北师大版数学八年级上册2.7 二次根式课件（第1课时 30张）

2.7 二次根式
(第1课时)
导入新知
某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？
如何计算 ？
1. 了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件.
2. 理解最简二次根式的定义并会识别.
素养目标
3. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
这些式子有什么共同特征？
探究新知
知识点 1
二次根式的概念
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式.
探究新知
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4）
（5） （6） ；（7）
下列各式是二次根式吗?
是
是
是
是
是
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
变式训练
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
所以x＞1.
探究新知
素养考点 2
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1）
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以x+3≥0，即x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以x-1≠0，即x≠1.
所以x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
（2）
x取何值时,下列二次根式有意义?
巩固练习
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
变式训练
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
20
20
你发现了什么？
探究新知
知识点 2
二次根式的运算法则
做一做
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）用计算器计算：
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
你有何发现？
探究新知
（a≥0，b≥0）
，
（a≥0， b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商.
积的算术平方根等于算术平方根的积.
探究新知
归纳小结
化简:
解：(1)
(2)
(3)
（1） ； （2） ；（3） .
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的积的算术平方根进行计算
例1
化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
巩固练习
（1）
（2）
（3）
解:
（1）
（2）
（3）
变式训练
解:
探究新知
素养考点 2
利用二次根式的商的算术平方根进行计算
化简：（1） （2） （3）
例2
（1）
（2）
（3）
化简：
（7）
巩固练习
解：
变式训练
（2）
（3）
（1）
特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.
最简二次根式：
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
讨论
探究新知
知识点 3
最简二次根式的概念
右边一组数有哪些特点？
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
探究新知
条件总结
例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．
(3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是,因为分母中有二次根式．
探究新知
素养考点 1
识别最简二次根式
(2)是．
方法点拨
判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：
利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：
(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件．
探究新知
判断下列各式是否为最简二次根式？
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
（1） （ ）
×
×
×
√
巩固练习
变式训练
（5） （ ）
（6） （ ）
×
×
B
1.（2019?河池）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2019?连云港）要使 有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
A
连接中考
1.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0

2．下列式子一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．
3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
课堂检测
基础巩固题
D
C
C
4. 计算：
解：
课堂检测
基础巩固题
（1） ;
（2） .
（1）
=12×13
=156;
（2）
=a2.
5. 化简：
解：
若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
提示：
课堂检测
基础巩固题
课堂检测
1.若 ，则 （　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
能力提升题
2.当1＜a＜2时，代数式 的值是(　　)
A．－1 B．1
C．2a－3 D．3－2a
B
（1）　　　 ；（2） ．　
化简：
解：（1）　　
拓广探索题
课堂检测
（2）
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
积的算术平方根
最简二次根式
课堂小结
商的算术平方根


课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习