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突破2.2
直线、平面平行判断及其性质重难点突破
一、考情分析
一、直线与平面平行的判定定理
语言文字
_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
作用
证明直线与平面______________
二、平面与平面平行的判定定理
语言文字
一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a?β，b?β，__________，a∥α，b∥α?α∥β
作用
证明两个平面__________
1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．
2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．
三、直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
（4）直线与平面平行的性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
四、平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
2．应用该定理证明线线平行．
五、两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
二、题型分析
(一)
证明或判断直线与平面平行
方法一(必考知识点)：用线线平行实现。
方法二（变式）：用面面平行实现。
例1．（线面平行的判断
）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．平面
D．平面
【变式训练1】.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平
面ABCD，M是线段ED的中点，则（
）
A．BM=EN，且直线BM、EN
是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN
是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN
是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN
是异面直线
例2．（线面平行的证明
）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，平面平面，，分别是侧面，对角线的交点．求证：
（1）平面；
（2）.
【变式训练1】．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别
是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
【变式训练2】．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．
(二)
证明或判断平面与平面平行
方法一(必考知识点)：用线线平行实现。
方法二(推论)：用线面平行实现。
例3．（面面平行的性质
）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2018福建龙岩毕业班）已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.
（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
（2）求三棱锥的体积.
(三)
线面平行、面面平行的综合应用
例4．（1）（线面平行的性质与二次函数
）如图，在四面体中，，用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为______
（2）（线面平行的判断
）如图，在棱长为
1
的正方体中，点是的中点，动点在底面
内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．
【变式训练1】．已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练2】．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是
(四)
线面平行、面面平行的性质综合应用
例5．（圆锥中线面平行
）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：
①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
【变式训练1】．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异
于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
三、迁移应用
1.（2018辽宁朝阳三模）已知是两条不同的直线，是平面，则下列命题中是真命题的是（
）
A.
若，
，则
B.
若，
，则
C.
若，
，则
D.
若，
，则
2.（2018江西南昌二模）已知，，，分别是四面体棱，，，上的点，且，，，，则下列说法错误的是（
）
A.平面
B.平面
C.直线，，相交于同一点
D.
3.已知点、分别为正方体的棱与上的点，且，，平面与平面的交线记为，则与的位置关系是
（
）
A.相交
B.平行
C.垂直
D.异面
4.一个直三棱柱的侧面展开图是如图所示的三个相同的矩形，是的中点，是的中点，是的中点，则该三棱柱中，直线与平面的位置关系是
.
5.（2018内蒙古呼和浩特二模）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.
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直线、平面平行判断及其性质重难点突破
一、考情分析
一、直线与平面平行的判定定理
语言文字
_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
作用
证明直线与平面______________
二、平面与平面平行的判定定理
语言文字
一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a?β，b?β，__________，a∥α，b∥α?α∥β
作用
证明两个平面__________
1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．
2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．
三、直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
（4）直线与平面平行的性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
四、平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
2．应用该定理证明线线平行．
五、两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
二、题型分析
(一)
证明或判断直线与平面平行
方法一(必考知识点)：用线线平行实现。
方法二（变式）：用面面平行实现。
例1．（线面平行的判断
）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．平面
D．平面
【答案】C
【解析】如下图所示，设，则为的中点，
在正方体中，，则四边形为平行四边形，.易知点、分别为、的中点，，
则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；
，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；
易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，平面，
，，平面，
平面，，同理可证，且，
平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.
【变式训练1】.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平
面ABCD，M是线段ED的中点，则（
）
A．BM=EN，且直线BM、EN
是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN
是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN
是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN
是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示，联结，.
因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，
所以，，
所以．故选B．
例2．（线面平行的证明
）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，平面平面，，分别是侧面，对角线的交点．求证：
（1）平面；
（2）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）因为三棱柱，所以四边形，四边形均为平行四边形．
因为，分别是侧面，对角线的交点，
所以，分别是，的中点
，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形为矩形，所以.
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面.因为平面，所以.
【变式训练1】．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别
是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
，A1(2，0，4)，，，，，，．
设为平面A1MA的法向量，则，
所以可取．
设为平面A1MN的法向量，则所以可取．
于是，所以二面角的正弦值为．
【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
【变式训练2】．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
(二)
证明或判断平面与平面平行
方法一(必考知识点)：用线线平行实现。
方法二(推论)：用线面平行实现。
例3．（面面平行的性质
）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
取的中点为.
