三角形全等的判定
图片预览
文档简介
(共17张PPT)
前面的知识你忘记了吗？
让我们一起来复习一下吧
边角边公理
（3种）
我们学过几种三角形的全等判定呢？
角边角公理
角角边公理
边角边公理（SAS）
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
小结
角边角公理（ASA）
有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
小结
角角边公理（AAS）
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
小结
画全等三角形的另一个方法
如右上图，
画法：1、画线段A B =AB, 如右下图
2、分别以 A 、B 为圆心，AC、BC为半径画弧，两弧相交于点C .
3、连结A C 、 B C 得 A B C .
剪下 A B C 放在 ABC上，可以看到 A B C ≌ ABC，由此可以得到判定两个三角形全等的又一个公理.
A
B
C
A
B
C
已知任意 ABC，画一个 A B C ,
使A B =AB, A C =AC, B C =BC.
有三边对应相等的两个三角形全等
学个新知识
边边边（SSS）公理
小结
证明：
AD = AD (公共边），
在 ABD 和 ACD中，
AB = AC,
DB = DC (D是中点），
∴ ABD ≌ ACD（SSS），
∴ ∠1 = ∠BDC = (平角定义)
∴∠1= ∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴ AD⊥BC（垂直定义）
90°
如图， ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。
求证：AD⊥BC
例 1
例 2
已知：如图，AB=DC，AD=BC.
求证： ∠A= ∠C.
提示：要证明∠A= ∠C，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连结BD即可
证明：
连结BD
在 BAD 和 DCB中，
AB = CD
AD = CB
BD = DB (公共边)
∴∠A = ∠C (全等三角形的对应角相等).
∴ BAD ≌ DCB（SSS），
课堂练习
练习三
练习二
练习一
练 习 三
已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，且AE = BF.
求证：CE=DF.
证明：
在 AOC 和 BOD中，
∵ AC∥DB,
∴∠A = ∠B ( 两直线平等，内错角相等 ).
又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等）
∠A = ∠B ( 已证 ),
OC = OD（已知）
∴ AOC ≌ BOD（AAS）
∴ AC = BD
在 AEC 和 BFD中，
AC = BD(已证),
∠A = ∠B ( 已证 ),
AE = BF（已知）.
∴ AEC ≌ BFD（ASA）
∴ CE = DF
练 习 二
已知：AB=AD，CB=CD.
求证：AC⊥BD.
分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD，这就要证明 ABO ≌ ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证∠BAO= ∠DAO，为了证明这一点，还需证明 ABC ≌ ADC.
证明：
在 ABC 和 ADC中，
AB = AD (已知），
CB = CD（已知），
AC = AC (公共边）
∴ ABC ≌ ADC（SSS），
∴ ∠BAO = ∠DAO (全等三角形的对应角相等）
在 ABO 和 ADO中，
AB = AD (已知），
∠BAO = ∠DAO (已证），
AO= AO (公共边）
∴ ABO ≌ ADO（SAS），
∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等）
∴ ∠AOB = ∠AOD=
90°.
∴AC⊥BD(垂直定义）.
又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义）
如右图，
已知： ABC的顶点和 DBC的顶点A和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC和DB相交于点O.
求证：OA =OD.
练习一
证明：
在 ABC和 DCB中，
∴∠A = ∠D (全等三角形的对应角相等).
AB =DC(已知)，
AC = DB (已知)，
BC = CB (公共边)，
∴ ABC ≌ DCB（SSS）
在 AOB 和 DOC中，
∠AOB = ∠DOC (对顶角)
∠A = ∠D (已证)
AB =DC (已知)
∴ AOB ≌ DOC（AAS）
∴ OA =OD.
再接再厉，让我们继续学习新知识吧
边角边公理
角边角公理
角角边公理
课 堂 小 结
边边边公理
前面的知识你忘记了吗？
让我们一起来复习一下吧
边角边公理
（3种）
我们学过几种三角形的全等判定呢？
角边角公理
角角边公理
边角边公理（SAS）
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
小结
角边角公理（ASA）
有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
小结
角角边公理（AAS）
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
小结
画全等三角形的另一个方法
如右上图，
画法：1、画线段A B =AB, 如右下图
2、分别以 A 、B 为圆心，AC、BC为半径画弧，两弧相交于点C .
3、连结A C 、 B C 得 A B C .
剪下 A B C 放在 ABC上，可以看到 A B C ≌ ABC，由此可以得到判定两个三角形全等的又一个公理.
A
B
C
A
B
C
已知任意 ABC，画一个 A B C ,
使A B =AB, A C =AC, B C =BC.
有三边对应相等的两个三角形全等
学个新知识
边边边（SSS）公理
小结
证明：
AD = AD (公共边），
在 ABD 和 ACD中，
AB = AC,
DB = DC (D是中点），
∴ ABD ≌ ACD（SSS），
∴ ∠1 = ∠BDC = (平角定义)
∴∠1= ∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴ AD⊥BC（垂直定义）
90°
如图， ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。
求证：AD⊥BC
例 1
例 2
已知：如图，AB=DC，AD=BC.
求证： ∠A= ∠C.
提示：要证明∠A= ∠C，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连结BD即可
证明：
连结BD
在 BAD 和 DCB中，
AB = CD
AD = CB
BD = DB (公共边)
∴∠A = ∠C (全等三角形的对应角相等).
∴ BAD ≌ DCB（SSS），
课堂练习
练习三
练习二
练习一
练 习 三
已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，且AE = BF.
求证：CE=DF.
证明：
在 AOC 和 BOD中，
∵ AC∥DB,
∴∠A = ∠B ( 两直线平等，内错角相等 ).
又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等）
∠A = ∠B ( 已证 ),
OC = OD（已知）
∴ AOC ≌ BOD（AAS）
∴ AC = BD
在 AEC 和 BFD中，
AC = BD(已证),
∠A = ∠B ( 已证 ),
AE = BF（已知）.
∴ AEC ≌ BFD（ASA）
∴ CE = DF
练 习 二
已知：AB=AD，CB=CD.
求证：AC⊥BD.
分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD，这就要证明 ABO ≌ ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证∠BAO= ∠DAO，为了证明这一点，还需证明 ABC ≌ ADC.
证明：
在 ABC 和 ADC中，
AB = AD (已知），
CB = CD（已知），
AC = AC (公共边）
∴ ABC ≌ ADC（SSS），
∴ ∠BAO = ∠DAO (全等三角形的对应角相等）
在 ABO 和 ADO中，
AB = AD (已知），
∠BAO = ∠DAO (已证），
AO= AO (公共边）
∴ ABO ≌ ADO（SAS），
∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等）
∴ ∠AOB = ∠AOD=
90°.
∴AC⊥BD(垂直定义）.
又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义）
如右图，
已知： ABC的顶点和 DBC的顶点A和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC和DB相交于点O.
求证：OA =OD.
练习一
证明：
在 ABC和 DCB中，
∴∠A = ∠D (全等三角形的对应角相等).
AB =DC(已知)，
AC = DB (已知)，
BC = CB (公共边)，
∴ ABC ≌ DCB（SSS）
在 AOB 和 DOC中，
∠AOB = ∠DOC (对顶角)
∠A = ∠D (已证)
AB =DC (已知)
∴ AOB ≌ DOC（AAS）
∴ OA =OD.
再接再厉，让我们继续学习新知识吧
边角边公理
角边角公理
角角边公理
课 堂 小 结
边边边公理