苏科版八年级数学上册 第1章 全等三角形 巩固练习1-5（word版，含解析）

全等三角形练习1
1．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是　
　．
第1题
第2题
第3题
第4题
2．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　
　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
3．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为　
　cm/s．
4．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：　
　．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．
5．如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
6．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
7．已知：AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．求证：AD＝AE．
8．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？
9．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：
（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF．
练习1参考答案
1．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是　DF＝AC或CD＝AF．　．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠D＝∠A，
∴要得到△ABC≌△DEF，必须添加条件DF＝AC或CD＝AF．
故答案为：DF＝AC或CD＝AF．
2．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【解答】解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
3．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为　B、C　cm/s．
A.；B.1；C.1.5；D.2．
【解答】解：当△ACP≌△BPQ时，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∵AB＝4cm，
∴AP＝1cm，
∴BQ＝1cm，
∴点Q的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s）；
当△ACP≌△BQP时，
则AC＝BQ，AP＝BP，
∵AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，
∴AP＝BP＝2cm，BQ＝3cm，
∴点Q的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s）；
故选：B、C．
4．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：　②　．
①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；
∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；
∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；
故答案为：②．
5．如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
【解答】证明：在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠ADB＝∠BCA．
6．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴∠E＝∠F；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
7．已知：AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．求证：AD＝AE．
【解答】证明：在△AFC与△AGB中
，
∴△AFC≌△AGB（SAS），
∴∠AFC＝∠AGB，
∴∠AFD＝∠AGE，
∵AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．
∴∠ADF＝∠AEG＝90°，
在△ADF与△AEG中
，
∴△ADF≌△AEG（AAS），
∴AD＝AE．
8．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？
【解答】解：DE＝AB，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B＝∠EDC＝90°．
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED．
9．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：
（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF．
【解答】证明：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ADB和△CBD中
∴△ADB≌△CBD（AAS），
∴AD＝BC；
（2）∵∠ADB＝∠CBD，∠ADB＋∠EDA＝180°，∠CBD＋∠FBC＝180°，
∴∠EDA＝∠FBC，
在△EDA和△FBC中
∴△EDA≌△FBC（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴AE∥CF．
全等三角形练习2
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，则EF＝　
　．
第1题
第2题
第3题
第4题
2．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　
　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
3．如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝　
　°．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝　
　．
5．如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．求证：DE＝DF．
6．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BCF＝65°，求∠DMF的度数．
7．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论．
8．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；
（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD＋DC＝BE．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝BD，点E是线段AD上一点，且BE＝AC，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BED；
（2）若∠C＝78°，求∠ABE的度数．
练习2参考答案
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，则EF＝　7.5　．
【解答】解：∵过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
在Rt△AEC和Rt△CFB中，，
∴Rt△AEC≌Rt△CFB（HL），
∴EC＝BF＝4.5，
∴EF＝EC＋CF＝4.5＋3＝7.5，
故答案为：7.5．
2．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　10或20　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
3．如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝　100　°．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△ADF和△BFE中，
，
∴△ADF≌△BFE（SAS），
∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠DFB＝∠DFE＋∠EFB＝∠A＋∠ADF，
∴∠A＝∠DFE＝40°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
故答案为：100．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝　45°　．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝30°，
在△ABC和△CED中，，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADF＝∠CDA﹣∠CDE＝45°；
故答案为：45°．
5．如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．求证：DE＝DF．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF．
6．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BCF＝65°，求∠DMF的度数．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵AD＝AC＋CD，BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴AD＝BC，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC（AAS），
（2）∵△AED≌△BFC，
∴∠ADE＝∠BCF，
又∵∠BCF＝65°，
∴∠ADE＝65°，
又∵∠ADE＋∠BCF＝∠DMF
∴∠DMF＝65°×2＝130°．
7．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论．
【解答】（1）解：补全图形，如图所示；
AC⊥BD；
