3．2．1
一、选择题
1．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为( )
A. B.
C. D．1
[答案] C
[解析] 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．
2．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 从五根木棒中，任取三根，有1,3,5；1,3,7；1,3,9；1,5,7；1,5,9；1,7,9；3,5,7；3,5,9；3,7,9；5,7,9.共10种取法，能够搭成三角形的情况有：3,5,7；3,7,9；5,7,9，共3种．因此概率为P＝.
3．有四个高矮不同的同学，随便站成一排，从一边看是按高矮排列的概率为( )
A. B.
C. D．1
[答案] A
[解析] 设四个人从矮到高的号码分别为1,2,3,4.
基本事件构成集合Ω＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,4,3,2)，(1,4,2,3)，(1,3,4,2)，(1,3,2,4)，(2,1,4,3)，(2,1,3,4)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,2,4,1)，(3,2,1,4)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,4,2,1)，(3,4,1,2)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,3,1)，(4,2,1,3)，(4,3,2,1)，(4,3,1,2)}，一共有24个基本事件．
那么从一边看从矮到高为事件A，则A＝{(1,2,3,4)，(4,3,2,1)}．
则P＝＝＝.
4．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P＝＝，选B.
5．先后抛掷两枚均匀的骰子，若骰子朝上一面的点数依次为x、y(x，y∈{1,2,3,4,5,6})，则logx(2y－1)>1的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵x∈{1,2,3,4,5,6}，∴由logx(2y－1)>0得，2y－1>x(x>1)先后抛掷两枚骰子，点数(x，y)共有36种不同的结果，其中满足x<2y－1的有：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19个基本事件，
∴P＝.
6．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 三位正整数从100到999共900个，
∵26＝64,27＝128,29＝512,210＝1024，
∴满足条件的正整数只有27＝128、28＝256、29＝512三个，
∴P＝＝.
7．在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，然后将它们混合再任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[答案] C
[解析] 一个五位数能否被5整除关键看其个位数，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，个位是1,2,3,4,5是等可能的，
∴基本事件构成集合Ω＝{1,2,3,4,5}“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，∴概率为＝0.6.
8．从数字1、2、3、4、5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 从数字1,2,3,4,5中任取两个数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54，共20个，其中大于40的有：41,42,43,45,51,52,53,54共8个，
∴所求概率P＝＝.
[点评] 可列表如下，由表可知共有两位数5×5－5＝20个，其中大于40的有2×5－2＝8个，
∴所求概率P＝＝.
十位个位 1 2 3 4 5
1 21 31 41 51
2 12 32 42 52
3 13 23 43 53
4 14 24 34 54
5 15 25 35 45
9.(2010·北京文，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 该试验所有基本事件(a，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图．
易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A，则事件A所含基本事件有3个．
∴P(A)＝＝，故选D.
10．一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 把它们编号，白为1,2,3.黑为4,5.用(x，y)记录摸球结果，x表示第一次摸到球号数，y表示第二次摸到球号数．所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)一共25种，两次摸球都是黑球的情况为(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，P＝.
二、填空题
11．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．
[答案]
[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆；1个(中心)各面都不涂漆．∴所求概率为＝.
12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________．
[答案]
[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P＝＝，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－＝.
13．在很多游戏中，都要掷骰子比掷出点子的大小，点子大的优先，某次下棋由掷点子大小决定先行，谁的点子大谁先行棋，若甲先掷然后乙掷，那么甲先行的概率为________．
[答案]
[解析] 记点子大的为赢，小的为输．由于对称性，甲赢与甲输(乙赢)的概率相等，又和局的概率为，
∴甲赢的概率为(1－)÷2＝.
故甲先行的概率为.
14．设集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{0,1}，a∈A，b∈B，则点P(a，b)落在圆(x＋1)2＋y2＝2内的概率为________．
[答案]
[解析] A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，
∵a∈A，b∈B，∴共有6个基本事件：(－1,0)，(－1,1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，其中落在圆(x＋1)2＋y2＝2内的有(－1,0)，(－1,1)，(0,0)共3个，∴所求概率P＝＝.
