物理：3.6《带电粒子在匀强磁场中的运动》精品学案（人教版选修3-1）

第6节　带电粒子在匀强磁场中的运动
要点一 带电粒子在磁场中运动的轨迹
1．圆心的确定
带电粒子进入一个有界匀强磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键．
首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上．
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图3－6－2所示，图中P为入射点，M为出射点)．
图3－6－2
　　　　图3－6－3
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3－6－3所示，P为入射点，M为出射点)．
2．半径的确定和计算(如图3－6－4所示)
图3－6－4
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)．并注意以下两个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于回旋角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图3－6－4)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
(2)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°.
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所
对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝T或(t＝T)．
要点二 回旋加速器的工作原理
回旋加速器的工作原理如图3－6－5所示．放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0垂直进入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动．经过半个周期，当它沿着半圆A0A1到达A1时，我们在A1A1′处设置一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1′处受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动．我们知道，粒子的轨迹半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆周运动．又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1′A2′到达A2′时，我们在A2′A2处设置一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2.如此继续下去，每当粒子运动到A1A1′、A3A3′等处时都使它受到一个向上电场的加速，每当粒子运动到A2′A2、A4′A4等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么，粒子将沿着图示的螺线回旋下去，速率将一步一步地增大．
图3－6－5
电偏转和磁偏转的区别有哪些？
所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别.
磁偏转 电偏转
受力特征及运动规律 若v⊥B，则洛伦兹力F洛＝qvB，使粒子做匀速圆周运动，v的方向变化，又导致F洛的方向变化，其运动规律可由r＝和T＝进行描述. F电为恒力，粒子做匀变速曲线运动——类平抛运动，其运动规律可由vx＝v0，x＝v0t，vy＝t，y＝t2进行描述．
偏转情况 粒子的运动方向能够偏转的角度不受限制，θB＝ωt＝t＝t，且相等时间内偏转的角度相等. 粒子运动方向所能偏转的角度θE<，且相等时间内偏转的角度不同．
动能的变化 由于F洛始终不做功，所以其动能保持不变. 由于F电与粒子速度的夹角越来越小，所以其动能不断增大，并且增大得越来越快.
一、带电粒子在磁场中的运动
【例1】 月球“勘探者号”空间探测器，
图3－6－6
运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定方面取得最新成果．月球上的磁场极其微弱，探测器通过测量运动电子在月球磁场中轨迹来推算磁场强弱的分布，如图3－6－6是探测器通过月球a、b、c、d位置(a轨迹恰为一个半圆)．设电子速率相同，且与磁场方向垂直．据此可判断磁场最弱的是哪个位置．已知图中照片是边长为20 cm的正方形，电子比荷为1.8×1011 C/kg，速率为90 m/s，则a点的磁感应强度为多少？
答案　d　5.0×10－9 T
解析　由于电子速率相同，其轨道半径r＝mv/Bq，与B的强弱有关系．又因为rd＞rc＞rb＞ra，所以d点磁感应强度最小(磁场最弱)．对a的圆周运动来说，必须满足条件：Bqv＝mv2/r从而求得B＝mv/qr＝5.0×10－9 T
二、回旋加速器
【例2】 回旋加速器中，随着粒子的运动越来越快，也许粒子走过半圆的时间间隔越来越短，这样两盒间电势差的正负变换就要越来越快，从而造成技术上的一个难题．实际情况是这样吗？
答案　见解析
解析　不是这样．回旋加速器中，两D形盒盒缝宽度远小于盒半径，粒子通过盒缝的时间就可以忽略，这样粒子走过半圆的时间间隔为粒子运动周期的一半，即Δt＝＝·＝，与粒子运动的速率无关，因此，只要使所加交变电场的周期与带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期相同(T＝)，就可以保证粒子每经过盒缝时都正好赶上合适的电场方向而被加速.
1.运动电荷进入磁场后(无其他作用)可能做(　　)
A．匀速圆周运动　　　　　　B．匀速直线运动
C．匀加速直线运动 D．平抛运动
答案　AB
2．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场，则(　　)
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的1/4
D．粒子速率不变，周期减半
答案　BD
3．试根据回旋加速器构造及工作原理回答下列问题．
(1)D形金属扁盒的作用是什么？
(2)在加速区有没有磁场？若有，对带电粒子的加速有没有影响？
答案　(1)D形金属扁盒的主要作用是起到静电平衡作用，使得盒内空间的电场极弱，这样就可以使运动的粒子只受洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动．
(2)在加速区域也存在磁场，但由于加速区域内距离很小，磁场对带电粒子的加速过程的影响也很小，所以，可以忽略磁场的影响．
4．质谱仪是用来测定带电粒子的质量和分析同位素的装置，
图3－6－7
如图3－6－7所示，电容器两极板相距为d，两板间的电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，一束电荷量相同的带正电的粒子沿电容器的中线平行于极板射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，结果分别打在感光片上的a、b两点，设a、b两点之间的距离为x，粒子所带电荷量为q，如不计重力．求：
(1)粒子进入匀强磁场B2时的速度v为多少？
(2)打在a、b两点的粒子的质量之差Δm为多少？
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子在电容器中做直线运动，故q＝qvB1，得v＝.
