课时分层作业(十六) 直线与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
C [易知直线过定点(0,1)且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12
B．2或－12
C．－2或－12
D．2或12
D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以＝1，
解得b＝2或b＝12．]
3．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．P在圆外
B．P在圆上
C．P在圆内
D．不能确定
A [直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4的圆心之间的距离为d＝．
又直线与圆有两个不同的交点，
所以d＜r，即＜2，∴a2＋b2＞4，∴点P(a，b)在圆外．]
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0
D．x＋y－3＝0
A [由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0．]
5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
D [由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或a＝4．]
二、填空题
6．若直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△ECF的面积为
．
2 [圆心C(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝，又知圆C的半径长为3，∴|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝·|EF|·d＝×4×＝2．]
7．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是
．
1≤b＜ [曲线C的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，易知曲线的图象为以(0,0)为圆心，1为半径的圆的上半部分，如图所示，直线y＝x＋b是平行于y＝x的直线，由图知直线夹在l1与l2之间，含l2，不含l1，故1≤b＜．]
8．过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是
．
x－2y＋5＝0 [点P(－1,2)是圆x2＋y2＝5上的点，
圆心为C(0,0)，则kPC＝＝－2，
所以k＝，y－2＝(x＋1)．故所求切线方程是x－2y＋5＝0．]
三、解答题
9．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
[解] 圆C方程可化为x2＋(y－4)2＝4，此圆的圆心为(0,4)，半径为2．
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－，即当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
解得a＝－7或a＝－1，
故所求方程为：7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0．
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
11．(多选题)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m2＝0与直线2x－4y＋m2＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
BC [由
①－②得，x2＋y2＝0，∴x＝y＝0．
代入②得，m2＝0，即当m＝0时，方程组有一个解
而当m≠0时，方程组无解，∴当m＝0时直线l与圆C相切；当m≠0时，直线与C相离．]
12．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则ab的值为( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
C [圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，所以＝，
整理得a2－12a＋5b2－9＝0，又直线过P(－1,2)，
代入得2b－a－3＝0，
两式联立，得a＝1，b＝2，所以ab＝2．]
13．(一题两空)已知直线l：2mx－y－8m－3＝0，则直线过定点
，该直线被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0，截得最短弦长为
．
(4，－3) 2 [将直线l变形得2m(x－4)＝y＋3，即直线l恒过定点P(4，－3)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－．
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．
所以|AB|＝2＝2．
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．]
14．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有
个．
3 [圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝．
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．]
15．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解] (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，
①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，
②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，
③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20．
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|．由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．
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