三、解答题
15．从装有3个白球和2个黑球的袋子中，随机取出两球，事件A＝“取出的球为两白球”，B＝“取出的球为两黑球”，C＝“取出的球一白一黑”，A、B、C是等可能事件吗？
[解析] A、B、C不是等可能事件．将白球编号为白1、白2、白3，将黑球编号为黑1、黑2.基本事件构成集合Ω＝{(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(黑1，黑2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白3，黑1)，(白3，黑2)}中共10个等可能的基本事件．
事件A中有3个基本事件，事件B中有1个基本事件，事件C中有6个基本事件．
16．从A、B、C、D、E、F六名学生中选出4个参加数学竞赛．
(1)写出这个试验的所有基本事件组成的集合；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出事件“A没被选中”所包含的基本事件．
[分析] 按一定顺序记录所有的基本事件．
[解析] (1)这个试验的基本事件构成的集合是：
Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}．
(2)从6名学生中选出4个参加数学竞赛，共有15种可能情况．
(3)“A没被选中”包含下列5个基本事件：
(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)．
17．1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有号码1、2、3、5，有放回地任取两球．
(1)求这个试验的基本事件总数；
(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．
[解析] (1)用(i，j)表示第一次取出的号码为i，第二次取出的号码为j，则这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)}．
∴基本事件的总数是16.
(2)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件有3个：(1,5)，(3,3)和(5,1)．
[点评] 条件不同，基本事件及基本事件构成的集合有可能发生变化．
18．袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球．从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？
[解析] 利用方程思想求解．
从袋中任取一球，记事件“取得红球”，“取得黑球”，“取得黄球”，“取得绿球”为A，B，C，D，则有
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝＝P(B)＋P(C)＋P(D)，
∴P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.3．1．2
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
[答案] B
2．从A、B、C、D、E、F共6名同学中选出4人参加数学竞赛．事件P为“A没被选中”，则基本事件总数和事件P中包含等可能的基本事件个数分别为( )
A．30,5 B．15,5
C．15,4 D．14,5
[答案] B
[解析] 用一一列举的方法，数出基本事件组成的集合Ω和事件P中所含的基本事件．
Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共15个等可能的基本事件．
事件P＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共5个基本事件．
3．抛掷一个骰子观察点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是( )
A．“出现奇数点”
B．“出现偶数点”
C．“点数大于3”
D．“点数是3的倍数”
[答案] B
[解析] 出现偶数点由基本事件“出现2点”，“出现4点”，“出现6点”组成．
4．从A、B、C三个同学中选2名代表，A被选中的概率为( )
A．1 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 基本事件组成的集合为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)}其中每个基本事件都是等可能出现的，含A的基本事件有两个，∴A被选中的概率为.
5．在1、2、3、4四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 可重复选取两个数共有4×4＝16种选法，其中一个数是另一个数的2倍的有：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4种，∴所求概率为P＝＝.
6．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )
A．三个都是正品
B．三个都是次品
C．三个中至少有一个是正品
D．三个中至少有一个是次品
[答案] C
[解析] 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C.
7．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
[答案] B
8．抛掷两颗均匀骰子，出现“点数之和为3”的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 掷一颗骰子有6种结果，抛掷2颗骰子共有36种结果．其中点数之和为3，包含(1,2)，(2,1)两种，∴概率为＝.
二、填空题
9．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示：
投篮次数n 8 10 15 20 30 40 50
进球次数m 6 8 12 17 25 32 38
进球频率
(1)计算表中进球的频率并填表；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？________.
[答案] (1)0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76；(2)0.8.
[解析] 频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是，，，，，，，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.
(2)概率是频率的稳定值，这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.
10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)如果a>b，那么b
(4)某人购买福利彩票中奖．
其中________是随机事件；________是不可能事件，________是必然事件．
[答案] (1)与(4)；(2)；(3)
11．同时掷3枚均匀硬币，恰好有两枚正面向上的概率为________．
[答案]
[解析] 基本事件构成集合Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，恰好有两枚正面向上的基本事件有3个，每一个基本事件发生的机会均等，∴概率为.
