课时分层作业(七) 二项式定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3
B．(x－2)3
C．x3
D．(x＋1)3
C [S＝[(x－1)＋1]3＝x3.]
2．已知
的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A.
B．－
C．7
D．－7
B [T4＝Cx4＝5，则x＝－.]
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840
B．840
C．210
D．－210
B [在通项公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4得x6y4的系数为C(－)4＝840.]
4．使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6
D．7
B [Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rxeq
\s\up12(n－r)，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．]
5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
C [通项公式Tk＋1＝C()24－k＝Cxeq
\s\up12(12－k)，
故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．]
二、填空题
6.的展开式中倒数第三项为________．
[由于n＝7，可知，展开式共有8项，
∴倒数第三项即为第六项，
∴T6＝C(2x)2＝C·22·＝.]
7．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
56 [由题意知，C＝C，∴n＝8.
∴Tr＋1＝C·x8－r·＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝56.]
8．设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
2 [Tr＋1＝Cx6－r(－axeq
\s\up12(－))r＝C(－a)r·xeq
\s\up12(6－r)，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.]
三、解答题
9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋)．
[解] 将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝
10．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tr＋1＝C(2)6－r＝(－1)r26－rCx3－r，令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
11.(3x－2)5的展开式中x2的系数为( )
A．296
B．－296
C．－1
864
D．－1
376
C [依题意，所求x2的系数为C×32×(－2)3＋2×(－2)5－1×C×33×(－2)2＝－720－64－1080＝－1
864，故选C.]
12．(多选题)对于二项式(n∈N＋)，下列四种判断正确的有( )
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
AD [二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
13．(一题两空)已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则n＝________，C＋C＋C＝________.
6 32 [C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝C＋C＋C＝32.]
14．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m＝________.
2 [∵x10＝[m－(m－x)]10，∴a8＝Cm2(－1)8＝180，
解得m＝±2，又m＞0，∴m＝2.]
15．求的展开式的常数项．
[解] 法一：由二项式定理得＝＝C·＋C··＋C··()2＋C··()3＋C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C·中的第3项：CC··；
C··()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项：C·()5.
综上可知，常数项为CC··＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝
＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.
法三：由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为：
()5＋CC()3＋CC()＝24＋＝.
4/4课时分层作业(八) 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5
B．20
C．10
D．40
C [根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.]
2．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A．2n
B.
C．2n＋1
D.
D [令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，
①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，
②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.]
3．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )
A．奇数
B．偶数
C．3的倍数
D．被3除余1的数
A [9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．]
4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
A [a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.]
5．在(x－)2
020的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( )
A．23
029
B．－23
029
C．23
030
D．－23
030
B [因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23
029.]
二、填空题
6．在的展开式中，中间项是________．
－160x3 [由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.]
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
7或0 [7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.]
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
62 [根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]
三、解答题
9．已知二项式(1－x)10.
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
[解] (1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5；
(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1
024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
10．已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．
[解] 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8.的展开式共有9项，其中T5＝C(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.
11．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3
B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4
D．x＝6，n＝5
C [Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．]
12．(多选题)关于下列(a－b)10的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1
024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
ABD [由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1
024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．]
13．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
[因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.]
14．(一题两空)如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
……
46 [由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.]
15．把通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)的数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，求S(10,6)对应于数阵中的数．
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
[解] 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
5/5
