人教版九年级数学上册学案 ： 21.2.1配方法（含答案）

人教版九年级数学上册导学案
第二十一章一元二次方程
21.2.1配方法
【学习目标】
1．理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想.
2.
掌握用直接开平方法解形和x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)的方程。
3.
掌握配方法，解简单的一元二次方程。
4.
通过实例，让学生体会类比、转化、降次的数学思想。
【课前预习】
1．用配方法解方程时，原方程应变形为（
）
A．
B．
C．
D．
2．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
4．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）
A．﹣30
B．﹣20
C．﹣5
D．0
5．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．9
6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣6）2=﹣4+36
B．（x﹣6）2=4+36
C．（x﹣3）2=﹣4+9
D．（x﹣3）2=4+9
7．方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
8．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为(
)
A．(x+3)2＝1
B．(x﹣3)2＝1
C．(x+3)2＝19
D．(x﹣3)2＝19
9．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）
A．（x﹣2）2=3
B．2（x﹣2）2=3
C．2（x﹣1）2=1
D．2（x﹣1）2=
10．将一元二次方程通过配方后所得的方程是（
?????）
A．
B．
C．
D．
【学习探究】
自主学习
阅读课本，完成下面问题
：
1、你能直接利用平方根的意义解下列方程吗？
（1）（2x-1）2=16
(2)(2x-1)
2=5
(3)x
2+6x+9=25
注：①第（1）题教师示范，引导学生找到（3）与（1）的（2）的联系。
②上面这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、解方程x2+6x-16=0
分析：（1）怎样解这个方程？它与上面例题中的方程有何不同？
（2）怎样才能使方程向(mx+n)
2=p(p≥0)形式的方程转化？
（3）你能找到这个方程与1中方程（3）的联系吗？
↓
将常数项移到方程右边
↓
两边都加上9，即使方程配成x2+2bx+b2的形式
↓
左边写成完全平方
↓
开平方降次
↓
解一元二次方程
思考：为什么在上面的过程中在方程x2+6x-=16的两边都加上9？加上其他的数字行吗？
填空，使下列等式成立：
（1）x2+12x+
=(x+6)2
（2）x2-4x+
=(x-
)2
（3）x2+8x+
=(x+
)2
（4）x2-5x+
=(x-
)2
思考：上面等式的左边，常数项和一次项的系数有什么关系？
归纳：当二次项系数是1时，“方程两边加上
的平方”是配方的关键做法。
3、配方法：通过
来解一元二次方程的方法，配方法是为了
，把一元二次方程转化为两个
来解。
互学探究
知识点一：直接开平方法
1.形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，根据平方根的意义得x=±来达到解方程的目的。
2.形如（mx+n）2=p（p≥0），根据平方根的意义得mx+n=±，达到降次转化之目的，即转化为我们学过的一元一次方程来解．
3.
左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，才可以用直接开平方法解一元二次方程．
例1】解方程：（1）
（2）
（3）
巧解：（1）因为
得，，所以，方程的两根
.
（2）
移项，得
得，
所以，方程的两根
（3）由已知得，
直接开平方，得：
即，
所以，方程的两根，
方法总结：在解一元二次方程时，若形如x2=p（p≥0），用直接开平方法得到x=±，或形如（mx+n）2=p（p≥0），则用直接开平方法得到mx+n=±，达到降次转化的目的。
变形训练
1.方程x2-9=0的解是(　　)
A．xl=x2=3
B.
xl=x2=9
C．xl=3,x2=-3
D.
xl=9,x2=-9
知识点二：配方法
1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
2.配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
3.配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
4.把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“转化与化归的数学思想”．这是最重要的数学思想之一，今后还会经常用到。
【例2】用配方法解方程
（1）
（2）
（3）
巧解：(1)
移项，得
配方，得
，开平方得，
，
或
所以方程的解是，
(2)移项，得，配方得
即，由此可得
所以方程的解是.
(3)
移项，得
二次项系数化为1,得
例题
1
直接开平方法解方程
【例3】（威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
　
A．
m≥﹣
B．
m≥0
C．
m≥1
D．
m≥2
巧解：（x+1）2﹣m=0，
（x+1）2=m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
方法总结：直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
2：配方方法解方程
【例4】（兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（　　）
　
A．（x+1）2=0
B．（x﹣1）2=0
C．（x+1）2=2
D．（x﹣1）2=2
巧解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项配方
即
得，
所以方程的解是
方法总结：本题运用配方法解一元二次方程,关键是在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,化为的形式,再根据m的范围确定方程是否有解。
【课堂小结】
1.
解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2.
配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。
3.
配方法具体操作：
（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程，
（2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程。
4.
（p≥0）的解法：对于方程（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即和，解两个一元一次方程即可。
【课后练习】
1．已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
2．把方程化成的形式，则的值分别是（
）
A．4，13
B．-4，19
C．-4，13
D．4，19
3．用配方法把一元二次方程+6x+1=0，配成=q的形式，其结果是（　　）
A．=8
B．=1
C．=10
D．=4
4．如果一个数与3的差的算术平方根比这个数的一半小1，则这个数是(
)
A．0
B．4
C．-4
D．不存在
5．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(
)
A．(x﹣)2＝
B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0
D．(x﹣)2＝
6．用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中，变形正确的是（???
）
A．2（x-1）2=1
B．2（x-1）2=5
C．（x-1）2=
D．（x-2）2=
7．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（　　）
A．-2x=5
B．+4x=5
C．+2x=5
D．2-4x=5
8．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（　　）
A．=1
B．=1
C．=7
D．=4
10．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
11．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__．
12．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=__．
13．如果一元二次方程
经过配方后，得
，那么a=________.
14．用配方法解方程时，原方程应变形为__________.
15．如果，那么_______．
【参考答案】
【课前预习】
1．A
2．B
3．C
4．B
5．A
6．D
7．A
8．D
9．C
10．C
【课后练习】
1．B
2．D
3．A
4．B
5．D
6．C
7．B
8．A
9．A
10．D
11．12
12．1
13．-6
14．
15．7