课时分层作业(十四) 离散型随机变量的分布列
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
则常数a的值为( )
A.
B.
C.或
D．－或－
A [由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝.]
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于( )
A. B. C. D.
A [2＜X≤4时，X＝3,4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.]
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A.
B.
C.
D.
D [由条件知，2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.]
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b)
B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b)
D．1－b(1－a)
C [P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]
5．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为( )
A.
B.
C.
D.
D [＋＋＋＝a1－＋－＋－＋－
＝a＝1，
∴a＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝×＝.]
二、填空题
6．在射击的试验中，令X＝，如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．
[答案]
X
0
1
P
0.2
0.8
7.设离散型随机变量X的概率分布列为：
X
－1
0
1
2
3
P
m
则P(X≤2)＝________.
[P(X≤2)＝1－＝.]
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
[由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.]
三、解答题
9．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
试求：
(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
(1)2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列为
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
10.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解] (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P
11．(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
BCD [A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选BCD.]
12．随机变量ξ的分布列如下．
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
B [由题意知解得b＝.
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝.故选B.]
13．(一题两空)随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________.
0 0.55 [由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.]
14．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．
[设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.]
15．从集合{1,2,3,4,5}中，等可能地取出一个非空子集．
(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．
[解] (1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.
基本事件总数n＝C＋C＋C＋C＋C＝31.
事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}，事件A包含的基本事件数m＝3.
所以P(A)＝＝.
(2)依题意，X的所有可能值为1,2,3,4,5.
又P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
6/6
