课时分层作业(十七) 圆与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
B [圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心坐标为(1，－2)，半径为3，两圆的圆心距为＝，半径和为5，半径差的绝对值为1，∵1＜＜5，∴两圆相交．]
2．圆x2＋4x＋y2＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2有三条公切线，则半径r＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
C [两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,3)，半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，所以两圆相外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3．]
3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6，则圆D的半径为( )
A．5
B．2
C．2
D．2
D [两圆方程相减得2x－6y＝4－R2，又由圆C的方程为x2＋(y－4)2＝18，其圆心为(0,4)，半径r＝3，两圆的公共弦长为6，则点(0,4)在直线2x－6y＝4－R2上，则有2×0－6×4＝4－R2，R2＝28，R＝2．]
4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
B [已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B．]
5．已知两圆x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．3
B．1
C．
D．
B [两圆的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4和x2＋(y－b)2＝1，
圆心为(－2a,0)和(0，b)，半径分别为2,1，
若两圆恰有三条公切线，
则等价为两圆外切，
即满足圆心距＝2＋1＝3，
即4a2＋b2＝9，
则a2＋b2＝1，
则＋＝＝＋＋＋≥＋2＝＋＝1，
故选B．]
二、填空题
6．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为
．
3 [由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3．]
7．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是
．
3－5 [两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，
C2(－2，－1)，r2＝2，
∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝－3－2＝3－5．]
8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是
．
[圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，
即≤2，解得0≤k≤．∴kmax＝．
]
三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程．
[解] 法一：由
得到两圆公共弦为y＝x，
由解得或
∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)．
由得
∴所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为＝4．
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
法二：由法一知A(－1，－1)，B(3,3)．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由得
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
10．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[解] 设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1．
①
(1)若两圆外切，
则有＝1＋2＝3，
②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，
则有＝|2－1|＝1，
③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1．
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1．
11．(多选题)如果圆(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1上存在两个不同的点P、Q，使得|OP|＝|OQ|＝2(O为坐标原点)，则a的可能取值为( )
A．1 B． C．2 D．3
ABC [由题意知点P、Q满足|OP|＝|OQ|＝2，则P、Q在以(0,0)为圆心，半径为2的圆上．其方程为x2＋y2＝4．若圆(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1上存在两个不同的点P、Q满足条件，则两个圆有两个交点．即2－1＜＜2＋1，变形得a2－3a＜0且a2－3a＋4＞0，解得0＜a＜3．故A、B、C正确．]
12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4
B．4
C．8
D．8
C [∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17．
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8．]
13．(一题两空)在直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是单位圆x2＋y2＝1上两点，|AB|＝1，则∠AOB＝
，|y1＋2|＋|y2＋2|的最大值为
．
4＋ [由|AB|＝1，单位圆的半径为1，则△AOB为正三角形，故∠AOB＝，设A(cos
α，sin
α)，知B，则|y1＋2|＋|y2＋2|＝4＋sin
α＋sin＝4＋sin，
故|y1＋2|＋|y2＋2|的最大值为4＋．]
14．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是
．
(x－2)2＋(y－2)2＝2 [曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5．过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为．设圆心C2的坐标为(x0，y0)，则＝，y0＝x0，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2．]
15．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
[解] (1)由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，
r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程及(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2．
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0．
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
所以两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0．
①
作O1H⊥AB(略)，则AH＝AB＝，
O1H＝，由圆心(0，－1)到直线①的距离得＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为：
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20．
6
