物理：3.5《力的分解》精品学案（人教版必修1）

第5节　力的分解
为什么高大的桥要造很长的引桥，为什么刀刃的夹角越小越锋利呢？
取一根细线，将细线的一端系在右手中指上，另一端系上一个重物．用一支铅笔的尾部顶在细线上的某一点，使细线的上段保持水平、下段竖直向下，铅笔的尖端置于右手掌心如右图所示．你能感觉到重物竖直向下拉细线的力产生了哪两个作用效果吗？请根据你的感觉在图中标出这两个分力的方向．
要点一、力的分解
1．基本定义
求一个已知力的分力叫力的分解．
2．分解依据
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则．
3．分解原则
(1)把一个已知力作为平行四边形的对角线，则与已知力共点的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．由于同一条对角线可以作出无数个不同的平行四边形，因此，如果没有限制，从理论上分析，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
进行力的分解，主要是按力的实际作用效果进行分解．如在斜面上静止的物体，其重力产生的效果：一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面．但不能就此认为斜面上的物体的重力都这样分解，如光滑小球被竖直挡板挡在斜面上静止，此时其重力产生的效果一是使球压紧竖直挡板，二是使球压紧斜面．
4．分解思路
力的分解，关键是根据力的实际作用效果确定分力的方向，然后画出力的平行四边形，这样就可以利用数学关系确定所求的分力，具体思路为：
要点二、力按作用效果分解的几个典型实例
实例 分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝.
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝.
要点三、力的正交分解法
1．力的正交分解法
在许多情况下，根据力的实际作用效果，我们可以把一个力分解为两个相互垂直的分力．把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法．
2．正交分解法的原理
一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得．当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便．为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后由F＝求合力．
3．正交分解法的步骤
(1)以力的作用点为原点建立直角坐标系，标出x轴和y轴．如果这时物体处于平衡状态，则两轴方向可根据解题方便自己选择．
图3－5－2
(2)将与坐标轴不重合的力分解为x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明Fx和Fy.
(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出力Fx、Fy的表达式．如图3－5－2所示，F与x轴夹角为θ，则Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ，与两轴重合的力就不要再分解了．
(4)列出x轴方向上各分力的合力和y轴方向上各分力的合力的两个方程，然后求解.
一、对力作用效果的理解
图3－5－7
例1 如图3－5－7所示，光滑斜面上物体重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法中正确的是(　　)
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力
B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力的作用
C．物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用
D．力FN、F1、F2三力的作用效果与mg、FN两个力的作用效果相同
解析　F1、F2两个力是重力mg的两个分力，其作用效果与重力mg等效，性质与重力的性质相同，所以F2不是物体对斜面的压力，物体只受重力mg和斜面支持力FN的作用．力的合成与分解的原理就是分力的作用效果与合力作用效果相同，考虑了合力作用效果后，就不能再考虑分力的作用效果，否则是重复考虑了力的作用效果，导致错误的结论，故C、D正确．
答案　CD
(1)物体对斜面的压力和重力G垂直斜面的分力F2不是一个力．
(2)在分析物体受力时，合力与分力不能重复考虑.
二、力分解有定解的条件
例2 在已知的一个力的分解中，下列情况具有唯一解的是(　　)
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两个分力的大小
解析　已知两分力的方向，并且两分力方向不在同一直线上，已知力只能分解成一组分力，故A正确；若已知一个分力的大小和方向，只有一组解，故B正确；已知一个分力的方向和另一个分力的大小，可能有一解，可能有两解，也可能无解，故C错误；已知两分力大小，可能有一解，可能有两解，也可能无解，故D错误．
答案　AB
三、正交分解法的应用
图3－5－8
例3 如图3－5－8所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，物体与地面间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为(　　)
A．Fsin θ　　　　 B．Fcos θ
C．μ(Fsin θ＋mg) D．μ(mg－Fsin θ)
解析　先对物体进行受力分析，如下图所示，然后对力F进行正交分解，F产生两个效果：使物体水平向前F1=Fcos θ，同时使物体压紧水平面F2=Fsin θ.由力的平衡可得F1=Ff，F2+G=FN，又滑动摩擦力Ff=μFN，即可得Ff=Fcos θ=μ(Fsin θ+G)．
答案　BC
解决此类问题首先要对物体进行正确地受力分析，然后正确地建立坐标系，一般的原则是让尽量多的力落在坐标轴上.
