课时分层作业(二) 空间向量基本定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则( )
A．m，n，p共线
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
D [p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]
2．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝－＋＋
D．以上皆错
B [∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，∴P，A，B，C共面．]
3．已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
D [由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)
＝(＋)
＝＋(＋)＝＋＋．]
4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a
B．b
C．c
D．无法确定
C [∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，
∵b＝p－q，∴b与p，q共面，
∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C．]
5．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
B [由6＝＋2＋3得－＝2(－)＋3(－)，
即＝2＋3．
∴，，共面，又它们有同一公共点P，
∴P，A，B，C四点共面．]
二、填空题
6．(一题两空)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得]
7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
x＝y＝z＝0 [若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面，由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0．同理y＝z＝0．]
8．如图在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)
－a＋b－c [＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c．]
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c．
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c．
(4)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋
＝a＋b＋c．
10．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：点E，F，G，H共面．
[证明] ∵＋＝，∴k＋k＝k，
而＝k，＝k，
∴＋k＝k(＋)＝k＝．
又＋＝，∴＝k，
同理＝k，＝k．
∵ABCD是平行四边形，∴＝＋，
∴＝＋，
即＝＋，又它们有同一个公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
11．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB．M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A．＋＋
B．(＋＋)
C．(＋＋)
D．＋＋
B [如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．]
12．(多选题)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，则用向量，，表示，不正确的是( )
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
BCD [∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，
∴＝－，＝－，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋，
∴＝＋＝＋
＝－＋＋
＝＋＋．]
13．(一题两空)在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．向量，，________(填“能”或“否”)构成一组基底．
3a－b＋3c 否 [＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c．
假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－b＋3c．
∴解得
∴，，共面，∴不能构成一组基底．]
14．在?ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
[设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
∴λ＋μ＝λ＋μ
＝a＋b，
∴a＋b＝a＋b，
∴∴
∴λ＋μ＝．]
15．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
[解] 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)－－＝－(＋)
＝－
＝－
＝＋
＝．
(2)∵E是棱DD1上的点，且＝，
∴＝＋
＝＋
＝(＋)＋
＝＋＋
＝－＋＋，
∴＝－＝－－．
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝－，z＝－．
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