12．思考下列随机事件发生的可能性大小填空：
(1)一枚均匀硬币落地时，“正面向上”为事件A，“反面向上”为事件B，A与B发生的可能性为________．
(2)3黄1红共4个大小相同、均匀的乒乓球放在一个不透明的盒子中任取一球，记“取到黄球”为事件A，“取到红球”为事件B，A与B发生的可能性________．
(3)有大小相同、均匀的红、黄、黑三个球，任意摸出两球，记“摸到一红一黄两个球”为事件A，“摸到一黄一黑两个球”为事件B，则A与B发生的可能性________．
(4)一袋中有大小相同的两个红球和一个白球，任意摸出两个球，记“摸出一个红球和一个白球”为事件A，“摸出两个红球”为事件B，则A与B发生的可能性________．
[答案] (1)P(A)＝P(B) (2)P(A)>P(B)
(3)P(A)＝P(B) (4)P(A)>P(B)
三、解答题
13．你能用生活中的实例说明小概率事件也可能发生吗？
[解析] 小概率事件是指发生的可能性非常小的事件，但并不是说小概率事件就一定不发生了．如我们平日所接触的“30选7”、“35选7”的福利彩票一等奖的中出，它的概率都是几百万分之一，但它也发生了，也有得一等奖的幸运者．
14．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟的频率
(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．
(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82,0.82，0.793，0.794,0.807；
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
15．(1)某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，现有患这种疾病的病人10人前来就诊，前9人都未治愈，那么第10人就一定能治愈吗？
(2)某人掷一枚均匀硬币，已连续5次正面向上，他认为第6次抛掷出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
[解析] (1)如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，大约有10%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈．
(2)不正确．抛掷一枚硬币，作为一次试验，其结果是随机的，大量试验又呈现一定规律性，即“正面向上”和“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，其结果仍然是随机的，其出现反面向上的可能性仍是，不会大于.
16．P(x，y)是坐标平面内的一点，其中x，y分别取1,2,3,4中的两个不同的值．
(1)写出P点坐标的所有可能情形；
(2)其中“点P落在圆x2＋y2＝9内”包含哪几个基本事件．
[解析] (1)P点坐标所有可能情形构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．
(2)事件“点P落在圆x2＋y2＝9内”包含以下2个基本事件：(1,2)，(2,1)．
17．现有甲、乙、丙三个儿童玩石头、剪刀、布的猜拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的所有基本事件；
(2)事件“三人不分胜负”包含的基本事件．
[解析] 以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀，乙出石头，丙出布，则
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人不分胜负”包含(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(B，J，S)，(B，S，J)，(S，J，B)，(S，B，J)共9个基本事件．
[点评] 对于(J，S，B)甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲也视作不分胜负．3．1．1
一、选择题
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．
2．下列事件中，不可能事件为( )
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[答案] C
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有一个是次品
C．3个都是次品
D．至少有一个是正品
[答案] D
[解析] A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
4．某人连续抛掷一枚均匀硬币30000次，则正面向上的次数最有可能的是( )
A．13000 B．16201
C．11702 D．15000
[答案] D
5．先从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花，3张黑桃，再从抽取的12张牌中随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情( )
A．可能发生 B．不可能发生
C．必然发生 D．无法判断
[答案] C
[解析] 因为12张牌中，红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小于10，故从12张扑克中抽取10张，三种牌一定都有．
6．向区间(1,2)内投点，点落入区间(0,1)内是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．无法确定
[答案] C
7．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] ①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，08．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
[答案] B
[解析] 抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.∴选B.
二、填空题
9．概率从数量上反映了一个事件发生的________的大小，概率的取值范围是________，必然事件的概率是________，不可能事件的概率是________．
[答案] 可能性 0≤P(A)≤1 1 0
10．一个盒子中仅有2只白球和3只黑球，从中任取一只球
①“取出的球是白球”是________事件．
②“取出的球是黑球”是________事件．
③“取出的球是白球或黑球”是________事件．
④“取出的球是黄球”是________事件．
[答案] ①随机 ②随机 ③必然 ④不可能
11．一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1,2,3，…，8，从中任取一个球，写出所有基本事件构成的集合________．
[答案] Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}
[解析] 记取得球的标号为i，则Ω＝{1,2,3，…，8}．
12．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相切为事件M，用(a，b)表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为________．
[答案] (－2,1)，(－1,2)，(1，－2)
[解析] A＝{－2，－1,0,1,2}，
由直线与圆相切知，＝1，
∴3a＋4b＝±5，依次取a＝－2，－1,0,1,2，验证知，只有，，满足等式．
三、解答题
13．指出下列事件是随机事件，必然事件还是不可能事件？
(1)如果a(2)一个骰子连掷三次，三次都是6点．
(3)方程x2＋y2＋kx＝0表示圆．
(4)函数y＝kx＋3(k≠0)是减函数．
(5)连抛两个骰子，点数之和大于12.