图3－5－9
1．如图3－5－9所示，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为(　　)
A．2F1 B．F2 C．2F3 D．0
答案　D
解析　由矢量三角形定则可以看出，首尾相接的任意两个力合力必与第三个力大小相等、方向相反，所以这三个力的合力为零．
2．将一个竖直向下的8 N的力分解为两个力，其中一个分力方向水平，大小为6 N，那么另一个分力大小为(　　)
A．10 N B．8 N C．6 N D．2 N
答案　A
图3－5－10
3．将质量为m的长方形木块放在水平桌面上，用与水平方向成α角的斜向右上方的力F拉木块，如图3－5－10所示，则(　　)
A．力F的水平分力为Fcos α，等于木块受的摩擦力
B．力F的竖直分力为Fsin α，它使物体m对桌面的压力比mg小
C．力F的竖直分力为Fsin α，它不影响物体对桌面的压力
D．力F与木块重力mg的合力方向可以竖直向上
答案　B
4．关于力的分解，下列说法正确的是(　　)
A．力的分解的本质就是用同时作用于物体的几个力产生的作用效果代替一个力的作用效果
B．某个分力的大小可能大于合力大小
C．力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则
D．分解一个力往往根据它产生的效果来分解
答案　ABCD
5．在光滑斜面上自由下滑的物体受到的力有(　　)
A．重力和斜面的支持力
B．重力、下滑力
C．重力、下滑力和斜面的支持力
D．重力、下滑力、正压力和斜面的支持力
答案　A
6．将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是(　　)
A．F是物体实际受到的力
B．F1和F2两个分力在效果上可以取代F
C．物体受到F1、F2和F三个力的作用
D．F是F1和F2的合力
答案　ABD
7．已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间的夹角为60°，现将它分解到x轴和y轴方向上，则(　　)
A．Fx＝5 N，Fy＝5 N B．Fx＝5 N，Fy＝5 N
C．Fx＝5 N，Fy＝5 N D．Fx＝10 N，Fy＝10 N
答案　B
解析　画出坐标系及受力情况，如右图所示，已知两分力方向，作出平行四边形，由三角形关系得Fx=Fcos 30°=5 N，Fy=Fsin 30°=5 N.
8．一个物体受三个力的作用，已知一个力是80 N，指向东偏北30°的方向；一个力为40 N，指向西北方向；一个力为20 N，指向南方，求三个力的合力大小．
答案　63.3 N
[
解析　物体受力示意图如图所示．取向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向，建立直角坐标系，如图所示．将F1、F2进行正交分解．
由图可知F1x=F1cos 30°，F1y=F1sin 30°.
F2x=-F2cos 45°，F2y=F2sin 45°.
F3x=0，F3y=-F3.
x方向的合力为
Fx=F1x+F2x+F3x=F1cos 30°-F2cos 45°
　=(80×-40×) N=41 N.
y方向的合力为
Fy=F1y+F2y+F3y=F1sin 30°+F1sin 45°-F3
　=(80×+40×-20) N
　=48.28 N
最后三个力的合力大小为
F== N=63.3 N.
9．图3－5－11为剪式千斤顶，是用来顶起汽车的装置．当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，同时抬起重物．汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，当千斤顶两臂之间的夹角为120°时，其两臂受的压力各是多大？
图3－5－11
答案　1.0×105 N
解析　将压力分解，两个分力互成120°角时，分力大小和合力大小相等，故两臂受的压力各为1.0×105 N.
10．如图3－5－12所示，质量为m，横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推力．若物块静止不动，则摩擦力的大小为多少？
图3－5－12
答案　mg＋Fsin α
解析　如下图所示，物块ABC在四个力的作用下平衡，所以在竖直方向上有Ff＝mg＋Fsin α.
