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突破2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、考情分析
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的
_______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．
3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；
直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个公理
（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如图所示：
作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：
作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．
符号表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如图所示：
作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
【名师提醒】
（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
2．公理2的三个推论
（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：
（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：?有且只有一个平面，使，．如图所示：
（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：?有且只有一个平面，使，．如图所示：
三、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线．
即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：
2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．
（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；
（2）_______________——同一平面内，没有公共点；
（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．
3．
空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
（2）从是否共面的角度分类：
四、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线，
a∥b，b∥c_______________．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′
B′，则∠AOB=∠A′O′B′?或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1）
图（2）
五、异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的
叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
六、空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有_______________种：
①直线在平面内——有_______________个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③_______________——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
七、平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示
3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
K知识参考答案：
一、1．无限延展
两
2．平行四边形
（1）45°
2
3．相对的两个顶点
4．集合
点
集合
二、1．（1）两点
（2）不在一条直线上
（3）一个
公共直线
2．（1）这条直线外
（2）相交直线
（3）平行直线
三、1．（1）任何一个平面内
2．（1）相交直线
（2）平行直线
（3）异面直线
四、1．（1）平行
（2）a∥c
2．（1）相等或互补
五、1．锐角（或直角）
2．
3．直角
六、1．三
无数
直线与平面平行
直线在平面外
七、1．一
二、题型分析
(一)
空间直线的位置关系
例1．（西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末）如图，正方体中，直线与所成角大小为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
连接如图就是与所成角或其补角，
在正方体中，
，
故直线与所成角为.故选C.
【变式训练1】．（2019?新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A．，且直线，是相交直线
B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是异面直线
【答案】B
【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选．
【变式训练2】．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（
）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.
由题得,,
因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D
(二)
空间直线的平行问题
例2．（2019?新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；
对于，内有两条相交直线与平行，；
对于，，平行于同一条直线，或；
对于，，垂直于同一平面，或．故选．
【变式训练1】．（2017?新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故选．
【变式训练2】．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.
【答案】1.
【解析】取AC的中点E，连结DE，BE，显然DE⊥AC，因为平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥BE，而，所以，.
(三)
空间直线的垂直问题
例3．（2017?新课标Ⅲ，文10）在正方体中，为棱的中点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连，由题意得，平面，且平面，
，，平面，平面，，
故选．
【变式训练1】．（2013新课标Ⅱ，理4）已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥，，，则（
）．
A．∥且∥
B．⊥且⊥
C．与相交，且交线垂直于
D．与相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】若∥，又⊥平面，则⊥平面，又∵⊥平面，∴∥，与与异面矛盾，故A错；
若⊥，∵⊥平面，∴∥，与⊥矛盾；
若与相交，设交线为，过上一点作直线∥，设与确定的平面为，∵⊥，∴⊥，∵⊥，∴⊥，又⊥平面，⊥平面，∴⊥，
⊥，∴⊥，∴⊥，则∥，故选D．
【变式训练2】．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是（
）．
A．
B．
C．既不垂直也不平行
D．的位置关系不确定
【答案】D
【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定．选D．
(四)
空间直线与平面的综合问题
例4．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（
）．
A．若，，则
B．若，则
C．若则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选．
【变式训练1】．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）．
A．若则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．
【变式训练2】．（2013广东）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（
）
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
【答案】D
【解析】A中可能平行、垂直、也可能为异面；B中还可能为异面；C中
应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．
【变式训练3】．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面（
）
A．若∥，∥，则∥
B．若∥，⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则⊥
D．若⊥,
∥，则⊥
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥，⊥，则．如选项A：
∥，∥时，⊥或∥；选项C：若⊥，⊥，∥或；
选项D：若⊥,
⊥，∥或⊥．
四、迁移应用
1．（2011浙江）下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】D
【解析】对于D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的，故选D．
2．（2016?新课标Ⅱ，理14），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
【答案】②③④
【解析】①如果，，，不能得出，故错误；
②如果，则存在直线，使，由，可得，那么．故正确；
③如果，，那么与无公共点，则，故正确
④如果，，那么，与所成的角和，与所成的角均相等，故正确；
3．（2019北京理12）已知l，m是平面a外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①；
②；
③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
______．
【答案】?若，则或，则．
【解析】由l，m是平面α外的两条不同直线，知：?
由线面平行的判定定理得：?若，则．
由线面平行、垂直的性质定理得，则．
4．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
【答案】
【解析】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．
5．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为
．
【答案】
【解析】
如图
分别作于A,于C,于B,于D,
连CQ,BD则,,
又
当且仅当,
即点A与点P重合时取最小值.
故答案选C.
6．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：
①三棱锥体积的最大值为；
②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；
③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；
④直线BQ与AP所成角的最大值为；
其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）
【答案】①③
【解析】
选项①
如图所示，当时，四棱锥体积最大，
选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以
选项③和④，如图所示：
以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,
设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，
由于，，，所以取不到
答案选①、③
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精品试卷·第
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突破2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、考情分析
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的
_______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．
3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；
直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个公理
（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如图所示：
作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：
作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．
符号表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如图所示：
作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
【名师提醒】
（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
2．公理2的三个推论
（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：
（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：?有且只有一个平面，使，．如图所示：
（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：?有且只有一个平面，使，．如图所示：
三、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线．
即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：
2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．
（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；
（2）_______________——同一平面内，没有公共点；
（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．
3．
空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
（2）从是否共面的角度分类：
四、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线，
a∥b，b∥c_______________．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′
B′，则∠AOB=∠A′O′B′?或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1）
图（2）
五、异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的
叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
六、空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有_______________种：
①直线在平面内——有_______________个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③_______________——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
七、平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示
3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
二、题型分析
(一)
空间直线的位置关系
例1．（西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末）如图，正方体中，直线与所成角大小为（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2019?新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A．，且直线，是相交直线
B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是异面直线
【变式训练2】．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（
）
A．1
B．
C．
D．0
(二)
空间直线的平行问题
例2．（2019?新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【变式训练1】．（2017?新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.
(三)
空间直线的垂直问题
例3．（2017?新课标Ⅲ，文10）在正方体中，为棱的中点，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2013新课标Ⅱ，理4）已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥，，，则（
）．
A．∥且∥
B．⊥且⊥
C．与相交，且交线垂直于
D．与相交，且交线平行于
【变式训练2】．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是（
）．
A．
B．
C．既不垂直也不平行
D．的位置关系不确定
(四)
空间直线与平面的综合问题
例4．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（
）．
A．若，，则
B．若，则
C．若则
D．若，，，则
【变式训练1】．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）．
A．若则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式训练2】．（2013广东）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（
）
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
【变式训练3】．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面（
）
A．若∥，∥，则∥
B．若∥，⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则⊥
D．若⊥,
∥，则⊥
四、迁移应用
1．（2011浙江）下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
2．（2016?新课标Ⅱ，理14），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
3．（2019北京理12）已知l，m是平面a外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①；
②；
③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
______．
4．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
5．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为
．
6．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：
①三棱锥体积的最大值为；
②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；
③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；
④直线BQ与AP所成角的最大值为；
其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）
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精品试卷·第
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