(6)我国东南沿海明年将受到3次台风侵袭．
(7)某人开车经过3个路口都遇到绿灯．
(8)三个小球全部放入两个盒子中，必有一个盒子的球多于一个．
(9)在常温下，焊锡熔化．
(10)在条件A、B、C∈R且A2＋B2≠0下，直线Ax＋By＋C＝0不经过原点．
[解析] 当a0时，函数y＝kx＋3是增函数，k<0时，函数y＝kx＋3是减函数，故(4)是随机事件；每一个骰子出现的最大点数为6，故两颗骰子点数之和不可能大于12.故(5)是不可能事件；明年我国东南沿海受到台风侵袭次数可能为0次，1次，2次，3次等，故(6)为随机事件．某人开车经过3个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故(7)为随机事件；三个小球放入两个盒子中，无论怎样放法，总有一个盒子的球多于一个，故(8)是必然事件；在常温下，焊锡达不到熔点，不可能熔化，故(9)为不可能事件；随着c＝0与c≠0的变化，直线Ax＋By＋C＝0可能经过原点，也可能不经过原点，∴(10)为随机事件．
14．甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1)写出这个试验的所有基本事件构成的集合；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边”(不一定相邻)所包含的基本事件．
[解析] (1)从左到右记这三个位置为1,2,3，i＝“坐的座号是i”，则这个试验的基本事件构成集合
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号．
(2)这个试验的基本事件总数是6.
(3)事件“甲、乙相邻”包含以下4个基本事件：
(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)．
事件“甲在乙的左边”包含以下3个基本事件：
(1,2)，(1,3)，(2,3)．
15．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
[解析] 这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“a<3且b>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；
“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，
∴a16．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一组，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：
种子粒数 100 100 100 100 100 100
发芽粒数 79 78 81 79 80 82
发芽率 79% 78% 81% 79% 80% 82%
根据表格分析猕猴桃种子的发芽率．
[解析] 由表格中数据可知，猕猴桃种子发芽的频率稳定在80%，故可估计其发芽率为80%.3．3．1
一、选择题
1．在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )
A．0 B．0.002
C．0.004 D．1
[答案] C
[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．
∴P(A)＝＝＝0.004.
2．设x是一个锐角，则sinx>的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵使sinx>的锐角x∈(30°，90°)，
∴所求概率为P＝＝.
3．已知直线y＝x＋b的横截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上截距b大于1的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 直线y＝x＋b的横截距－b∈[－2,3]，∴纵截距b∈[－3,2]，故b>1的概率P＝＝.
4．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为.
∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝.
5．(2010·陕西宝鸡)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B.
C. D．π
[答案] C
[解析] 由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝，故选C.
6．已知f(x)＝x2＋x－2 x∈D，其中D＝[－3,3]，在D内任取x0，使f(x0)≥0的概率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.5
[答案] D
[解析] 由x＋x0－2≥0得，(x0＋2)(x0－1)≥0，
∴x0≤－2或x0≥1，
∵x0∈D，∴－3≤x0≤－2或1≤x0≤3，
∴所求概率P＝＝.
7．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P与A连结，则弦长超过半径的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图，AB＝AC＝R，当点P落在优弧上时，弦长AP>R，∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴的长为圆周长的，
∴所求概率P＝1－＝.
8．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABCA. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由VP－ABC二、填空题
9．(08·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
[答案]
[解析] 如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
10．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m、宽20m的长方形．则此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为________．
[答案]
[解析] 如图所示，区域Q是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是SQ＝30×20m2＝600m2，SA＝(30×20－26×16)m2＝184m2.
∴P(A)＝＝＝.
11．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．
[答案]
[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝πR3＝，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，
∴所求概率P＝＝.
12．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．
[答案]
[解析] 设事件A＝“硬币落下后与格线有公共点”．事件B＝“硬币落下后与格线没有公共点”，则事件A与事件B互为对立事件．为了确定硬币的位置，由硬币中心向正方形四边引垂线OM、ON、OP、OQ，垂足为M、N、P、Q，事件B发生的充要条件是O到四边的距离都大于1cm，即O在正方形中与它同中心的以4cm为边长的小正方形内．
μB＝42＝16(cm2)，μΩ＝62＝36(cm2)．
由几何概率公式得P(B)＝＝，
∴P(A)＝1－＝.
[点评] 把硬币与格线关系转化为硬币中心到格线的距离，从而转化为中心所在位置的面积型几何概率问题．
三、解答题
13．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝
＝＝.
