人教版七年级上数学1.5.1有理数乘方教案（5课时）

1.5.1 有理数的乘方（1）
教学目标
知识与技能：
通过现实背景，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数乘方运算，并让学生经历探索乘方的有关规律的过程。
过程与方法：
经历“做数学”和“用数学”的过程，感受数学的奇妙性，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维。
情感态度与价值观：
认识数学与生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，提高数学素养。通过参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，形成主动学习态度，培养科学探索精神，提升人文素质，鼓励猜想，倡导参与，与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，建立自信心。
重点难点
重点：理解有理数乘方的意义和表示，会进行乘方运算
难点：1.幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算。
2.用乘方知识解决有关实际问题。
教学设计
一、复习提问，导入新课
1.几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？
几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．
2.正方形的边长为2，则面积是多少？棱长为2的正方体，则体积为多少？
边长为2的正方形的面积为2×2＝4；棱长为2的正方体的体积为2×2×2＝8.
在这里我们发现2×2，2×2×2都是相同因数的乘法，为了简便，我们将它们分别记作：22 ，23 ，22 读作“2的平方”（或“2的二次方”），23 读作“2的立方”（或“2的三次方”）.
同样：（－2）×（－2）×（－2）×（－2）记作什么？读作什么？
（-）×（-）×（-）×（-）×（-）记作什么？读作什么？
a·a·a·a·a·a可以记作什么？读作什么？
那么：a·a·…·a像这样n个相同的因数a相乘，记作什么？读作什么？
记作an ，读作a的n次方。
★ 对于an 中的a，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a可以取任意有理数，这就是我们今天要研究的课题：有理数的乘方。
二、探索新知，讲授新课
一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a……a,记作an,读作a的n次方。 这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．
例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”，它表示4个9相乘，即9×9×9×9；
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．
例1：计算：
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－）5；
（4）33； （5）24； （6）（－）2．
解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64
（2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16
（3）（－）5=（－）×（－）×（－）×（－）×（－）=－
（4）33=3×3×3=27
（5）24=2×2×2×2=16
（6）（－）2=（－）×（－）=
观察以上运算结果，你发现负数的幂的正负有什么规律？
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0．
思考：①32与23有什么不同？②（－2）3与－23的意义是否相同？其中结果是否一样？
③（－2）4与－24呢？④（）2与呢？
解答：②（－2）3的底数是－2，指数是3，读作－2的3次幂，表示（－2）×（－2）×（－2），结果是－8；－23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂的相反数，表示为－（2×2×2），结果是－8．（－2）3与－23的意义不同，但结果相同．
③（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的四次幂，表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2），结果是16；－24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表示为－（2×2×2×2），其结果为－16．（－2）4与－24的意义不同，其结果也不同
④（）2的底数是，指数是2，读作的二次幂，表示×，结果是；表示32与5的商，即，结果是．（）2与的意义不同，其结果也不同。
因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．
三、运用计算机进行乘方运算
例2：用计算器计算（－8）5和（－3）6．
解：用带符号键（－）的计算器．
开启计算器后按照下列步骤进行：
（ （－） 8 ） ∧ 5 =
显示：（－8）^ 5
－32768 即（－8）5=－32768
（ （－） 3 ） ∧ 6 =
显示：（－3）^ 6
729 即（－3）6=729
用带符号转换键 +/－ 的计算器：
8 +/－ ∧ 5 =
显示：－32768
3 +/－ ∧ 6 =
显示：729
所以（－8）5=－32768 （－3）6=729
四、巩固练习
课本第42页练习1、2．
五、课堂小结
正确理解乘方的意义，a n表示n个a相乘的积．注意（－a）n与－a n 两者的区别及相互关系：（－a）n的底数是－a，表示n个－a相乘的积；－a n底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．当n为偶数时，（－a）n与－a n互为相反数，当n为奇数时，（－a）n与－a n相等．
六、作业布置
1．课本第47页习题1．5第1、7题，第48页第11、12题．
七、课后反思
1.5.1 有理数的乘方（2）
教学目标
知识与技能：
1.能较熟练地进行有理数的混合运算，培养学生的运算能力。
2.在运算中能自觉地运用运算律。
3.培养学生的探究能力。
过程与方法：
1.通过本课的学习，使学生认识到小学算术里的四则运算同样适用于有理数的范围，体会知识系统性。
2.培养学生的观察探究能力，善于从表面现象看本质联系。
情感态度与价值观：
通过师生互动，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣和热情。
重点难点
重点：有理数的混合运算。
难点：正确而合理地进行有理数的混合运算。
教学设计
一、复习提问，导入新课
1．小学我们进行数的混合运算时，运算顺序是怎样的？
2．到现在为止，我们一共学了几种运算，你知道它们的混合运算顺序是怎样的吗？
二、探索新知，讲授新课
观察下面的算式里有哪几种运算？
3+50÷22×（－）－1 ①
这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？
有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行：
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例如上面①式
3+50÷22×（－）－1
=3+50÷4×（－）－1
=3+50××（－）－1
=3－－1
=－
例3：计算：
（1）2×（－3）3－4×（－3）+15；
（2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．
分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，特别注意符号问题．