(2)带电粒子在匀强磁场B2中做匀速圆周运动，则打在a处的粒子的轨道半径R1＝，打在b处的粒子的轨道半径R2＝，又x＝2R1－2R2，解得Δm＝m1－m2＝.
题型一 带电粒子在有界磁场中的运动
如图1所示为一种质谱仪的工作原理示意图．在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场．对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点．CM垂直磁场左边界于M，且OM＝d.现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：
图1
(1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象)．
(2)离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间．
思维步步高如何判断带电粒子的受力方向？带电粒子在磁场中的轨道半径和d的关系是什么？离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，粒子在磁场中运动的圆心角是多少？如何把这个圆心角和周期联系起来？
解析　(1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R.由qv0B＝，R＝d，得B＝，磁场方向垂直纸面向外．
(2)设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t.如图分析有：
得，
方法一：设弧长为s
，s=2(θ+α)×R′
方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=
答案　(1) 　垂直纸面向外　(2)
粒子在有界磁场中运动的常见问题：①粒子圆心的确定，根据半径一定过圆心，并且半径和运动方向垂直，所以入射速度和出射速度的垂线或者入射点和出射点连线的中垂线即为半径．②粒子在磁场中的运动时间等于在磁场中的圆心角和圆周角的比值和周期的乘积.
题型二 带电粒子在复合场中的运动
两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图2甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)．在t＝0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)．若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且t0＝，两板间距h＝.
图2
(1)求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值．
(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h表示)．
思维步步高电场和磁场分时间段存在，则在电场存在的时间内粒子做什么运动？在磁场存在时粒子做什么运动？在电场中运动的第一段时间内的末速度是多少？当磁场单独存在时，粒子运动的时间和周期有什么关系？在第二段电场存在的时间内的运动的位移是多少？是否需要考虑板的宽度？粒子能否始终加速下去？
解析　(1)设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为x1
x1＝at①
a＝②
又已知t0＝，h＝
联立①②式解得
＝③
(2)粒子在t0～2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度大小为v1，轨道半径为R1，周期为T，则
v1＝at0④
qv1B0＝m⑤
联立④⑤式得
R1＝⑥
又T＝⑦
即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t0～3t0时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移大小为x2
x2＝v1t0＋at⑧
解得x2＝h⑨
由于x1＋x2v2＝v1＋at0⑩
qv2B0＝m
解得R2＝
由于，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动．在4～5时间内，粒子运动到正极板(如右图所示)．因此粒子运动的最大半径
答案　(1)　(2)
复合场问题是高考的重点内容之一，具有难度大、综合性强的特点．解决问题的方法是认真对粒子的受力情况和初状态进行分析，确定其运动的轨迹．如果是电场和磁场分时间段存在和分区域存在的问题，应该注意时间的连接处或场区的连接处粒子运动状态的改变情况.
一、选择题
1.
图3
一电子与质子速度相同，都从O点射入匀强磁场区，则图3中画出的四段圆弧，哪两个是电子和质子运动的可能轨迹(　　)
A．a是电子运动轨迹，d是质子运动轨迹
B．b是电子运动轨迹，c是质子运动轨迹
C．c是电子运动轨迹，b是质子运动轨迹
D．d是电子运动轨迹，a是质子运动轨迹
答案　C
2.
图4
一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内．一个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x轴正方向．后来，粒子经过y轴上的P点，如图4所示．不计重力的影响，粒子经过P点时的速度方向可能是图中箭头表示的(　　)
A．只有箭头a、b是可能的
B．只有箭头b、c是可能的
C．只有箭头c是可能的
D．箭头a、b、c、d都是可能的
答案　C
3．如图5所示，
图5
在xOy平面内，匀强电场的方向沿x轴正向，匀强磁场的方向垂直于xOy平面向里．一电子在xOy平面内运动时，速度方向保持不变．则电子的运动方向沿(　　)
A．x轴正向
B．x轴负向
C．y轴正向
D．y轴负向
答案　C
解析　电子受静电力方向一定水平向左，所以需要受向右磁场力才能匀速运动，根据左手定则进行判断可得电子应沿y轴正向运动．
4．如图6所示，
图6
某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒从a点进入场区并刚好能沿ab直线向上运动，下列说法中正确的是(　　)
A．微粒一定带负电
B．微粒的动能一定减小
C．微粒的电势能一定增加
D．微粒的机械能一定增加
答案　AD
解析　微粒进入场区后沿直线ab运动，则微粒受到的合力或者为零，或者合力方向在ab直线上(垂直于运动方向的合力仍为零)．若微粒所受合力不为零，则必然做变速运动，由于速度的变化会导致洛伦兹力变化，则微粒在垂直于运动方向上的合力不再为零，微粒就不能沿直线运动，因此微粒所受合力只能为零而做匀速直线运动；若微粒带正电，则受力分析如下图甲所示，合力不可能为零，故微粒一定带负电，受力分析如图乙所示，故A正确，B错；静电力做正功，微粒电势能减小，机械能增大，故C错，D正确．
5.