题型1力的效果分解方法
图3－5－1
例1 如图3－5－1所示，重为G的光滑球在倾斜角为30°的斜面上，分别被与斜面夹角为60°、90°、150°的挡板挡住于1、2、3的位置时，斜面与挡板所受的压力分别为多大？
答案　见解析
解析　如下图(a)所示 ，根据球受重力的作用效果是同时挤压斜面和挡板，故确定了重力的两个分力方向分别垂直斜面和挡板，所以分解G得到其两个分力的大小为：
G1＝＝G　G2＝Gtan 30°＝G
则分别与G1、G2大小方向相同的斜面与挡板所受压力大小分别为：FN1＝G　FN2＝G.
如下图(b)所示，与上同理得：
FN1′＝G1′＝Gcos 30°＝G　FN2′＝G2′＝Gsin 30°＝.
如下图(c)所示，此时斜面不受压力，挡板所受压力FN2″大小方向与G相同，即大小FN2″＝G.
把一个力按效果分解可按下列步骤进行：
(1)明确研究对象，选择要分析的力．
(2)分析该力作用在物体上所产生的效果，确定两分力的方向．
(3)依据平行四边形定则，以该力为对角线，由两分力的方向构建平行四边形，利用三角形知识求解分力的大小.
题型2应用正交分解法求合力
图3－5－2
例2 如图3－5－2所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力．
答案　100(5－) N　100 N[
解析　人和重物静止，所受合力皆为零，对物体分析得到，绳的拉力F等于物重200 N；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解．
如右图所示，以人为研究对象，将绳的拉力分解得
水平拉力Fx=Fcos 60°=200× N=100 N
竖直分力Fy=Fsin 60°=200× N=100 N
在x轴上，Ff与Fx二力平衡，
所以静摩擦力Ff=Fx=100 N，
在y轴上，三力平衡得，地面对人支持力
FN=G-Fy=(500-100) N=100(5-) N.
1．当一个物体受多个力作用求合力时，用平行四边形定则比较麻烦，此时往往应用正交分解法，先把力分解，然后求合力．
2．应用正交分解法解题的步骤：
(1)以力的作用点为坐标原点，建立正交直角坐标系，一般要让尽量多的力落在坐标轴上，使所有的力与坐标轴的夹角尽量为特殊角.
(2)把不在坐标轴上的力沿两个坐标轴分解．如图3－5－3所示．
图3－5－3
(3)同一坐标轴上的矢量进行合成．
由此式可见，力的个数越多，此方法显得越方便．
(4)然后把x轴方向的Fx与y轴方向的Fy进行合成，这时这两个分力的方向夹角为特殊角90°.所以F合＝，合力的方向与x轴正方向的夹角为θ＝arcsin.
题型3图解法的应用
图3－5－3
例3 如图3－5－3所示，一倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹有一重为G的光滑球．试求挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中，球对挡板压力的最小值是多大？
答案　Gsin θ
解析　球的重力产生两个作用效果：一是使球对挡板产生压力，二是使球对斜面产生压力．如下图(a)所示，球对挡板的压力就等于重力沿垂直于挡板方向上的分力F1，在挡板P缓慢转动的过程中，重力G的大小和方向保持不变，分力F2的方向不变，总与斜面垂直，分力F1的大小和方向都发生变化，所以构成的平行四边形的形状对应变化，但无论如何变化，所构成的平行四边形总夹在两条平行线OB和AC之间，如下图(b)所示 .由图可知，表示F1的线段中最短的是OD(OD⊥AC)，则分力F1的最小值F1min＝G sin θ，这个值也就等于球对挡板压力的最小值．
拓展探究　
图3－5－4
将力F分解成F1、F2两个分力，如果已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，α为锐角，如图3－5－4所示，则(　　)
A．当F1>Fsin α时 ，一定有两解
B．当F>F1>Fsin α时，有两解
C．当F1＝Fsin α时，有惟一解
D．当F1答案　BCD
解析　本题采用图示法和三角形知识进行分析，以F的末端为圆心，用分力F1的大小为半径作圆．
(1)若F1(2)若F1＝Fsin α，圆与F2相切，即只有一解，如图(b)所示．
(3)若F>F1>Fsin α，圆与F2有两个交点，可得两个三角形，应有两个解，如图(c)所示．
(4)若F1>F，圆与F2只有一个交点，可得一个三角形，只有
一个解，如图(d)所示．
1．图解法的基本思路是：受力分析后将合力和分力归结到一个矢量三角形，通过三角形的变化来分析力的变化情况．
2．利用图解法解题时要注意弄清楚三角形的变量和不变量.