14．(2010·苏北四市模考)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，其中a∈(0,2]，b∈(0,2]，求此函数在区间[1，＋∞)上为增函数的概率．
[解析] 函数f(x)＝ax2－bx－1在[，＋∞)上为增函数，据已知条件可知，，∴b≤2a，如图可知，所求概率
P＝＝.
15．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
[解析] (1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝.
(3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.
16．(2010·湖南湘潭市)下表为某体育训练队跳高成绩(x)与跳远成绩(y)的分布，成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.
跳远
5 4 3 2 1
跳高 5 1 3 1 0 1
4 1 0 2 5 1
3 2 1 0 4 3
2 1 3 6 0 0
1 0 0 1 1 3
(1)求该训练队跳高的平均成绩；
(2)现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．求y＝4的概率及x＋y≥8的概率．
[解析] (1)＝＝3.025
即该训练队跳高的平均成绩为3.025.
(2)当y＝4时的概率为p1＝，
因为x＋y≥8，即，，，，，
所以当x＋y≥8时的概率为p2＝＝.
y
分
人
数
x
分第三章
章末归纳总结
一、选择题
1．掷一颗骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 对立事件为出现1点或3点，
∴P＝1－＝.
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有1个白球；都是红球
[答案] C
3．从分别写着数字1,2,3，…，9的九张卡片中，任意抽取2张，其上数字之积是完全平方数的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如表，从1至9这9个数字中任取两个，所有可能取法为空白部分，共36种，其中两数的乘积是完全平方数的有1×4,1×9,2×8,4×9，
∴概率为P＝＝.
二、填空题
4．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中有6道选择题和4道填空题，甲、乙两人依次各抽一题，则甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率为______．
[答案]
[解析] 共有不同取法9＋8＋7＋…＋1＝45种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的抽法有6×4＝24种，
∴所求概率P＝＝.
5．已知集合A＝{－1,0,1,3}，从集合A中有放回的任取两个元素x、y作为点P的坐标，则点P落在坐标轴上的概率为________．
[答案]
[解析] 所有基本事件构成集合Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－1)，(3,0)，(3,1)，(3,3)}，其中“点P落在坐标轴上”的事件所含基本事件有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1,0)，(3,0)，∴P＝.
6．在单位正方形ABCD内(包括边界)任取一点M，△AMB的面积大于或等于的概率为________．
[答案]
[解析] 如图，取AD、BC的中点E、F，在EF上任取一点P，则S△ABP＝AB·＝，故当点M在矩形CDEF内时，事件“△AMB的面积大于等于”发生，其概率P＝＝.
7．设a∈[0,10)且a≠1，则函数f(x)＝logax在(0，＋∞)内为增函数，且g(x)＝在(0，＋∞)内也为增函数的概率为________．
[答案]
[解析] 由条件知，a的所有可能取值为a∈[0,10]且a≠1，使函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)内都为增函数的a的取值为
，∴1由几何概率知，P＝＝.3．1．3
一、选择题
1．如果事件A、B对立，与分别是A、B的对立事件，那么下面结论错误的是( )
A．A＋B是必然事件
B.＋是必然事件
C.与互斥
D.与一定不互斥
[答案] D
[解析] ∵A与B对立，∴＝B，＝A，∴A＋B、＋都是必然事件，与必互斥，∴选D.
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
[答案] C
[解析] A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，
∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
3．给出以下结论：
①互斥事件一定对立．
②对立事件一定互斥．
③互斥事件不一定对立．
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，
∴⑤错．
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
[答案] C
[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含4个基本事件，关系如图所示．显然，恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．
5．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
[答案] C
[解析] “至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．
6．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件产品．给出事件
①恰有一件次品和恰有两件次品．
②至少有一件次品和全是次品．
③至少有一件正品和至少有一件次品．
④至少有一件次品和全是正品．
四组中互斥事件的组数有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
[答案] B
[解析] (1)“恰有一件次品”和“恰有两件次品”不可能同时发生，故互斥；
(2)“至少有一件次品”包括“全是次品”的情形，事件“全是次品”发生时，“至少有一件次品”这一事件也发生了，故不互斥；
(3)“至少有一件正品”包括“一正一次”和“两正”两种情形，“至少有一件次品”包括“一次一正”和“两次”两种情形．当事件“取出的产品中有一件正品和一件次品”发生时，这两个事件同时都发生了，故不互斥；
(4)“至少有一件次品”与“全是正品”是对立事件，当然互斥，∴选B.