图7
回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图7所示，要增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是(　　)
A．增大匀强电场的加速电压
B．增大磁场的磁感应强度
C．减小狭缝间的距离
D．增大D形金属盒的半径
答案　BD
解析　经回旋加速器加速后粒子获得的动能E＝，可以看出要增大粒子射出时的动能就要增大磁场的磁感应强度，增大D形金属盒的半径，故B、D正确；增大匀强电场间的加速电压，减小狭缝间的距离都不会改变粒子飞出时的动能，只是改变了每次加速的动能变化量，故A、C错误．
6．如图8是某离子速度选择器的原理示意图，
图8
在一半径R＝10 cm的圆柱形筒内有B＝1×10－4 T的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷为＝2×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v大小是(　　)
A．4×105 m/s　　　　　　B．2×105 m/s
C．4×106 m/s D．2×106 m/s
答案　C
7．如图9所示
图9
是粒子速度选择器的原理示意图，如果粒子所具有的速率v＝，那么(　　)
A．带正电粒子必须沿ab方向从左侧进入场区，才能沿直线通过
B．带负电粒子必须沿ba方向从右侧进入场区，才能沿直线通过
C．不论粒子电性如何，沿ab方向从左侧进入场区，都能沿直线通过
D．不论粒子电性如何，沿ba方向从右侧进入场区，都能沿直线通过
答案　AC
二、计算论述题
8．如图10所示，
图10
一束电子流以速度v通过一处于矩形空间的匀强磁场，速度方向与磁感线垂直．且平行于矩形空间的其中一边，矩形空间边长为和a，电子刚好从矩形的相对的两个顶点间通过，求电子在磁场中的飞行时间．
答案　
解析　根据题意可知圆心应在AB延长线上，设做圆周运动的半径为r，则有
r2＝(r－a)2＋()2，得r＝2a
在磁场中运动的圆弧所对圆心角为60°，所以
t＝＝＝.
9．质谱仪原理如图11所示，a为粒子加速器，电压为U1，b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d，c为偏转分离器，磁感应强度为B2.今有一质量为m，电荷量为＋e的粒子(不计重力)经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动．求：
图11
(1)粒子的速度v.
(2)速度选择器的电压U2.
(3)粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R.
答案　(1) 　(2)B1d 　(3)
解析　根据动能定理可求出速度v，据静电力和洛伦兹力相等可得到U2，再据粒子在磁场中做匀速圆周运动的知识可求得半径．
(1)在a中，粒子被加速电场U1加速，由动能定理有
eU1＝mv2
得v＝
(2)在b中，粒子受的静电力和洛伦兹力大小相等，即
e＝evB1
代入v值得U2＝B1d
(3)在c中，粒子受洛伦兹力作用而做圆周运动，回转半径R＝，代入v值得R＝
10．如图12所示，AB间存在方向与竖直成45°角斜向上的匀强电场E1，BC间存在竖直向上的匀强电场E2，AB间距为0.2 m，BC间距为0.1 m，C为荧光屏．质量m＝1.0×10－3 kg，电荷量q＝＋1.0×10－2 C的带电粒子由a点静止释放，恰好沿水平方向经过b点到达荧光屏的O点．若在BC间再加方向垂直纸面向外、大小B＝1.0 T的匀强磁场，粒子经b点偏转到达荧光屏的O′点(未画出)．取g＝10 m/s2，求：
(1)E1的大小．
(2)加上磁场后，粒子由b点到O′点电势能的变化量．
图12
答案　(1)1.4 V/m　(2)2.7×10－4 J
解析　
(1)粒子在AB间做匀加速直线运动，受力如右图所示，
qcos 45°=mg
V/m=1.4 V/m
(2)由动能定理得：
=2 m/
加磁场前粒子在BC间作匀速直线运动
则有q=mg
加磁场后粒子作匀速圆周运动，轨迹如图．
由洛伦兹力提供向心力得
，R==0.2 m
设偏转距离为y，由几何关系得：
y=2.7×m
W=-q·y=-mgy=-2.7×J
即电势能变化了2.7×J