人教版九年级数学上册：21.2.3因式分解法课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第二十一章
一元二次方程
21.2.3
因式分解法
【学习目标】
1.理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，
2.掌握因式分解法解某些一元二次方程。
3.会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
【课前预习】
1．如果等腰三角形的两边长分别是方程
的两根，那么它的周长为（
）
A．10
B．13
C．17
D．21
2．解方程①
9(x
-3)2
=
25，②
6x2
-x
=
1，③
x2
+4x
-3596
=
0，④
x(x
-1)
=
1.较简便的方法依次是（
）；
A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法
B．因式分解法、公式法、公式法、配方法
C．配方法、因式分解法、配方法、公式法
D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法
3．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（
）．
A．4；
B．-7；
C．4或-7；
D．所有实数．
4．已知(x+y)(x+y
+2)
=
15,
则x+y的值为（
）.
A．3或5
B．3或-5
C．-3或5
D．-3或-5
5．解方程
7(8x+3）=6（8x+3)2的最佳方法应选择（　　）
A．因式分解法
B．直接开平方法
C．配方法
D．公式法
【课前预习】答案
1．C
2．D
3．A
4．B
5．A
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
x2=a
(a≥0)
(x+h)2=k
(k≥0)
(3)公式法:
【学习探究】
复习引入
1、解下列一元二次方程：
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
答案（1）x1=0,x2=-
（2）x1=0,x2=-2
2、把下列各式因式分解.
（1）x2－x
（2）
x2－4x
（3）x＋3－x（x＋3）
（4）（2x－1）2－x2
答案
(1)x(x-1)
(2)x(x-4)
(3)(x+3)(1-x)
(4)(x-1)(3x-1)
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
因式分解法解一元二次方程
问题1
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
提示：
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10-4.9x2
=0
①
解：
解：
∵
a=4.9,b=-10,c=0.
∴
b2－4ac=
(－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
10x-4.9x2=0.
思考:
还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x2=0?
(1)上面方程中有没有常数项?
(2)等式左边的各项有没有相同因式?能不能分解因式?
(3)如果AB=0,那么
　
　　　;如果(x+1)(x-1)=0,那么
x+1=0或　　　　,即x=-1或　　　　.?
(4)尝试将方程左边分解因式,看能不能达到降次的目的.
A=0或B=0
x-1=0
x=1
因式分解
如果a
·
b
=
0，
那么
a
=
0或
b
=
0.
两个因式乘积为
0，说明什么
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x-4.9x2
=0
①
x(10-4.9x)
=0
②
x
=0
①
10-4.9x=0
以上解方程
10x-4.9x2=0
的方法是如何使二次方程降为一次的？
①
②
x(10-4.9x)=0
x=0或10-4.9x=0
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
小结
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1)
x(x-2)=0；
(1)
x1=0,x2=2；
(2)
(y+2)(y-3)=0；
(2)
y1=-2,y2=3
；
(3)
(3x+6)(2x-4)=0；
(3)
x1=-2,x2=2；
(4)
x2=x.
(4)
x1=0,x2=1.
例1
解下列方程：
解：（1）因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
(
2x＋1)(
2x－1
)=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
可以试用多种方法解本例中的两个方程
.
例题
4x-1=0
x1=1/2
x2=-1/2
灵活选用方法解方程
例2
用适当的方法解方程：
（1）3x（x
+
5）=
5（x
+
5）；
（2）（5x
+
1）2
=
1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.
即
3x
-
5
=
0
或
x
+
5
=
0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x
+
1
=
±1.
解得,
x
1=
0
,
x2
=
（3）x2
-
12x
=
4
;
（4）3x2
=
4x
+
1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2
-
12x
+
62
=
4
+
62,
即
(x
-
6)2
=
40.
开平方,得
解得
x1=
,
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2
-
4x
+
1
=
0.
∵Δ=b2
-
4ac
=
28
>
0,
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2
+
px
+
q
=
0
（p2
-
4q
≥0）
(x+m)2＝n（n
≥
0）
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0
,
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
（x
+
n）＝0
一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
小结
解法选择基本思路
①
x2-3x+1=0
；
②
3x2-1=0
；
③
-3t2+t=0
；
④
x2-4x=2
；
⑤
2x2-x=0；
⑥
5(m+2)2=8；
⑦
3y2-y-1=0；
⑧
2x2+4x-1=0；
⑨
(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
当堂练习
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程
(x-5)(x+2)=18.
解:
原方程化为：
(x-5)(x+2)=18
.
①
由x-5=3,
得x=8;
②
由x+2=6,
得x=4;
③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为
；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
,x2=
.
x2+x-2=0
-2
1
解:
原方程化为：
x2
-
3x
-28=
0，
(x-7)(x+4)=0，
x1=7，x2=-4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1
=
0.
(
x－1
)(
x－1
)
=
0.
有
x
－
1
=
0
或
x
－
1
=
0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
(
2x
+
11
)(
2x－
11
)
=
0.
有
2x
+
11
=
0
或
2x
－
11=
0，
4.解方程：
x1=-11/2
x2=11/2
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
如果a
·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2
±2ab+b2=(a
±b)2；
a2
-b2=(a
+b)(a
-b).
【课后练习】
1．等腰三角形的底和腰是方程
的两根，则这个三角形的周长为（
）
A．8
B．8或10
C．10
D．无法确定
2．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10
B．14
C．10或14
D．8或10
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（
）
4．一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为(
)
A．3
,
－5
B．－3，－5
C．－3
,
5
D．3
，5
5．方程x2+2x﹣3=0的解是（　　）
A．x1=1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
6．如果（x﹣1）（x+2）=0，那么以下结论正确的是（　　）
A．x=1或x=﹣2
B．必须x=1
C．x=2或x=﹣1
D．必须x=1且x=﹣2
7．方程9（x+1)2﹣4（x﹣1）2=0正确解法是（　　）
A．直接开方得3（x+1）=2（x﹣1）
B．化为一般形式13x2+5=0
C．分解因式得[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0
D．直接得x+1=0或x﹣l=0
8．若代数式x2＋5x－6与－x＋1的值相等，则x的值为(　　)
A．－6或1
B．±1
C．1
D．－7或1
9．小红按某种规律写出4个方程：①x2＋x＋2＝0；②x2＋2x＋3＝0；③x2＋3x＋4＝0；④x2＋4x＋5＝0.按此规律，第五个方程的两个根为(　　)
A．－2，3
B．2，－3
C．－2，－3
D．2，3
10．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（?
?
）
A．x=﹣1????????????????????????
B．x=﹣2????????????????????????
C．x1=1，x2=﹣2????????????????????????
D．x1=﹣1，x2=2
11．方程
的解是
．
12．已知x=－1是关于x的方程
的一个根，
则a=　
　．
13．有一个数的算数平方根，比它的倒数的正平方根的10倍少3，这个数是__________．
14．如果
的值与-x的值相等，那么x=__________．
15．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2）=3，则
x2+y2
的值是________．
【课后练习】答案
1．C
2．B
3．A
4．D
5．B
6．A
7．C
8．D
9．C
10．D
11．x1=-2，x2=4．
12．﹣2或1
13．4
14．-5
15．3