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突破2.2
直线、平面平行的判定与性质课时训练
【基础巩固】
1．（线面平行的判断
）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．平面
D．平面
【答案】C
【解析】如下图所示，设，则为的中点，
在正方体中，，则四边形为平行四边形，.
易知点、分别为、的中点，，
则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；
，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；
易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；
四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，平面，
，，平面，
平面，，同理可证，且，
平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.
2．（面面平行的性质
）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
取的中点为.
易知，，所以四边形为平行四边形，所以.
又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.
由，，所以四边形为梯形，高为.
所以面积为：.
故选B.
3．（2020届全国名校高三模拟）如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接
设则所以连接因为
所以异面直线与所成角即为在中故选D。
4．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中真命题的序号为（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
【答案】A
【解析】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；对于命题④，若，，则或，命题④错误，故选A。
5．（2020届四川省遂宁市高三二诊）已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或，故选D。
6．（2020届四川省宜宾市高三第二次诊断）四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（
）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，与是异面直线，A选项正确；取的中点为，连接、，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，则且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，，且平面，
平面，平面，B选项正确；若，由于，则，事实上，C选项错误；，为的中点，，，，
D选项正确。故选C。
7．（线面平行的判断
）如图，在棱长为
1
的正方体中，点是的中点，动点在底面
内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．
【答案】
【解析】取中点，连结，作，连，
因为面面面，所以动点在底面
内的轨迹为线段，
当点与点重合时，取得最小值，因为，
所以.
8．（圆锥中线面平行
）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：
①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD，得四边形ABCD为正方形，则AD∥BC，
从而AD∥平面SBC，则①正确；又因为平面SAD，且平面，所以，则②正确；因为，当∠ASB为钝角时，；
当∠ASB为锐角或直角时，，则③不正确；由，得与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角，即为∠ADO，又因为∠ADO=45°，故④正确.
故答案为①②④
【能力提升】
9．（补充条件线面平行）下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.
①；②；③
【答案】
【解析】①，或，由；
②，，；
③，或，由．
故答案为．
10．（2020·北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，交与，连接，在中，，
又平面，平面，所以平面；
（2）由平面平面，，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得，
平面的法向量为，
由，
故二面角的大小为.
11．（2020·河南省安阳市高三一模（理）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点.
（1）证明:平面，
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）如图，连接，交于点M，连接ME，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）设O是AC的中点，连接，OB.因为为正三角形，
所以，又平面平面，平面平面，
所以平面ABC.由已知得.
如图，分别以射线OB，OA，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，则，
所以令，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
12．（2020届安徽省蚌埠市高三第三次质检）如图所示七面体中，，平面，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，M，N分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）取的中点F，连接，.因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，同理可得，，，而，
所以四边形和为平行四边形.
又四边形是菱形，，
所以，而点F为的中点，所以，
又，所以四边形为平行四边形，从而.
点M，N分别为，的中点，所，
，则四边形是平行四边形，得，
所以.
而平面，平面，所以平面.
（2）由（1）可知，平面，所以点M到平面的距离与点N到平面的距离相等，则三棱锥的体积
.
由，，得为正三角形，
而F为中点，所以，从而，且.
又平面，得，从而，，
所以平面，且.
所以，
即三棱锥的体积为.、
【高考真题】
13．（2019?新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；
对于，内有两条相交直线与平行，；
对于，，平行于同一条直线，或；
对于，，垂直于同一平面，或．故选．
14．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，
不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．
15．（2015福建）若
是两条不同的直线，垂直于平面
，则“
”是“∥”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以
“”是“”的必要而不充分条件，故选B．
16．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（
）
A．BM=EN，且直线BM，EN
是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN
是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN
是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN
是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN
是三角形EBD的中线，是相交直线.
过作于，连接，
平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．
【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
，A1(2，0，4)，，，，，，．
设为平面A1MA的法向量，则，
所以可取．
设为平面A1MN的法向量，则
所以可取．
于是，
所以二面角的正弦值为．
【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
18．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）如图在三棱柱中，为边的中点..
（1）证明：平面；
（2）若，为中点且，，，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明：因为三棱柱中，侧面为平行四边形，
由，可知为的中点，又因为为边的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面;
（2）作图如下:
因为，,为公共边，
所以，所以，
因为为中点,,
则，，
由线面垂直的判定知,平面，
所以
,
又因为为中点，为中点，连，
则，
所以,,
,
所以平面，
所以平面平面，且交线为，
过点作，则平面，
即为点到平面的距离，
因为，，
所以三角形为等边三角形,即，
又，所以满足,
即,,
由知,,,
所以,
所以.
19．（2020届湖北省武汉市外国语学校高三模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.
∵为的中点，∴.
∵，平面，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
又平面，，
∴平面平面.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.
∵平面平面，平面，∴平面.
又，，∴.
在中，∵，，∴.
∵，分别为，的中点，
∴的面积，
∴三棱锥的体积.
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直线、平面平行的判定与性质课时训练
【基础巩固】
1．（线面平行的判断
）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．平面
D．平面
2．（面面平行的性质
）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020届全国名校高三模拟）如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中真命题的序号为（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
5．（2020届四川省遂宁市高三二诊）已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．（2020届四川省宜宾市高三第二次诊断）四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（
）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．
7．（线面平行的判断
）如图，在棱长为
1
的正方体中，点是的中点，动点在底面
内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．
8．（圆锥中线面平行
）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：
①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
【能力提升】
9．（补充条件线面平行）下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.
①；②；③
10．（2020·北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
11．（2020·河南省安阳市高三一模（理）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点.
（1）证明:平面，
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
12．（2020届安徽省蚌埠市高三第三次质检）如图所示七面体中，，平面，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，M，N分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【高考真题】
13．（2019?新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
14．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
15．（2015福建）若
是两条不同的直线，垂直于平面
，则“
”是“∥”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（
）
A．BM=EN，且直线BM，EN
是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN
是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN
是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN
是异面直线
17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
.
18．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）如图在三棱柱中，为边的中点..
（1）证明：平面；
（2）若，为中点且，，，求三棱锥的体积.
19．（2020届湖北省武汉市外国语学校高三模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
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