课时分层作业(三) 排列及排列数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．A＝9×10×11×12，则m等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B [由排列数公式可知m＝4，故选B.]
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
B．甲乙丙，乙丙甲；
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
D．甲乙，甲丙，乙丙．
C [这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故C正确．]
3．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数．
A．①④
B．①②
C．④
D．①③④
A [根据排列的概念知①④是排列问题．]
4．计算＝( )
A．12
B．24
C．30
D．36
D [原式＝＝7×6－6＝36.]
5．不等式A－n<7的解集为( )
A．{n|－1B．{1,2,3,4}
C．{3,4}
D．{4}
C [由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1二、填空题
6．(一题两空)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同排列，它们分别是________．
12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed [画出树状图如下：
可知共12个，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.]
7．集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有______个元素．
3 [因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．]
8．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有________种．
23 [因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现的错误种数为A－1＝23.]
三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；
(5)6位同学互通一次电话；
(6)6位同学互通一封信；
(7)以圆上的10个点为端点作弦；
(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．
[解] (2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．
10．证明：A＋kA＝A.
[证明] 左边＝＋k
＝
＝＝，
右边＝A＝，
所以A＋kA＝A.
11．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8
B．5
C．3
D．0
C [因为当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A＋A＋A＋A＝33，所以S的个位数字是3.]
12．(多选题)下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
AD [因为A＝，故A正确；
而AA＝n×＝，
∴AA＝A，故D正确．]
13．(一题两空)如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝________.
15 6 [15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.]
14．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．
576 [司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知共有AA种不同的安排方法．]
15．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？
[解] 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30.
故一共需要为这六个大站准备30种不同的火车票．
4/4课时分层作业(四) 排列数的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有( )
A．25种
B．55种
C．A种
D．53种
C [其不同的轮流放映相当于将5所大学的全排列，即A.]
2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A．6种
B．9种
C．18种
D．24种
C [先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有A·A＝18(种)．]
3．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
D [先从2,4中选一个数字，有2种选法；再从1,3,5中选两个数字并排列，有A种选法；最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×A×2＝24.]
4．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为( )
A．480
B．360
C．120
D．240
D [甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A＝720(种)，甲、乙、丙的排列有A＝6(种)，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有2×＝240(种)．故选D.]
5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种
B．36种
C．48种
D．72种
B [分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；
第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．]
二、填空题
6．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
48 [从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．]
7．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
240 [翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．]
8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
24 [分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
三、解答题
9．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20
000大的五位偶数共有多少个？
[解] 第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；
第2类，个位数字是4，有AA个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．
由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．
10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．
[解] 所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个球颜色互不相同有A＝4×3×2×1＝24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．
11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．10种
B．12种
C．9种
D．8种
B [先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．]
12．(多选题)用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为( )
A．A＋A·A·A
B．A＋A·(A－A)
C．A·A·A＋A·A·A
D．A－A－A(A－A)
ABCD [法一：先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有A种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有A＋A×A×A＝2296种．
法二：个位是0的不同四位数偶数共有A种，个位不是0的不同四位偶数有A×A个，其中包含个位是偶数且千位为0的A×A种，故没有重复数字的四位偶数共有：A＋A(A－A)＝2296个．
法三：若千位为奇数，则有A×A×A个，若千位是偶数，有A×A×A个，故共有A×A×A＋A×A×A＝2296个．
法四：没有重复数字的四位数有A－A个，没有重复数字的四位奇数有A(A－A)个，故没有重复数字的四位偶数有A－A－A(A－A)＝2296个．
故选ABCD.]
13．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有________种．
24 [甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空中有A种方法．所以由分步乘法计数原理，共有AAA＝24种排法．]
14．(一题两空)六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为________．
24 96 [把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．不考虑任何限制，共有＝120种不同放车方法，若三个空车位不连在一起，则共有120－24＝96种停放方法．]
15．从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的有几个？
[解] (1)a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种．故可组成一元二次方程A·A＝48个．
(2)方程要有实根，需Δ＝b2－4ac≥0.
c＝0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；
c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个．故有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18个．
5/5
