课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线 C．平面 D．线段
C [M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．]
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A．⊥
B．⊥
C．⊥
D．⊥
D [由题意知PA⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC为PC在平面ABCD内的射影且AC⊥BD，由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD，故C正确．]
3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行或直线在平面内
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定
A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，
a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，
μ·a＝－6＋8－2＝0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]
4．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是( )
A．(1,0,1)
B．(1,0，－1)
C．(0,1,1)
D．(－1,1,0)
D [∵平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，
∴＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
设平面α的法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝－1，得＝(－1,1,0)，
∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]
5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A．，－，4
B．，－，4
C．，－2,4
D．4，，－15
B [∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得]
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为s＝(1,2，x)，平面α的法向量n＝(－2，y,2)，若l?α，则xy的最大值为________．
[由题意可得s⊥n，∴s·n＝－2＋2y＋2x＝0，可得x＋y＝1，取x，y＞0，则1≥2，可得xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号．]
7．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________．
1 [＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，
∵a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
∴－1＋y＝0,1－y－2z＝0，
联立解得y＝1，z＝0，∴y＋z＝1．]
8．给出下列命题：
①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．
其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
①④ [对于①，∵a＝(1，－1,2)，b＝，
∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，
∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，
∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或l?α，②错误；
对于③，∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，
∴n1与n2不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，
∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，
向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
∴即
则u＋t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．]
三、解答题
9．如图所示，已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD．
[证明] 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO．
因为PB＝PC，所以PO⊥BC．
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO．
在直角梯形ABCD中，
由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD．
由三垂线定理，得PA⊥BD．
10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．
[证明] 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M．
所以＝，
＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－，
则n＝(1,1，－)．
因为＝，
所以n＝－，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF．
11．(多选题)已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )
A．(2,3,3)
B．(1,1,3)
C．
D．(2,2,3)
AB [设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)．
∵n＝(6，－3,6)是平面的法向量，
∴n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21．
∴由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0．
把各选项代入上式可知A、B适合．]
12．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
B [设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，F．
故＝，＝．
又
即
所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)．]
13．(一题两空)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．
α⊥β α∥β [∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2,2,5)，
当v＝(3，－2,2)时，u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，即α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，∴u∥v，即α∥β．]
14．如图所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
垂直 [以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，
F，
∴＝．
平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC．]
15．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
[解] 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
可得·＝0，·＝0，
所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，
所以取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥．
因为BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
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