课时分层作业(二十四) 抛物线的几何性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A．
B．1
C．
D．
C [由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝＋＝xA＋xB＋p＝3，故xA＋xB＝3－p＝，故线段AB的中点到y轴的距离为．]
2．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2
B．1
C．4
D．8
C [抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4．]
3．抛物线y2＝4x的焦点F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时面积为( )
A．2
B．4
C．6
D．4
D [据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，
∴PM⊥抛物线的准线，设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|得1＋＝，得m＝2，
∴等边三角形的边长为4，其面积为4．]
4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，
∴A到准线x＝－的距离为xA＋，
B到准线x＝－的距离为xB＋，
∴线段AB的中点到准线的距离为＋，
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝1，
即xA＋xB＝2，
由抛物线定义，|AF|＝＋xA，
|BF|＝＋xB，
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝4，
即xA＋xB＝4－p，
∴4－p＝2，即p＝2．]
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A．－4
B．4
C．p2
D．－p2
A [①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，∴x1x2＝；
∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，
∴＝－4．
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝，∴y1y2＝－p2，故＝－4．]
二、填空题
6．已知点A(0，)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是
．
y2＝4x [依题意F点的坐标为，
设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，
∵|FM|∶|MN|＝1∶2，
∴|KN|∶|KM|＝∶1＝，
∴p＝2，
∴p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．
7．已知直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为KS的中点，则|MF|的值为
．
[如图，根据抛物线的定义，有|PF|＝|PK|，|QF|＝|QS|，易知△KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|＝2．故|FM|＝|KS|＝．]
8．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为
．
x－y－1＝0 [依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0．]
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
[解] 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p．
设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8．
①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由消去y，
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p．将其代入①，得p＝2．
∴所求的抛物线方程为y2＝4x．
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x．
综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x．
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
(1)求y1y2的值．
(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
[解] (1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x消去x得：y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，
同理y2y4＝－4，＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
11．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2
B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF|
D．|BF|＝2
ABC [如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y＝，
联立，
得12x2－20px＋3p2＝0．
解得：xA＝p，xB＝p，
由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝；
|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点．
∴运算结论正确的是ABC．]
12．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝
．
2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4．由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．]
13．(一题两空)如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝3p，设点A，B在l上的射影分别为A′，B′，则直线AB的斜率为
；若向四边形AA′B′B内任投一点M，点M落在△FA′B′内的概率是
．
± [设|AF|＝m，|BF|＝n，可得m＋n＝3p，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝3p，即x1＋x2＝2p，
显然AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k，
联立抛物线方程得k2x2－(2p＋k2p)x＋p2＝0，
可得x1＋x2＝p＋＝2p，解得k＝±，
由抛物线的定义可得|AA′|＝|AF|＝m，|BB′|＝|BF|＝n，
可得四边形AA′B′B的面积为|A′B′|(m＋n)＝p|A′B′|，
△FA′B′的面积为p|A′B′|，
则点M落在△FA′B′内的概率是＝．]
14．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝
．
1∶ [∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为l：y＝－1，直线AF的斜率为k＝＝－．过M作MP⊥l于P，根据抛物线的定义得|FM|＝|PM|．
∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝－k＝，
∴＝，
可得|PN|＝2|PM|，
得|MN|＝＝|PM|．
∴＝，可得|FM|∶|MN|＝|PM|∶|MN|＝1∶．]
15．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[解] (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan
60°＝．
又F，所以直线l的方程为y＝．联立消去y得x2－5x＋＝0．
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6．于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝．
9
