课时分层作业(十六) 超几何分布
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
B [由超几何分布的概念知③④符合，故选B.]
2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.]
3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0
B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)
B [结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝，
当X＝0时，P(X＝0)＝，
故P(X≤1)＝.]
4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )
A.
B.
C.
D.
A [由题意知所求概率为P＝＝.]
5．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A.
B.
C．1－
D.
C [出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.]
二、填空题
6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.
[X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝.]
7．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
[有2人会说日语的概率为＝.]
8．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
[从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期的饮料为事件A，则P(A)＝＋＝.]
三、解答题
9．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
[解] (1)由题意可知X～H(8,3,5)．
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
10．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[解] (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的概率分布为
X
2
3
4
5
P
(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C，P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
11．(多选题)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为( )
A．8
B．6
C．4
D．2
AD [设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.]
12．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是( )
A．没有白球
B．至少有一个白球
C．至少有一个红球
D．至多有一个白球
B [＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．]
13．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
15 [用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.]
14．(一题两空)某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5%(即每件为次品的概率)．现从这些产品中任意连续地抽取出2件，其中次品数X的概率分布是
X
0
1
2
P
____
____
0.0025
请完成上表．
0.9025 0.095 [由题意可知X～B(2,5%)，
则P(X＝0)＝C(5%)0·(95%)2＝0.902
5；
P(X＝1)＝C(5%)1(95%)1＝0.095；
所以，所求随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.902
5
0.095
0.002
5
]
15．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[解] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
6/6课时分层作业(十五) n次独立重复试验与二项分布
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一头病牛服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病牛中恰有3头牛被治愈的概率为( )
A．0.93
B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12
D．C×0.13×0.92
C [由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C×0.93×(1－0.9)2.]
2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )
A. B.
C. D.
B [此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝C··＝.]
3．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)等于( )
A.
B.
C.
D.
C [P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×＋C·＋C·＋C·＝.故选C.]
4．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中发生k次的概率为( )
A．Cpk(1－p)n－k
B．(1－p)kpn－k
C．(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
D [由于P(A)＝p，P()＝1－p，所以在n次独立重复试验中事件发生k次的概率为C(1－p)kpn－k.故选D.]
5．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
A [根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为P＝C0.62×0.4＋0.63＝0.648，故选A.]
二、填空题
6．(一题两空)已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1
000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991
000≈0.367
70,0.999999≈0.368
06，精确到0.000
1)
0.632
3 0.368
1 [设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1
000，0.001)．
记事件A：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991
000≈1－0.367
70＝0.632
3.
恰好发生一次车祸的概率为
P(X＝1)＝C×0.001×0.999999≈0.368
06≈0.368
1.]
7．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
①②④ [三次射击是3次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.]
8．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，
所以恰有2人申请A片区的概率为C··＝.]
三、解答题
9．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．
[解] 由已知每位参加保险人员选择A社区医院的概率为，4名人员选择A社区医院即4次独立重复试验，
即X～B，所以P(X＝k)＝C··(k＝0,1,2,3,4)，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
10.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的．
(1)求甲队以3∶2获胜的概率；
(2)求乙队获胜的概率．
[解] (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P1，则P1＝C··＝.
(2)设乙队获胜的概率为P2，则P2＝＋C··＋C··＝.
11．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
C [由1－C>0.9，得<0.1，所以n≥4.]
12．(多选题)已知随机变量X～B，若使P(X＝k)的值最大，则k等于( )
A．5
B．6
C．7
D.
8
BC [令＝＝>1，得k<6，
即当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)；
当k＝6时，P(X＝7)＝P(X＝6)；
当k>6时，P(X＝k＋1)所以P(X＝6)和P(X＝7)的值最大，故选BC.]
13．(一题两空)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则p
＝________；P(η≥2)的值为________．
[因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－－C××＝.]
14．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)
[由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C××1＝.]
15．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
[解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3!
P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以ξ～B，
即P(ξ＝k)＝C，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
6/6