（2）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．
法二：设BD与AC交于E点，如下图所示，
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，
∴AC⊥BD．
8．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；
（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD＋DC＝BE．
【解答】（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，
∵AM∥BN，
∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，，
∴△ADC≌△FEC（AAS），
∴AC＝FC，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝FC＝AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABE＝90°；
（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC＋∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC＋∠DCA＝60°，
又∵∠DCA＋∠ACB＋∠BCH＋∠HCE＝180°，
∴∠DCA＋∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中，，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH＋HE＝DC＋AD，
即AD＋DC＝BE．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝BD，点E是线段AD上一点，且BE＝AC，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BED；
（2）若∠C＝78°，求∠ABE的度数．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠CAD＋∠C＝90°，
∵AD＝BD，BE＝AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：∵△ACD≌△BED，
∴∠DAC＝∠DBE，
∵∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠DBE＝∠CAD＝90°﹣78＝12°，
∵AD＝BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝45°﹣12°＝33°．
全等三角形练习3
1．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝　
　cm．
第1题
第2题
第3题
第4题
第4题
2．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　
　cm．
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　
　．
4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，
连结BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；
②∠BAD＝∠CAD；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有　
　．（把你认为正确的序号都填上）
5．如图，已知∠AEB＝∠D＝90°，AB＝BC，若△ABE≌△BCD，需要补充一个条件：　
　．
6．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　
　；②思路二的辅助线的作法是：　
　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
7．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若在原有条件基础上再添加AB＝AC，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）
8．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求证：AO＝OD．
9．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠CDE＝80°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
练习3参考答案
1．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝　6　cm．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝7cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm．
故答案为6
2．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC＋CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　SSS　．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO和△NCO中，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS．
4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，
连结BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；
②∠BAD＝∠CAD；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有　①③④　．（把你认为正确的序号都填上）
【解答】解：∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE，故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
故答案为：①③④．
5．如图，已知∠AEB＝∠D＝90°，AB＝BC，若△ABE≌△BCD，需要补充一个条件：　BE＝CD或AE＝BD或∠A＝∠CBD，∠ABE＝∠C　．
【解答】解：根据HL，可以添加：BE＝CD或AE＝BD，
根据AAS，可以添加：∠A＝∠CBD，∠ABE＝∠C，
故答案为BE＝CD或AE＝BD或∠A＝∠CBD，∠ABE＝∠C．
6．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG　；
②思路二的辅助线的作法是：　作BG＝BF交AD的延长线于点G　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
【解答】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：
∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
7．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若在原有条件基础上再添加AB＝AC，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDF≌△BDE（AAS），
∴DE＝DF
（2）可以得出AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．（理由等腰三角形三线合一）．
8．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求证：AO＝OD．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠C，
∵AC∥FD，
∴∠BCA＝∠EFD，
∵FB＝EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝CF，∠ACB＝∠DFE，
在△ACO和△DFO中，，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴AO＝OD．
9．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠CDE＝80°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△DBE，
∴∠BDE＝∠A＝180°﹣80°＝100°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°
全等三角形综合练习4
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
求证：DE＝DF．
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．
4．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD，求证：△OAB是等腰三角形．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC＋AD．
6．已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，B、C分别是垂足，DE交AC于M，BC＝CD，AB＝EC，DE与AC有什么关系？请说明理由．
练习4参考答案
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1＋∠ABD＝25°＋30°＝55°．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE＝DF．
【解答】证明：证法一：连接AD．
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
证法二：在△ABC中，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
∵点D是BC边上的中点
∴BD＝DC
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）．
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC＋∠EBD＝∠DCB＋∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
4．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD，求证：△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA＝∠CAB，
