章末综合测评(一) 排列、组合与二项式定理
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C＋C等于( )
A．45
B．55
C．65
D．以上都不对
B [C＋C＝C＋C＝55，故选B.]
2．若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A
B．A
C．A
D．A
D [A＝(27－a)(28－a)…(34－a)．]
3．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为( )
A．2
B．4
C．8
D．15
D [x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(个)不同值，故选D.]
4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．CC
B．CA
C．CACA
D．AA
B [分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．]
5．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．2
D．±2
C [由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk＋1＝C()5－k＝Cakxeq
\s\up12()中，令15－5k＝0，得k＝3.所以Ca3＝80，解得a＝2.]
6．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1
440种
B．960种
C．720种
D．480种
B [从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．]
7．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )
A．140
B．240
C．360
D．800
B [由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C·25＋C·24＝240.]
8.如图所示，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共( )
A．1
240种
B．360种
C．1
920种
D．264种
C [由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有CCA种；当五种颜色选择四种时，选法有CC×3×A种；当五种颜色选择三种时，选法有C×2×A种，所以不同的涂色方法共CCA＋CC×3×A＋C×2×A＝1
920种．故选C.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．第8项
BC [由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]
10．若C＞3C，则m的取值可能是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
BC [根据题意，对于C和3C，有0≤m－1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，若C＞3C，则有＞3×，变形得m＞27－3m，解得m＞，即＜m≤8，则m＝7或8；故选BC.]
11．下列等式中，正确的是( )
A．(n＋1)A＝A
B.＝(n－2)!
C．C＝
D.A＝A
ABD [对于A，(n＋1)A＝(n＋1)＝＝＝A，故A正确；
对于B，＝＝(n－2)！，故B正确；
对于C，C＝≠，故C错误；
对于D，A＝·＝＝A，
故D正确，故选ABD.]
12．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为C种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C种
AC [A显然正确；对于B应为CC＋CC种；对于C，用间接法，显然正确；对于D应分三种情况：
①只选物理，则有C种选法；
②只有化学，则有C种选法；
③若物理与化学都选，则有C种选法．
即共有C＋C＋C＝20种选法．
综上可知AC正确，BD错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．
36 [该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．]
14．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．
64 [每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的报名方案．]
15．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．
1.34 [(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C
×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037
5＋0.002
5＋…≈1.34.]
16．若函数f(x)＝64x6表示为f(x)＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a5＝________，a2＋a4＋a6＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
6 31 [64x6＝[1＋(2x－1)]6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，
∴a5＝C＝6，a2＋a4＋a6＝C＋C＋C＝31.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
[解] (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.
(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C(2x)10－r·(－1)r＝C(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C·(－1)426x6＝13
440x6，即a6＝13
440.
18．(本小题满分12分)已知试求x，n的值．
[解] ∵C＝C＝C，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.
由C＝C，得
＝·，
整理得
3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，
3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.
将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，
∴x＝5，n＝3x＝15.
19．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N＋)能被16整除．
[证明] 49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1
＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋C＋16n－1
＝16(C·3×48n－1＋C·3×48n－2＋…＋C·3＋n)．
所以49n＋16n－1能被16整除．
20．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
[解] (1)将取出4个球分成三类情况：
①取4个红球，没有白球，有C种；
②取3个红球1个白球，有CC种；
③取2个红球2个白球，有CC种，
故有C＋CC＋CC＝115种．
(2)设取x个红球，y个白球，x，y∈N＋，且x∈[0,4]，y∈[0,6]，
则故或或
因此，符合题意的取法共有CC＋CC＋CC＝186种．
21．(本小题满分12分)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N
.已知a＝2a2a4.
(1)求n的值；
(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N
，求a2－3b2的值．
[解] (1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，n∈N
，
所以a2＝C＝，a3＝C＝，
a4＝C＝.
因为a＝2a2a4，
所以＝2××.
解得n＝5.
(2)由(1)知，n＝5.
(1＋)n＝(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝a＋b.
法一：因为a，b∈N
，所以a＝C＋3C＋9C＝76，
b＝C＋3C＋9C＝44，
从而a2－3b2＝762－3×442＝－32.
法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5
＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5.
因为a，b∈N
，所以(1－)5＝a－b.
因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32.
22．(本小题满分12分)0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数：
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
[解] (1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有30个符合题意的三位偶数．
(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A＝2(种)．所以共有20个符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(种)．所以共有28个符合题意的五位数．
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