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为( )
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
[答案] D
[解析] 抽查一件成品，该产品属于甲、乙、丙等级的事件分别记作A、B、C，则A、B、C为互斥事件，由题设知P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，∴P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.96.
8．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )
A．3 B．4
C．2或5 D．3或4
[答案] D
[解析] 分别从A和B中各取一个数，一共有6种取法，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝2上的取法只有1种：(1,1)；恰好落在直线x＋y＝3上的取法有2种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线x＋y＝4上的取法也有2种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线x＋y＝5上的取法只有1种：(2,3)，故事件Cn的概率分别为，，，(n＝2,3,4,5)，故当n＝3或4时概率最大．
二、填空题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件
A＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”
B＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”
C＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”
D＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”
其中，
(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
(2)P(D)＝________，P(B)＝________，P(A)＋P(C)＝________.
[答案] (1)D；B；A，C；(2)1 0 1
P(D)＝1；P(B)＝0；A与C是对立事件，
∴P(A)＋P(C)＝P(A＋C)＝1.
10．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件．事件A＝“3件都是一级品”，则A的对立事件是________．
[答案] 三件中至少有一件是二级品
11．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为________．
[答案] 0.35
12．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：
年降水量(单位：mm) [0,50) [50,100) [100,150)
概率P 0.14 0.30 0.32
则年降水量在[50,150)(mm)范围内的概率为________，年降水量不低于150mm的概率是________．
[答案] 0.62 0.24
[解析] 0.30＋0.32＝0.62；1－(0.14＋0.30＋0.32)＝0.24.
三、解答题
13．某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，中靶环数大于6的概率为0.7，求事件A＝“中靶环数大于0小于等于6”的概率．
[解析] “未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件，“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0小于等于6”，即A.∴P(A)＝1－(0.05＋0.7)＝0.25.
14．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．
[解析] 任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．
(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．
(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．
15．2009年10月16日，第十一届全运会在山东济南举行．运动会前夕，山东省将派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为和，所以她们的粉丝认为山东省获得乒乓球女子单打冠军的概率是＋，该种说法正确吗？为什么？
[解析] 正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为
＋＝.
16．设A、B是两个事件，将事件“A、B都发生”、“A、B不都发生”、“A、B都不发生”分别记作C、D、E，判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)C与D；(2)C与E；(3)D与E.
[解析] (1)事件C、D不可能同时发生，但必有一个发生，故它们是对立事件．
(2)事件C、E不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于A、B恰好发生一个时C、E都不发生，所以C、E不是对立事件．
(3)由于A、B都不发生时，事件D、E都发生了，所以D、E不是互斥事件．3．2．2
一、选择题
1．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨
B．淋雨机会为
C．淋雨机会为
D．淋雨机会为
[答案] D
[解析] 用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，
∴淋雨的概率为P＝.
2．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随意抽取2个球，抽到白球、黑球各一个的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 将6个白球编号为白1、白2、白3、白4、白5、白6，把5个黑球编号为黑1、黑2、黑3、黑4、黑5.从中任取两球都是白球有基本事件15种，都是黑球有基本事件10种，一白一黑有基本事件30种，
∴基本事件共有15＋10＋30＝55个，∴事件A＝“抽到白球、黑球各一个”的概率P(A)＝＝，∴选A.
3．一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 基本事件共36个，∵方程有实根，
∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，∴m＋n≥4，
其对立事件是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，∴所求概率为P＝1－＝.
4．先后抛掷3枚均匀硬币，事件A＝“出现两枚正面，一枚反面”，B＝“至少出现一枚正面”，则事件A，B的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
[答案] C
[解析] 共有8个基本事件，A中含3个，B中含7个，∴P(A)＝，P(B)＝.
[点评] 求事件B的概率可利用“至少出现一枚正面”与“三枚都是反面”为对立事件来求解，∴P(B)＝1－＝.
5．(09·福建理)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[答案] B
[解析] 易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，
∴P＝＝，故选B.
6．下列命题中是错误命题的个数有( )
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥，∴①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，∴③不对；
当事件A为必然事件，事件B是事件A的真子集时有P(A)＋P(B)＝1，但A与B不是对立事件，∴④错，选D.
