课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2)
B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
A [b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]
2．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
A [由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A．]
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6 B．－
C． D．14
C [由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝．]
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．2
B．－2
C．－2或
D．2或－
C [由cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝．]
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3 B．3
C．2 D．2
B [||＝
＝
＝，
当a＝－1时，||min＝＝3．]
二、填空题
6．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4 [∵a∥b，∴b＝λa．
∴∴
∴x－y＝4．]
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．
[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，
∴cos〈b，c〉＝＝－，
∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝．]
8．在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
6＋2 [S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2．]
三、解答题
9．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值．
[解] ∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
又|＋λ|＝＝，
||＝．
∴cos
120°＝＝－，
∴λ2＝，又＜0，即λ＜0，∴λ＝－．
10．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．
[解] (1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，
所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
所以所以
(2)向量(－3，－4,5)的模为＝5，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±·(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，
即和．
11．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2．
∴△ABC为直角三角形．]
12．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．]
13．(一题两空)已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0，0,0)，点Q在直线OP上运动，·的最小值为________，此时点Q的坐标为________．
－ [设＝λ＝(λ，λ，2λ)，
故Q(λ，λ，2λ)，
∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴·＝6λ2－16λ＋10＝6－，
∴·的最小值为－，此时λ＝，Q点的坐标为．]
14．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________．
或 [设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得
或]
15．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
[解] 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M．
又点N在CC1上，
可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1．
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°．
又cos〈，〉＝＝．
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°．
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