?
分层抽样的方案设计
┃┃典例剖析__■
典例3 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．
[分析] 分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．
[解析] 三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4．
对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．
再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．
将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．
规律方法：分层抽样的注意事项
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．
(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
[特别提醒] 保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．
┃┃对点训练__■
3．某政府机关有在编人员100人，其中科级以上干部10人，科员70人，办事员20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体的抽样过程．
[解析] 因为个体差异较大，而且机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样法抽取．
抽样过程如下：
第一步，确定抽样比：＝．
第二步，确定各层抽取的人数：
从科级以上干部中抽取10×＝2(人)；
从科员中抽取70×＝14(人)；
从办事员中抽取20×＝4(人)．
第三步，在各层中分别用简单随机抽样抽取，抽取科级以上干部2人，科员14人，办事员4人．
第四步，将所抽取的个体组合在一起构成样本．
易错警示
┃┃典例剖析__■
抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性
典例4 某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？
[错解] 将120名职工编号，用随机数表法抽样抽取20人作为样本．
[辨析] 年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．
[正解] 先将这120名职工根据年龄分为老年组、中年组、青年组，再按的比例在各组中抽取相应的人数，即用分层抽样的方法抽取样本．
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