课时分层作业(十八) 离散型随机变量的方差
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1
B．p和p2
C．p和1－p
D．p和(1－p)p
D [由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．]
2．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )
A.
B.
C.
D.
A [∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝.]
3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A.
B.
C.
D．5
A [两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，
因此D(ξ)＝10××＝.故选A.]
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8
B．12
C.
D．16
A [由题意可知ξ～B，
∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又D(ξ)＝n××＝×36＝8.]
5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为( )
A.
B.
C．3
D.
C [∵E(X)＝x1＋x2＝.∴x2＝4－2x1，
D(X)＝×＋×＝.
∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.]
二、填空题
6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
乙 [因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]
7．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________.
0．196 [因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.]
8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.]
三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下．
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
[解] ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)
由上可知，A面大钟的质量较好．
10．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求X的分布列、期望及方差；
(2)求Y的分布列、期望及方差．
[解] (1)X的可能取值为0,1,2.
若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝×＋×＋×＝＋＋＝.
(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.
法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，
∴Y的分布列为
Y
1
2
3
P
E(Y)＝1×＋2×＋3×＝，
D(Y)＝×＋×＋×＝.
法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，
D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝.
11．(多选题)已知
0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．
ξ
－1
0
1
P
－a
a
当
a
增大时，( )
A．E(ξ)增大
B．E(ξ)减小
C．D(ξ)减小
D．D(ξ)增大
AD [0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：
E(ξ)＝a－，∴当
a
增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋
a＋＝－＋，
∵0a
增大时，D(ξ)增大．故选AD.]
12．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.]
13．(一题两空)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
5 [由独立重复试验的方差公式可以得到
D(ξ)＝np(1－p)≤n＝，等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××＝25，＝＝5.]
14．变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
[由条件可知2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，
故ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
∴D(ξ)＝×＋×＋×＝.]
15．在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图．
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品．
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；
(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．
[解] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为＝.
(2)ξ的所有可能值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，
所以ξ的方差D(ξ)＝×＋×＋×＝.
7/7课时分层作业(十七) 离散型随机变量的均值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
D [∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.]
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )
A．0.6
B．1
C．3.5
D．2
C [抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.]
3．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求
B．0
C．E(X)
D．2E(X)
B [只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.]
4．某船队若出海后天气好，可获得5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
B [出海的期望效益E(X)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元)．]
5．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每坑需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100
B．200
C．300
D．400
B [由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1
000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1
000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.故选B.]
二、填空题
6．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则期望E(X)＝________.
2 [由题意可知X～H(10,4,5)，
∴E(X)＝＝＝2.]
7．已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
X
0
1
P
m
2m
[由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.]
8．今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
1.75 [X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
三、解答题
9．某俱乐部共有客户3
000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
[解] 设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3
000)，
∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3
000－k，
则ξ～B(3
000,0.04)，那么E(ξ)＝3
000×0.04＝120(人)>100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)法一：X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
法二：由题意可知：X～H(10,3,2)，
∴P(x＝k)＝，k＝0,1,2.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝＝(个)．
11．(多选题)离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则( )
A．a＝10
B．a＝
C．b＝0
D．b＝1
BC [易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.]
12．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1
000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1
000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同
D．无法判定
A [E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于E(Y)>E(X)，
故甲比乙质量好．]
13．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是________．
[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈.]
14．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
0.4 [设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.]
15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解] (1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝.
所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都
选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知得X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.
所以E(2X1)＝2E(X1)＝，
E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
6/6