易知，，所以四边形为平行四边形，所以.
又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.
由，，所以四边形为梯形，高为.
所以面积为：.故选B.
【变式训练1】.（2018福建龙岩毕业班）已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.
（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
（2）求三棱锥的体积.
【解析】（1）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.证明：取中点，连结，
因为为腰长为的等腰三角形，为中点，
所以，
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
所以，因为平面，平面，
所以平面.又，分别为，中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
又，平面，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）连结，取中点，连结，则，
由（1）可知平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.
又是边长为的等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
所以，又为中点，所以，
又，，所以.
所以.
(三)
线面平行、面面平行的综合应用
例4．（1）（线面平行的性质与二次函数
）如图，在四面体中，，用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为______
【答案】
【解析】因为直线AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理，
，所以四边形EFGH为平行四边形
又，可证明
所以四边形EFGH为矩形.
设，
，当时，有最大值.故填.
（2）（线面平行的判断
）如图，在棱长为
1
的正方体中，点是的中点，动点在底面
内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．
【答案】
【解析】取中点，连结，作，连，
因为面面面，所以动点在底面
内的轨迹为线段，
当点与点重合时，取得最小值，因为，
所以.
【变式训练1】．已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】．A
【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．
【变式训练2】．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是
【答案】．A
【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中，所以平面，
只有A不满足．选A．?
(四)
线面平行、面面平行的性质综合应用
例5．（圆锥中线面平行
）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：
①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD，得四边形ABCD为正方形，则AD∥BC，
从而AD∥平面SBC，则①正确；又因为平面SAD，且平面，所以，则②正确；因为，当∠ASB为钝角时，；
当∠ASB为锐角或直角时，，则③不正确；由，得与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角，即为∠ADO，又因为∠ADO=45°，故④正确.
故答案为①②④
【变式训练1】．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异
于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．
因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．
因为为上异于，的点，且为直径，所以
⊥．
又=，所以⊥平面．
而平面，故平面⊥平面．
(2)当为的中点时，∥平面．
证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．
连结，因为为
中点，所以∥．
平面，平面，所以∥平面．
三、迁移应用
1.（2018辽宁朝阳三模）已知是两条不同的直线，是平面，则下列命题中是真命题的是（
）
A.
若，
，则
B.
若，
，则
C.
若，
，则
D.
若，
，则
【答案】.B
【解析】对于选项A，有可能，所以选项A是假命题；对于选项C，直线也可能与平面相交，所以选项C是假命题；对于选项D，有可能，所以选项D是假命题.只有选项B是真命题.故选B.
2.（2018江西南昌二模）已知，，，分别是四面体棱，，，上的点，且，，，，则下列说法错误的是（
）
A.平面
B.平面
C.直线，，相交于同一点
D.
【答案】.B
【解析】由题意，，，所以，选项D正确；由前知，，，，四点共面，所以平面，选项A正确；为梯形，则与交于一点，设交点为，因为平面，，所以平面，同理平面，所以在上，即直线，，相交于同一点，选项C正确；从而选项B错误.故选B.
3.已知点、分别为正方体的棱与上的点，且，，平面与平面的交线记为，则与的位置关系是
（
）
A.相交
B.平行
C.垂直
D.异面
【答案】.D
【解析】延长与的延长线交于点，则为交线，且，连接，可知与不平行，而，所以与是异面直线.故选D.
4.一个直三棱柱的侧面展开图是如图所示的三个相同的矩形，是的中点，是的中点，是的中点，则该三棱柱中，直线与平面的位置关系是
.
【答案】.平面
【解析】作出直三棱柱的直观图如图，易知，连接，得，根据面面平行的判定定理知平面平面，平面.
5.（2018内蒙古呼和浩特二模）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，.
因为侧面为平行四边形，所以为的中点，
所以，.
又，，所以，
所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）过作于，连接，
因为平面，所以.
又，
所以平面，所以.
设，则，，，
所以的面积为，所以.
设到平面的距离为，则，
所以，所以与重合，.
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