3．利用图解法可直观地分析力的动态变化问题，也可以利用矢量三角形求解力．
利用作图法分析最小力是最简单、最直观、最有效的方法之一，它有以下几种情况：
①当已知合力F的大小和方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是两个分力互相垂直，如图甲所示，最小的F2＝Fsin α.
②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小和方向时，另一个分力F2最小的条件是F2与合力F垂直，如图乙所示，最小的F2=F1sin α.
③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是分力F1与合力F同方向，最小的F2=|F-F1|.
1.关于物体受力分解问题，下述哪些是正确的阐述(　　)
A．斜面上的物体所受的重力，可以分解为使物体下滑的力和挤压斜面的力
B．水平地面上的物体受到的斜向上的拉力，可以分解为水平向前拉物体的力和竖直向上提物体的力
C．水平地面上的物体受到的斜向下的拉力，可以分解为水平向前拉物体的力和竖直向下压地面的力
D．据力的分解等知识可知，沿与水平方向成同一角度推拉水平地面上的物体，使其匀速运动，斜向上拉物体比斜向下推物体一般要省力．
答案　ABD
解析　力的分解一般按力的作用效果进行分解，故A、B正确；C项中，拉力竖直向下的分力应作用在物体上，而不是作用在地面上；D项中，斜向上拉比斜向下推物体受到的摩擦力小．故答案为A、B、D.
2．如图3－5－5所示，水平地面上斜放着一块木板AB，在AB上面放一个木块，设木块对木板的压力为FN，木块所受重力沿木板向下的分力为F1，若使木板的B端逐渐放低时，将会产生下述哪种结果(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
图3－5－5
A．FN增大，F1增大　　　　　　　　 B．FN增大，F1减小
C．FN减小，F1增大 D．FN减小，F1减小
答案　B
解析　设木块重力为G，则FN＝mgcos θ，F1＝mgsin θ，B端放低，θ减小，故FN增大，F1减小．
3．已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.F
答案　AC
解析　根据题意，作出矢量三角形，如下图所示，因为F>，从图上可以看出，F1的大小有两个可能值．
由直角三角形OAD，知OA= =F.
由直角三角形ABD，知AB= =F.
由图的对称性可知AC=AB=F.
则分力F1=F-F=F，F1′=F+F=F.
