课时分层作业(十) 直线的倾斜角与斜率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线经过O(0,0)，A(1，)两点，则直线OA的倾斜角为( )
A． B． C． D．
B [由斜率与倾斜角的关系知(设直线OA的倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan
α＝＝，∴α＝．]
2．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2,3)
B．(3,2)
C．(1,5)
D．(－3,2)
A [∵直线经过A(1,2)，B(3,5)，∴＝(3－1,5－2)＝(2,3)，∴直线l的一个方向向量为(2,3)．]
3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5
B．8
C．
D．7
C [由斜率公式可得＝1，解得m＝．]
4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为
( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D．
]
5．若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为( )
A．2
B．
C．
D．
C [根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，
∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，
∴＝－1，∴m＝．]
二、填空题
6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为
．
45° [由题意知，b≠a，
所以k＝＝1，
故倾斜角为45°．]
7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为
．
0 [如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0．
]
8．已知直线l上的两个点M(1,2)，N(5,4)，则直线l的一个法向量为
．
(2，－4)(答案不唯一) [∵直线经过M(1,2)，N(5,4)，∴＝(4,2)，∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，所以直线l的一个法向量为(2，－4)．]
三、解答题
9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°．
[解] (1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴kPA＝＝．
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan
60°＝，解得a＝1－．
∴点P的坐标为．
(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．
11．(多选题)直线l过原点(0,0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是( )
A．0°
B．120°
C．90°
D．60°
ABC [当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．]
12．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．
C．∪(1，)
D．(1，)
C [∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C．]
13．(一题两空)若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为
，斜率为
．
30°或150° 或－ [如图所示直线AB与y轴的关系，若直线为l1，则直线的倾斜角为α1，α1＝90°＋60°＝150°，tan
α1＝k1＝－，若直线为l2，则直线的倾斜角为α2，α2＝90°－60°＝30°，k2＝tan
α2＝tan
30°＝．]
14．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角为α，α满足30°≤α≤60°，则b的取值范围为
．
[2,4] [因为30°≤α≤60°，∴≤tan
α≤，
∴≤k≤．
又k＝，所以≤≤，解得2≤b≤4．]
15．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图像上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
[解] ＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图像上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，
设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB．
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤．
∴的取值范围是．
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