课时分层作业(十三) 点到直线的距离
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0)
B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0)
D．(－8,0)或(12,0)
C [设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12．
所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．]
2．已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝( )
A．－3或3
B．－2或4
C．－1或5
D．－2或2
A [由2m－4＝0，解得m＝2．满足l1∥l2．
l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝，
则|n＋2|＝3，
解得n＝1或－5，
故m＋n＝±3．]
3．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为( )
A．
B．2
C．
D．2
B [|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝2．]
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y－6＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
D [设所求直线的方程2x＋3y＋c＝0，由题意知＝，
∴c＝8或c＝－6(舍去)，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0．]
5．已知点A(0,2)、B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
A [由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0．
因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝．
设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
二、填空题
6．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0一点，则|PQ|的最小值为
．
[|PQ|的最小值即为两平行直线的距离d＝＝．]
7．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为
．
3x－y＋10＝0 [设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0．]
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为
．
[设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|．
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝．]
三、解答题
9．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
[解] 由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l．
设l的方程为7x＋8y＋c＝0，
则2·＝，
解得c＝21或c＝5．
∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0．
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
[解] ∵由解得
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为＝．
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0．
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝．
∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0．
∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0．
11．(多选题)两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离可能是( )
A．2
B．10
C．12
D．13
ABCD [当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0＜d≤13．]
12．若动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A．3
B．2
C．3
D．4
A [根据已知条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝3．]
13．已知m∈R，A(3,2)，直线l：mx＋y＋3＝0，点A到直线l的最大距离为
．
[∵直线l：mx＋y＋3＝0恒过定点(0，－3)，
∴点A(3,2)到直线l的最大距离为＝．]
14．点(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为
．
2 [化直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5为m(x＋2y－1)－x－y＋5＝0．
联立解得
∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5过定点(9，－4)，
∴点(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为＝2．]
15．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是
．
[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，
则|PQ|＝，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即
＝，
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0．
则Q点到直线AB的距离
d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13．]
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