∴OA＝OB，
即△OAB是等腰三角形．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC＋AD．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC＋AD（等量代换）．
6．已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，B、C分别是垂足，DE交AC于M，BC＝CD，AB＝EC，DE与AC有什么关系？请说明理由．
【解答】解：结论：DE＝AC，DE⊥AC，
理由是：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠DCE＝∠B＝90°，
在△DCE和△CBA中
∴Rt△DCE≌Rt△CBA（SAS），
∴DE＝AC，∠D＝∠ACB，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACB＋∠DCM＝90°，
∴∠D＋∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
∴DE⊥AC．
全等三角形综合练习5
1．如图，已知：EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．求证：∠B＝∠D．
2．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）△AEC≌△ABF；
（2）EC⊥BF．
3．如图：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE＝BD，DE与AC相交于点F．
（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）是否存在点D，使AE＝AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE＋CD．
5．阅读并填空：
如图，△BC是等腰三角形，AB＝AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且联接DE交BC于O，如果OE＝OD，那么CD＝BE，为什么？
解：过点E作EF∥AC交BC于F，
∴∠ACB＝∠EFB（两直线平行，同位角相等），
∠D＝∠OEF（　
　），
在△OCD与△OFE中，
，
∴△OCD≌OFE，（　
　），
∴CD＝FE（　
　），
∵AB＝AC（已知），
∴∠ACB＝∠B（　
　），
∴∠EFB＝∠B（等量代换），
∴BE＝FE，
∴CD＝BE．
6．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，则BE与AF的数量关系是　
　．
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么上述结论还成立吗？请利用图②说明理由．
7．已知：在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，∠BPD＝∠CPE，点D，E分别在边AB，AC上．
（1）如图1，当∠CPE＝∠C时，求证：PD＋PE＝AB；
（2）如图2，当∠CPE＞∠C时，过点B作∠CBM＝∠BPD，交CA的延长线于点D，试猜想：线段PD，PE与BM之间的数量关系，并说明理由．
综合练习5参考答案
1．如图，已知：EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．求证：∠B＝∠D．
【解答】证明：如图，∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE＋∠ECA＝∠DCA＋∠ECA，即∠BCA＝∠DCE．
在△ABC和△EDC中，
∵，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴∠B＝∠D．
2．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）△AEC≌△ABF；
（2）EC⊥BF．
【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠FAC＋∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF，
在△AEC和△ABF中
∴△AEC≌△ABF（SAS）．
（2）∵△AEC≌△ABF，
∴∠ACE＝∠AFB，
∵∠FAC＝90°，
∴∠AFB＋∠AOF＝90°，
∴∠ACE＋∠AOF＝90°，
∵∠AOF＝∠COM，
∴∠ACE＋∠COM＝90°，
∴∠CMF＝180°﹣90°＝90°，
∴EC⊥BF．
3．如图：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE＝BD，DE与AC相交于点F．
（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）是否存在点D，使AE＝AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）△CDE是等腰直角三角形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠B＝∠CAE，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴CD＝CE，∠ACE＝∠BCD，
∵∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形；
（2）存在AD＝1．理由如下：
∵AE＝AF，∠CAE＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADC＝22.5°＋45°＝67.5°，
在△ACD中，∠ACD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC＝1．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE＋CD．
【解答】证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO＝∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE＝∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA＋∠DAC＝∠ACB＋∠BAC＝（∠ACB＋∠BAC）＝（180°﹣∠B）＝60°
则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；
∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，
则∠COF＝60°，
∴∠COD＝∠COF，
∴在△FOC与△DOC中，，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC＝FC，
∵AC＝AF＋FC，
∴AC＝AE＋CD．
5．阅读并填空：
如图，△BC是等腰三角形，AB＝AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且联接DE交BC于O，如果OE＝OD，那么CD＝BE，为什么？
解：过点E作EF∥AC交BC于F，
所以∠ACB＝∠EFB（两直线平行，同位角相等），
∠D＝∠OEF（　两直线平行，内错角相等　），
在△OCD与△OFE中，
，
所以△OCD≌OFE，（　ASA　），
所以CD＝FE（　全等三角形的对应边相等　），
因为AB＝AC（已知），
所以∠ACB＝∠B（　等边对等角　），
所以∠EFB＝∠B（等量代换），
所以BE＝FE，
所以CD＝BE．
【解答】解：过点E作EF∥AC交BC于F，
所以∠ACB＝∠EFB（两直线平行，同位角相等），
∠D＝∠OEF（两直线平行，内错角相等），
在△OCD与△OFE中，，
所以△OCD≌OFE（ASA），
所以CD＝FE（全等三角形的对应边相等），
因为AB＝AC（已知），
所以∠ACB＝∠B（等边对等角），
所以∠EFB＝∠B（等量代换），
所以BE＝FE，
所以CD＝BE．
故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；ASA；全等三角形的对应边相等；等边对等角．
6．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，则BE与AF的数量关系是　BE＝AF　．
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么上述结论还成立吗？请利用图②说明理由．
【解答】解：（1）BE＝AF，理由如下：
连接AD．如图①所示：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAF＝45°，
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF；
故答案为：BE＝AF．
（2）结论成立．理由如下：
连接AD，如图②所示：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAC＝45°，
∴∠DBE＝∠DAF＝135°，
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF．
7．已知：在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，∠BPD＝∠CPE，点D，E分别在边AB，AC上．
（1）如图1，当∠CPE＝∠C时，求证：PD＋PE＝AB；
（2）如图2，当∠CPE＞∠C时，过点B作∠CBM＝∠BPD，交CA的延长线于点D，试猜想：线段PD，PE与BM之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：如图1，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BPD＝∠CPE，∠CPE＝∠C，
∴BD＝PD，PE＝CE，且PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∴AD＝PE，
∴PD＋PE＝BD＋AD＝AB．
（2）线段PD，PE与BM之间的数量关系为PD＋PE＝BM．
证明：如图2，过点P作PN∥AC，交BM于点N，
∵∠BPD＝∠CPE，∠CBM＝∠BPD，
∴∠CBM＝∠CPE，
∴PE∥BM，
∴四边形PEMN是平行四边形，
∴MN＝PE，
∵PN∥AC，
∴∠BPN＝∠C，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BPN＝∠PBD，
又∠PBN＝∠BPD，BP＝PB，
∴△BPN≌△PBD（ASA），
∴BN＝PD，
∴PD＋PE＝BN＋MN＝BM．
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