7．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系中的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件个数及其概率分别为( )
A．10和0.1 B．9和0.09
C．9和0.1 D．10和0.09
[答案] C
[解析] 基本事件构成集合为Ω＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≠y}，共有90个基本事件，其中y＝0的有9个，其概率为＝0.1，∴选C.
8．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，试验是连掷两次骰子．共包含6×6＝36个基本事件，如图知，事件“点P在直线x＋y＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝＝.
9．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A、B、C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A、C通过的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 用(A，B，C)表示A第一，B第二，C第三的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种，其中B先于A、C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)两种，故所求概率为P＝＝.
10．运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由程序框图中k＝2i－1知，输出的数都是奇数，从1到99，其中能被5整除的有5,15,25，…，95共10个，故所求概率P＝＝.
二、填空题
11．(09·湖北理)样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的概率约为________．
[答案] 64,0.4
[解析] [6,10)内的频数为200×0.08×4＝64.
[2,10)内的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
12．一个总体分A、B两层，其个体数之比为4?1，A层比B层多24个，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，则B层中甲、乙都被抽到的概率为________．
[答案]
[解析] 设A、B两层个体数分别为4x，x，则4x－x＝24，∴x＝8，∴B层中有8个个体，由分层抽样定义知，要从总体中抽取样本10个，则B层中应抽取10×＝2个，设B层中8个个体为：甲，乙，1,2,3,4,5,6，从中任取2个，所有可能取法共有28种，甲，乙都被抽到的情形只有1种，故所求概率为P＝.
13．(09·江苏理)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为______．
[答案] 0.2
[解析] 由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为P＝＝0.2.
三、解答题
14．(2010·山东文，19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，设该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，设该球的编号为n，求n[解析] (1)从袋中随机取出两个球，编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，而随机取两球其一切可能的事件有6个．
∴所求概率为P＝＝.
(2)由题意其一切结果设为(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
其概率P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
15．甲、乙两队进行篮球比赛，甲获胜的概率为60%，若比赛采用三局两胜制，用随机模拟方法求甲队胜的概率是多少？
[解析] 甲每局获胜的概率是确定的，但在比赛中一方连胜两局，第三局就不用比了，我们可以把甲获胜分为两种情况：①甲连胜两局；②甲前两局胜一局且第三局胜．
设事件A＝“甲连胜两局”；事件B＝“甲前两局胜一局且第三局胜”．
(1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1～10间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6表示甲队胜，用7,8,9,10表示乙队胜．
(2)两个一组，统计试验产生的随机数总组数N与两个数都出现1～6之间的数的次数N1；三个一组，统计试验产生随机数总组数M及前两个中有一个出现1～6之间的数，且第三个数出现1～6之间的数的次数M1.
(3)计算频率f(A)＝，f(B)＝，则f(A)＋f(B)可作为甲获胜的概率的近似值．
16．(2010·烟台实验中学)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1，1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
[解析] 函数f(x)＝ax2－4bx＋1图象的对称轴为x＝.要使y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，应有a>0且≤1，∴a≥2b且a>0.
①若a＝1，则b＝－2，－1；②若a＝2，则b＝－2，－1,1；③若a＝3，则b＝－2，－1,1；④若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；⑤若a＝5，则b＝－2，－1,1,2，
∴该事件包含基本事件数为16，
∴所求概率P＝＝.
17．第一小组有足球票3张，篮球票2张，第二小组有足球票2张，篮球票3张，甲从第一小组5张票和乙从第二小组5张票中各任意取出一张，两人都抽到足球票的概率是多少？
[解析] 甲从第一小组5张票中任取1张有5种抽法，同样乙也有5种抽法，总抽法种数为5×5＝25种，两人都抽到足球票的抽法有3×2＝6种，它们是等可能发生的，∴所求概率P＝.3．3．2
一、选择题
1．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为( )
[答案] C
[解析] ∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤8，
∴－2≤8a1－2≤6.
2．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是7分的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，其中币值正好为7分的必有一枚5分币，故有3×2＝6种，∴概率P＝＝.
3．从正六棱锥P－ABCD的侧棱和底边共12条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 共能组成11＋10＋9＋…＋1＝66对，其中为异面直线的有6×4＝24对(∵侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线)，∴P＝＝.
4．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体，所以所求概率P＝＝＝.
5．某人利用随机模拟方法估计π的近似值，设计了下面的程序框图，运行时，从键盘输入1000，输出值为788，由此可估计π的近似值约为( )
A．0.788 B．3.142
C．3.152 D．3.14
[答案] C
[解析] 由条件知，投入1000个点(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1内的有788个．
∵＝，
∴≈，∴π≈3.152.