解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15
=－54+12+15
=－27
（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）
=－8+（－3）×18－（－4.5）
=－8－54+4.5=－57.5
例4：观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，6，－6，18，－30，66，… ②
－1，2，－4，8，－16，32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
分析：第①行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，它们都是2的乘方．
解：（1）第①行数是
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…
（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？
第②行数是第①行相应的数加2．
即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…
对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？
第③行数是第①行相应的数的一半，即
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…
（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为
（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5．
所以每行数中的第10个数的和是：
（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]
=1024+（1024+2）+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
三、巩固练习
课本第44页练习．
四、课堂小结
在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算律会使运算更简便，因此要在遵守运算顺序外，还要注意灵活运用运算律，使运算快捷、准确．
五、作业布置
1．课本第47页至第48页习题1．5第3、8题．
六、课后反思

1.5.2 科学记数法
教学目标
知识与技能：
利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数，会解决与科学记数法有关的实际问题。
过程与方法：
体会科学记数法的好处和化繁为简的方法。
情感态度与价值观：
正确使用科学记数法表示数，表现出一丝不苟的精神。
重点难点
重点：用科学记数法表示大于10的数。
难点：探究用科学记数法表示大于10的数的方法。
教学设计
一、复习提问，导入新课
1．乘方的意义，a表示什么意义？底数是什么？指数是什么？
2.102＝ ；103＝ ；104＝ 。
100＝10×10＝ （写成幂的形式，下同）；1000＝ ；10000＝ ；100000＝ 。
二、探索新知，讲授新课
  例如第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人，太阳半径约为696000000，光的速度约为300000000米/秒．读、写这样大的数有一定困难，那么有简单的表示方法吗？
让我们先观察10的乘方有什么特点？
102=100，103=1000，104=10000，…
即10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作：“5.67乘10的8次方（幂）”．
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10即1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫科学记数法．
例如用科学记数法表示中国人口约为1.3×109人，太阳半径约为6.96×108米，光的速度约为3×108米/秒．
例5：用科学记数法表示下列各数．
1000000，57000000，123000000000．
解：1000000=106（这里a=1省略不写）
57000000=5.7×10000000=5.7×107
123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011
思考：观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？
1000000是7位整数，而10的指数是6，57000000是8位整数，而10的指数为7．
即等号右边10的指数比左边整数的位数小1．
问：如果一个数是6位整数，用科学记数法表示时，10的指数是多少？如果一个数有8位整数呢？
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1．
注意：
①“n位整数”是指这个数的整数部分的位数．
例如：831.5的整数部分是3位，用科学记数法表示为8.315×102．
②用科学记数法表示一个数时，规定a必须是大于或等于1且小于10．（1≤a<10）
三、巩固练习
1．课本第45页习题1．5第1、2、3题．
四、课堂小结
用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a<10，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是m－1=n，反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位m比10的指数大1．（即m=n+1）
另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－7.29×105，它的意义是7.29×105的相反数，这里的a仍然是1≤a<10．
五、作业布置
课本第47页习题1．5第4、5、9、10题．
六、课后反思
1.5.3 近似数
教学目标
知识与技能：
1.理解精确度和近似数的意义。
2.能准确地说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数。
过程与方法：
通过对近似数的学习感受数学与生活的联系。
情感态度与价值观：
培养学生热爱数学热爱生活的乐观态度。
重点难点
重点：近似数和精确度的意义。
难点：由给出的近似数求其精确度，按给定的精确度求一个数的近似数。
教学设计
一、探索新知，讲授新课
1. 准确数和近似数．
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：对于参加同一个会议的人数，有两种报道，一种报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人”．这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数，另一种报道说：“约有500人参加了今天的会议”，500这个数只能接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数．
例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是35，这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不多，一个也不少，又如，初一（1）班有55个学生，某工厂有126台机床，我有8本练习本，这些数都是与实际完全符合的准确数．
再如宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率约为3.14，这些数都是近似数．
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数． 你还能举出一些日常遇到的近似数吗？
