课时分层作业(五) 组合与组合数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4
B．8
C．28
D．64
C [由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝28条公路．]
3．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20
B．9
C．C
D．CC＋CC
B [分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．]
4．组合数C(n>r≥1，n，r∈N)恒等于( )
A.C
B．(n＋1)(r＋1)C
C．nrC
D.C
D [C＝·＝＝C.]
5．将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种
B．18种
C．36种
D．54种
B [由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．]
二、填空题
6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．
10 [从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．]
7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210种分法．]
8．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C＝＝20个．
10．(1)求式子－＝中的x；
(2)解不等式C>3C.
[解] (1)原式可化为：－＝，∴x2－23x＋42＝0，
∵0≤x≤5，
∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．
(2)由>，
得>，∴m>27－3m，
∴m>＝7－.
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，
即1≤m≤8，∴m＝7或8.
11．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )
A．36个
B．72个
C．63个
D．126个
D [此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C＝126个．]
12．(多选题)C＋C的值是( )
A．7
B.
9
C．20
D．46
CD [∵，∴7≤x≤9，
又x∈N，∴x＝7,8,9.
当x＝7时，C＋C＝46；当x＝8时，C＋C＝20；
当x＝9时，C＋C＝46.]
13．(一题两空)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成______条线段；如果是有向线段，共有______条．
10 20 [从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．]
14．对所有满足1≤m6 [∵1≤m15．如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有多少种？
[解] 分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C＝20种；第三步D→B最近走法有2种，
故由A→B最近走法有2×20×2＝80种．
4/4课时分层作业(六) 组合数的性质及应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种
B．A种
C．AA种
D．CC种
D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种
C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C·C＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C·C＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
A [用间接法得不同选法有C－1＝14种，故选A.]
4．满足方程Cx2－x16＝C的x值为( )
A．1,3,5，－7
B．1,3
C．1,3,5
D．3,5
B [依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．]
5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
B [先选出3个球有C＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．]
二、填空题
6．若C＝C，则C＝________.
190 [由C＝C可知n＝20.
∴C＝C＝＝190.]
7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．
714 [若只有1名队长入选，则选法种数为C·C；若两名队长均入选，则选法种数为C，故不同选法有C·C＋C＝714(种)．]
8．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．
180 [6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA＝180(种)．]
三、解答题
9．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．
[解] 法一：设A，B代表两名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有：
C·C＝5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有：
C·C·C＝10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有：
C·C·C＝30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：
C·A·C·C＝80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：
C·C·C＝20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有：
C·C·C＝40(种)．
所以共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．
法二：5名钳工有4名被选上的方法有：
C·C＝75(种)；
5名钳工有3名被选上的方法有：
C·C·C＝100(种)；
5名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
[解] (1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4
096种不同放法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1
560(种)不同放法．
(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．
法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有C＝10(种)不同放法．
11．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360
B．520
C．600
D．720
C [分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．
所以共有480＋120＝600种选法．]
12．(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，下列结论正确的有( )
A．CCCC
B．CA
C．CCA
D．18
BC [根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：
法一：分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CA种；故选B.
法二：分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CCA种；故选C.综上，BC正确．]
13．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
112 [每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案．]
14．(一题两空)在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点．
1260 80 [第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1
260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个)．]
15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
[解] (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．
所以共有不同测试方法A·A·A＝103
680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·C·A＝576种．
5/5