6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E，
对于事件W＝“△PBC的面积大于”，有·BC·PE>··BC·AD，即PE>AD，∴BP>AB，
∴由几何概型的概率计算公式得P(W)＝＝.
7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y＝2x与x＝±1及x轴围成的图形的面积时，设计了如下算法：
设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S表示阴影部分的面积．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1S2：用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；
S5：S＝____①____；
S6：输出S，结束．
则①处应为( )
A．m B.
C．4m D.
[答案] D
[解析] ∵阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)＝.所以＝.
所以S＝即为阴影部分面积的近似值．
8．下面是随机模拟掷硬币试验的程序框图．
其中a＝0表示正面向上，a＝1表示反面向上，则运行后输出的是( )
A．正面向上的频数
B．正面向上的频率
C．反面向上的频数
D．反面向上的频率
[答案] D
二、填空题
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率为______．
[答案]
[解析] 基本事件的总数为6×6＝36(个)，记事件A＝“点P(m，n)落在圆x2＋y2＝25外”，即m2＋n2>25，当m取1、2、3时，n只能取5或6，有2×3＝6种；当m取4时，n只能取4、5、6有3种；当m取5或6时，n可取1至6的任何值，有2×6＝12种．
∴事件A包含的基本事件数共有6＋3＋12＝21个，
∴P(A)＝＝.
10．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，则△DBC的面积和△ADC的面积都大于的概率为________．
[答案]
[解析] 在AB上取三等分点E、F，过点E作EM∥BC交AC于M，过点F作FN∥AC交BC于N，
则当点D在△AEM内时，满足S△DBC>，
在△BFN内时，满足S△DAC>，设EM与FN的交点为G，则当点D在△EFG内时，同时满足S△DBC>，S△DAC>，∴所求概率P＝＝.
11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是区间[0,4]内的数，则f(1)>0成立的概率是________．
[答案]
[解析] ∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴点(a，b)构成区域为正方形OBDE及其内部，
∵f(1)＝－1＋a－b>0，
∴a－b>1，满足条件的点构成区域为△ABC及其内部，其中A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝，所求概率P＝＝＝.
三、解答题
12．向边长为2的正方形内投飞镖，用随机模拟方法估计飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．
[解析] 用几何概型概率计算方法可求得概率P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0；
S2 用函数rand( )*4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|<1，|y|<1，如果是则m的值加1，即m＝m＋1；否则m值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在附近波动，次数越多，越有可能稳定在附近．
13．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率．
[解析] 地铁列车每10min一班，在车站停1min可以看作在0～1min这个时间段内，车停在停车点，在1～11min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1min这个时间段内到达站台．
设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}．
S1 用计算机产生一组[0,1]区间的均匀随机数a1＝RAND；
S2 经过伸缩变换a＝11*a1
14．在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率，并写出算法．
[解析] 正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6cm与9cm之间．
设事件A＝{正方形的面积介于36cm2与81cm2之间}
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1*18;
算法为：
INPUT“n＝”；n
m＝0
DO
i＝1
a＝18*rand( )
15．如图，射击比赛使用的靶子是一个边长为50cm的正方形木板，由内到外画了五个同心圆，半径分别为5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由内到外依次为10环，9环，8环，7环，6环．某人在20m之外向此板射击，设击中线上或没有击中靶子时不算，可重新射击，假设击中靶子上任意位置的可能性相等．用随机模拟法估算下列概率：
(1)得到8环以上(包括8环)的概率；
(2)得到9环的概率；
(3)得到8环以下(不包括8环)的概率．
[解析] 设事件A＝“得到8环以上(包括8环)”，事件B＝“得到9环”，事件C＝“得到8环以下(不包括8环)”．
S1 用计算器产生两组[0,1]区间上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND……；
16．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
[解析] 设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)*6，y＝y1*9；
设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝.
所以，阴影部分面积的近似值为：S≈.
17．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝与直线x＝2及x轴围成的图形)的面积．
[解析] 设事件A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y<(所投的点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；
S2 用变换rand( )*2产生0～2之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标；用变换rand( )*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标；
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1.如果不是，m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后，事件A发生的频率作为事件A概率的近似值．
设阴影部分面积为S，正方形面积为4，则≈P(A)＝，
∴S≈.