2.关于精确度问题
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．
我们都知道圆周率=3.141592…
计算时我们需按照要求取近似数．
如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3；
如果要求按四舍五入精确到0.1（或精确到十分位），那么≈3.1；
如果要求按四舍五入精确到0.01（或精确到百分位），那么≈3.14；
如果要求按四舍五入精确到0.001（或精确到千分位），那么≈_______；
反过来，若≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
3．近似数的有效数字．
一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的个数．
例如近似数0.025有两个有效数字：2，5；1500有4个有效数字：1，5，0，0；0.103有有3个有效数字：1，0，3．
对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字，例如近似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4．
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求．
一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度越高．如果四舍五入法对取近似数时，若要求保留1个有效数字，则≈3；若要求保留3个有效数字，则≈3.14．
例6：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数．
（1）0.0158（精确到0.001位）；
（2）304.35（精确到个位）；
（3）1.804（精确到0.1位）；
（4）1.804（精确到0.01位）；
（5）3.5046（精确到百分位）；
（6）2.971×104（保留2个有效数字）．
解：（1）0.0158≈0.016；
（2）304.35≈304；
（3）1.804≈1.8；
（4）1.804≈1.80；
（5）3.5049≈3.50；
（6）2.971×104≈3.0×104．
例7：下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？保留几个有效数字？
（1）132.4； （2）0.0572； （3）2.40万； （4）3000．
解：（1）132.4是精确到0.1，保留4个有效数字．
（2）0.0572是精确到0.0001，保留3个有效数字．
（3）2.40万是精确到百位，保留3个有效数字．
（4）3000是精确到个位，保留4个有效数字．
二、巩固练习 课本第46页练习．
三、课堂小结
正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念，给出一个近似数，能准确地确定它精确到哪一位，有哪几个有效数字，并能按要求求一个数的近似数．
四、作业布置
课本第47页至第48页习题1．5第6题．
五、课后反思
第一章 有理数综合复习
教学目标
1.理解有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数的意义；
2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；
3.会用科学记数法表示数，比较有理数的大小，求有理数的相反数与绝对值；
4.能用数轴上的点表示有理数，运用运算律简化运算，运用有理数的运算解决简单的问题。
难点重点
重点1.理解有理数的有关概念：有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数。
2.能进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。
难点1.对绝对值概念的理解；
2.有理数的混合运算。
教学过程
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以
利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。
一、基础知识：
1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。
2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数（rational number）：整数和分数统称为有理数。正整数、0和负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
5、数轴（number axis）：可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度。
6、相反数（opposite number）：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
8、有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。
加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。表达式：（a+b）+c=a+（b+c）
9、有理数减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b）
10、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0.
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。表达式：ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。表达式：（ab）c=a（bc）
乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。表达式：a（b+c）=ab+ac
11、倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
12、有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.
13、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。
根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
14、有理数的混合运算顺序
（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，即016、近似数（approximate number）：
17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。
二、拓展知识：
数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。
（1）所有有理数组成的数集叫做有理数集；
（2）所有的整数组成的数集叫做整数集。
2、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。
3、根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。
4、比较两个有理数大小的方法有：
（1）根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
（2）根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
（3） 做差法：a-b>0 ?a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ?a>b.
?
三、基础训练（见小卷）
四、作业布置（见小卷）
五、课后反思