课时分层作业(十) 乘法公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于( )
A.
B.
C.
D.
B [P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.]
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665
B．0.564
C．0.245
D．0.285
A [记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.]
3．一个盒子里有7只好的晶体管，5只坏的晶体管，依次不放回的取两次，则第二次才取出好的晶体管的概率( )
A.
B.
C.
D.
C [令Ai表示第i次取到好的晶体管，i＝1,2，则P(1)＝，P(A2|1)＝，∴P(1A2)＝×＝.]
4．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75%
B．96%
C．72%
D．78.125%
C [记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.
记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，
故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.]
5．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
C [设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B，
由题意，可得：P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
则P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以两次都取到红球的概率是.故选C.]
二、填空题
6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．
0.75 [因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝＝＝0.75.]
7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
0.4 [记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.]
8．某人手中有5把钥匙，且只有1把能打开房间，此人第3次试开才打开房间的概率为________．
[由题意，所求事件的概率P＝××＝.]
三、解答题
9．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．
求：(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
[解] 设A表示第一次取得白球，
B表示第二次取得白球，则AB表示第一、第二次都取得白球，
B表示第一次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)＝，P(B|)＝＝.
(1)P(A)＝＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
10．设袋中装有r只红球，t只白球．每次自袋中任取一只球，
观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球．若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率．
[解] 以Ai(i＝1,2,3,4)表示事件
“第i次取到红球”，
则3，4分别表示事件第三、四次取到白球．所求概率为P(A1A234)＝P(A1)P(A2|A1)P(3|A1A2)P(4|A1A23)＝
···.
11．10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
[设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，
则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.]
12．(一题两空)6个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票，他们依次摸彩．
(1)已知前两个人都没摸到，则第三个人摸到的概率为________；
(2)电影票被第3个人摸到的概率为________．
(1) (2) [(1)由题意可知，所求概率P＝.
(2)设Ai表示电影票被第i个人摸到，则
P(12A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝.]
13．某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品次品率为10%，从这批产品中随意抽取一件，该产品是甲厂生产的次品的概率为________．
6% [令A表示抽取的这件是甲厂生产的产品，
B表示产品是次品，
则AB表示甲厂生产的次品．
且P(A)＝60%，P(B|A)＝10%，
故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝60%×10%＝6%.]
14．(一题两空)已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，P(A|B)＝0.5，则P(B|A∪B)＝________，P(∪|A∪B)＝________.
[由乘法公式，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
因此P(B|A)＝＝＝，又因为B?(A∪B)，所以B∩(A∪B)＝B，
从而P(B|A∪B)＝＝＝＝，
P(∪|A∪B)＝P(|A∪B)＝1－P(AB|A∪B)＝1－＝1－＝.]
15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
(1)两只都是正品；
(2)两只都是次品；
(3)正品、次品各一只；
(4)第二次取出的是次品．
[解] 设Ai＝{第i次取正品}，i＝1,2.
(1)两只都是正品，则
P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.
(2)两只都是次品，则
P(12)＝P(1)P(2|1)＝×＝.
(3)一只是正品，一只是次品，则
P(A12＋1A2)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝.
(4)第二次取出的是次品，则
P(2)＝P(A12＋12)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(2|1)＝×＋×＝.
1/5课时分层作业(十一) 全概率公式、贝叶斯公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.72
B．0.96
C．0.86
D．0.84
C [设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.
由全概率公式得
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8
B．0.832
5
C．0.532
5
D．0.482
5
D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05
＝0.482
5.故选D.]
3．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025
B．0.08
C．0.07
D．0.125
A [设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，
∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.]
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A.
B.
C.
D.
B [设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，
由全概率公式：
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝.
又由贝叶斯公式：
P(B|A)＝＝＝.故选B.]
5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.
到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.
现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
B [用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝.
P(B1|A)＝＝＝÷＝.故选B.]
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，
设被试验的人患有癌症的概率为0.005,
即P(C)＝0.005,
则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
0.087 [由题设，有
P()＝1－P(C)＝0.995，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，
由贝叶斯公式，
得P(C|A)＝≈0.087.]
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
[设A＝“第二次取出的均为新球”，
Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0,1,2,3)．
由全概率公式
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝·＋·＋·＋·
＝.]
8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
[设A＝收到“·”，B＝发出“·”，
由贝叶斯公式
P(B|A)＝
＝＝.]
三、解答题
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
[解] (1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝.
(2)P(A1|B)＝＝＝＝.
10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
[解] 设A表示枪已校正，B表示射击中靶．
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6.
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×0.9＋×0.4＝0.7.
(2)P(|)＝＝＝0.8.
11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)
0.998 [设A＝任取一产品，经检查是合格品，
B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋A
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)
＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942
8，
故所求概率为
P(B|A)＝＝≈0.998.]
12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，
中靶的概率为
0.8;
用未校准的枪射击时，
中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，
结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
[设B1＝{使用的枪校准过},
B2＝{使用的枪未校准},
A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3.
由贝叶斯公式，
得
P(B1|A)＝＝.
所以，
所用的枪是校准过的概率为.]
13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，
往往会去分析影响股票价格的基本因素，
比如利率的变化.
现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,
利率不变的概率为40%.
根据经验，
人们估计，
在利率下调的情况下，
该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，
其价格上涨的概率为40%,
则该支股票将上涨的概率为________．
64% [记A为事件“利率下调”，
那么即为
“利率不变”，
记B为事件“股票价格上涨”.
依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.]
14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝.
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝P(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083.
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287.]
15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
[解] 设Ai
＝“第i次接通电话”，i
＝
1,2,3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为B＝A1∪1A2∪12A3.
利用概率的加法公式和乘法公式
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝.
若已知最后一位数字是奇数，则
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝.
5/7
