课时分层作业(二十一) 双曲线的标准方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．2
B．
C．5
D．10
A [∵m－5＜0，∴0＜m＜5，方程化为标准方程为－＝1，
∴c2＝m＋5－m＝5，∴2c＝2．]
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2
B．7
C．22
D．5
A [∵a2＝25，∴a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2．]
3．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为
( )
A．－y2＝1
B．－x2＝1
C．－y2＝1
D．－＝1
A [依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得
故双曲线标准方程为－y2＝1．]
4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．9
D [椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，
且c2＝5－4＝1．
双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆有相同的焦点．
∴m＋n＝1(m＞n＞0)，∴＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9．
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，∴＋的最小值为9．]
5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1)
B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0)
D．x2－＝1(x＞1)
A [设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．]
二、填空题
6．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是
．
34 [因为|PF1|＝2|PF2|＝16，
所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10．
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1(－2，0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为
．
－＝1 [|PF1|＝＝4，
|PF2|＝＝2，
|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝，
又c＝2，故b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线方程为－＝1．]
8．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[解] (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1．
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1．
11．(多选题)已知双曲线8kx2－ky2＝8的焦距为6，则k的值为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
AC [由8kx2－ky2＝8得－＝1，因为焦距为6，所以c＝3．
若焦点在x轴上，则＋＝＝c2＝9，∴k＝1．
若焦点在y轴上，故方程可化为－＝1，k＜0
∴－＝9，∴k＝－1．]
12．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
C [由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24．]
13．(一题两空)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为
，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为
．
24 24 [由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)，F2(0，－5)，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24．]
14．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为
．
－＝1 [法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝＝4，故a＝2．又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1．
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5．故所求双曲线的方程为－＝1．
法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1．]
15．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是
．
b－a [如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
则|PF|－|PF1|＝2a，在Rt△FTO中，|OF|＝c，
|OT|＝a，所以|FT|＝＝＝b，又M是线段PF的中点，
O为FF1中点，
所以|PF|＝2|MF|＝2(|MT|＋b)，
所以|MO|＝|PF1|＝(|PF|－2a)
＝(2|MT|＋2b－2a)＝|MT|＋b－a，
即|MO|－|MT|＝b－a．]
1
