人教版八年级数学上册同步练习：13.3.1　等腰三角形的性质（Word版 含答案）

13.3.1　等腰三角形
一、选择题
1.在等腰三角形ABC中,∠A=70°,则∠C的度数不可能是
(　　)
A.40°
B.55°
C.65°
D.70°
2.如图1,在等腰三角形ABC中,顶角∠A=44°,BD平分底角∠ABC且交AC于点D,E是BC延长线上一点,且CD=CE,则∠BDE的度数为
(　　)
图1
A.68°
B.78°
C.88°
D.112°
3.如图2,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,P是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),则∠BPC的度数可能是
(　　)
A.135°
B.85°
C.50°
D.40°
图2
4.如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC的度数为
(　　)
图3
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
5.如图5,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是
(　　)
图5
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠1=∠2
D.∠B=∠C
6
如图6,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是
(　　)
图6
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
7.在△ABC中,与∠A相邻的外角是130°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是(
)
A.50°
B.65°
C.50°或65°
D.50°或65°或80°
8.如图8,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有
(
)
图8
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
9.如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P有
(
)
图9
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
10.已知等腰三角形的底边长为a,底边上的高为h,用直尺和圆规作这个等腰三角形时,甲同学的作法是:先作线段BC=a,再作BC的垂直平分线MN交BC于点D,并在DM上截取DA=h,最后连接AB,AC,则△ABC即为所求作的等腰三角形.乙同学的作法是:先作线段AD=h,再过点D作AD的垂线MN,并在MN上截取BC=a,最后连接AB,AC,则△ABC即为所求作的等腰三角形.对于甲、乙两名同学的作图方法,下列判断正确的是
(
)
A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
二、填空题
11.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为　　　　.?
12.如图,已知P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动),∠AON=30°,当∠A=
时,△AOP为等腰三角形.
三、解答题
13.如图5,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠DAC=2∠D.
图5
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且CD=AD,AB=BD,求∠BDA的度数.
15.
如图,Rt△ABC中,∠A=90°,F为AB边上一点,CF交边AB于点F,作∠CFE=∠AFC,FE交边BC于点E,过点E作ED⊥CA于点D,ED交CF于点G.求证:EF=EG.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F.求证:AD=AF.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于点F.求证:DF=EF.
18.如图在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,连接AD,E是BC延长线上一点,CF平分∠ACE,连接AF,AF=AC.
(1)若∠CAD=36°,求∠B的度数;
(2)求证:AF∥BE.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AD=AE,∠B=80°,求∠CDE的度数.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.
(1)求∠NMB的度数;
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;
(3)你发现∠A与∠NMB之间有什么关系?试证明你的结论.
21.(1)操作实践:如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数(要求用两种不同的分割方法);
(2)分类探究:在△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一条直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值;
(3)猜想发现:若一个三角形能被一条直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件(请你写出两个条件,不需要证明)?
22.在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.
(1)如图①,过点D作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F,求证:BE+CF=EF;
(2)如图②,过点D作DE∥AB交BC于点E,DF∥AC交BC于点F,若BC=10,求△DEF的周长;
(3)若将已知条件中的“∠ACB的平分线”改为“△ABC的外角平分线”,其他条件同(1)(如图③),请你写出BE,CF,EF之间的数量关系(不需要证明).
23.(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BA=CA,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,试求∠DAE的度数;
(2)如果把(1)中的条件“BA=CA”去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?请说明理由;
(3)如果把(1)中的条件“∠BAC=90°”改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与
∠BAC之间有什么数量关系?
答案
1_10.CBAAB
ABDDB　
11.25°或65°　.
12.75°或120°或30°
13.证明:∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C,∠D=∠DBC.
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠D+∠D=2∠D.∴∠DAC=∠C=∠ABC=2∠D.
14.解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵CD=AD,
∴∠C=∠CAD.
∴∠CAD=∠B.
∴∠BDA=∠C+∠CAD=2∠B.
∴∠BAD=2∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,
∴5∠B=180°.
∴∠B=36°.
∴∠BDA=2∠B=72°.
15.证明:∵∠A=90°,
∴CA⊥AB.
∵ED⊥CA,
∴ED∥AB.
∴∠EGF=∠AFC.
又∵∠CFE=∠AFC,
∴∠EGF=∠CFE.
∴EF=EG.
16.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°.
∴∠F=∠BDE.
又∵∠ADF=∠BDE,
∴∠F=∠ADF.
∴AD=AF.
17.证明:过点D作DM∥AC交BC于点M,∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠DMB.∴BD=MD.
又∵BD=CE,∴MD=CE.
在△DMF和△ECF中,
∴△DMF≌△ECF(AAS).
∴DF=EF.
18.解:(1)∵AB=AC,D是边BC的中点,
∴∠B=∠ACB,AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
∴∠ACB=90°-∠CAD=90°-36°=54°.
∴∠B=∠ACB=54°.
(2)证明:∵CF平分∠ACE,
∴∠ACF=∠ECF.
∵AF=AC,
∴∠ACF=∠F.
∴∠ECF=∠F.
∴AF∥BE.
19.解:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵∠B=80°,∴∠CAD=∠BAD=10°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=×(180°-10°)=85°.
∴∠CDE=5°.
20.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠B=∠ACB=70°.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB.
∴∠NMB=90°-∠B=20°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,
∴∠B=∠ACB=55°.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,
∴MN⊥AB.
∴∠NMB=90°-∠B=35°.
(3)∠NMB=∠A.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,
∴MN⊥AB.∴∠NMB=90°-∠B=∠A.
21.解:(1)如图所示:
(2)设分割线为AD,相应的角度如图所示:
图①的最大角=39°+78°=117°,
图②的最大角=24°+180°-2×48°=108°,
图③的最大角=24°+66°=90°,
图④的最大角=84°,
故△ABC的最大内角的所有可能值是117°,108°,90°,84°.
(3)若一个三角形能被一条直线分割成两个等腰三角形,需满足的条件如下:
该三角形是直角三角形或该三角形有一个角是另一个角的2倍或该三角形有一个角是另一个角的3倍.(答案不唯一,写出两个即可)
22.解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC.∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC.∴∠EBD=∠EDB.∴BE=DE.同理CF=DF,∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF.
(2)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBE.∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.同理DF=CF.∴BC=BE+EF+CF=DE+EF+DF=10,
即△DEF的周长为10.
(3)EF=BE-CF.
23.解:(1)∵BA=CA,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°.∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=67.5°.
∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°.∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°.
(2)不会改变.理由:设∠CAE=m.∵CA=CE,∴∠E=∠CAE=m.
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2m.
∵在△ABC中,∠BAC=90°,∴∠B=90°-∠ACB=90°-2m.∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=m+45°.
∴∠DAE=∠BDA-∠E=m+45°-m=45°.
(3)设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠E=∠CAE=x,∠BDA=∠BAD=y.
∴∠DAE=∠BDA-∠E=y-x.
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAE-∠CAE=2y-2x,∴∠DAE=∠BAC.