4．将一个5 N的力分解为两个分力，分力的大小可以是(　　)
A．都是5 N
B．分别是1 000 N和996 N
C．其中一个分力可以是5×104 N
D．其中一个分力可以是0.1 N，而另一个分力为4 N
答案　ABC
图3－5－6
5．质量为m的木块，在与水平方向夹角为θ的推力F作用下，沿水平地面做匀速运动，如图3－5－6所示，已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为(　　)
A．μmg　　　　　　　　　 　B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
答案　BD
解析　根据力F的作用效果可分解为水平向左的分力F1＝Fcos θ和向下的分力F2＝Fsin θ，由于木块沿水平地面做匀速运动，则木块受到的滑动摩擦力等于F1，又可根据滑动摩擦力的计算公式可得Ff＝μ(mg＋Fsin θ)，所以B、D正确．
图3－5－7
6．如图3－5－7所示，质量为m的物体沿倾角为θ的斜面匀速下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，关于物体在下滑过程中所受滑动摩擦力的大小Ff，下列说法中正确的是(　　)
①Ff＝mgsin θ　②Ff＝mgcos θ
③Ff＝μmgsin θ　④Ff＝μmgcos θ
A．①② B．②③
C．①③ D．①④
答案　D
图3－5－8
7．长直木板的上表面的一端放置一个铁块，木板放置在水平面上，将放置铁块的一端由水平位置缓慢地向上抬起，木板另一端相对水平面的位置保持不变，如图3－5－8所示．铁块受到的摩擦力F与木板倾角α变化的图线可能正确的是(设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小)(　　)
答案　C
解析　沿平行木板、垂直木板方向分别为坐标轴的方向，建立直角坐标系．在铁块滑动以前，摩擦力表现为静摩擦力，我们认为滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等．本题应分三种情况进行分析：
(1)当0≤α(2)当α＝arctan μ时处于临界状态，此时摩擦力达到最大静摩擦力，由题设条件可知其等于滑动摩擦力大小．
(3)当arctan μ<α≤90°时，铁块相对木板向下滑动，铁块受到滑动摩擦力的作用，根据摩擦定律可知F＝μFN＝μmgcos α，F随α增大按余弦规律减小．
综合上述分析，可知C图可能正确地表示了F随α变化的图线．
图3－5－9
8．汽缸内的可燃气体点燃后膨胀，对活塞的推力F＝1100 N，连杆AB与竖直方向间夹角为α＝30°，如图3－5－9所示，这时活塞对连杆AB的推力和对汽缸壁的压力各有多大？
答案　 N　 N
解析　燃气对活塞的推力F产生两个效果：
①推动连杆；②使活塞侧向挤压汽缸壁
故可将F分解为F1、F2，如图所示
F1＝＝ N，F2＝Ftan α＝ N.
图3－5－10
9．如图3－5－10所示，物体重30 N，用OC绳悬挂在O点，OC绳能承受的最大拉力为20 N，再用一绳系在OC绳的A点，BA绳能承受的最大拉力为30 N，现用水平力拉BA，可以把OA绳拉到与竖直方向成多大角度？
答案　30°
解析　当OA绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大时，OA绳和BA绳中的拉力都逐渐增大，其中某一根绳的拉力达到它本身能承受的最大拉力时，就不能再增大角度了，假设OA绳中的拉力先达到这一要求．
所以有cos θ＝＝＝，θ＝30°.此时FAB＝Gtan θ＝10 N<30 N，故所求的最大角度为30°.
10．直升机沿水平方向匀速飞往水源处取水灭火，悬挂着m＝500 kg空箱的悬索与竖直方向的夹角θ＝45°.如图3－5－11所示，直升机取水后飞往火场，加速飞行，完成自己的使命．如果空气阻力大小不变，且忽略悬索的质量，求飞机在飞行中受到的空气阻力．(取重力加速度g＝10 m/s2)
图3－5－11
答案　5 000 N
解析　直升机沿水平方向匀速飞行，处于平衡状态，应该满足平衡条件，合外力为零．
以空箱为研究对象，飞行中其受到本身的重力mg、悬索的拉力F、空气的阻力F阻作用．以空箱为原点，以水平和竖直方向为坐标轴的方向建立平面直角坐标系，受力分析如右图所示，根据力的正交分解规律有：
竖直方向Fcos θ=mg
水平方向Fsin θ=F阻
所以F阻=mgtan θ
代入数据解得F阻=5 000 N.
图3－5－12
11．如图3－5－12所示，已知物体在三个共点力的作用下沿x轴运动，其中F1＝80 N，F2＝120 N，它们与x轴夹角都是30°，F3是确保物体沿x轴运动的最小分力．试问：
(1)最小分力为多大？沿什么方向？
(2)三个分力的合力多大？
答案　20 N，沿y轴正方向　(2)100 N
解析　本题考查力的正交分解法．物体由静止开始沿x轴运动，则F1、F2和F3三个力的合力沿x轴方向．由于力的边角关系较复杂，连续利用平行四边形定则来合成较繁琐，但F1、F2与x轴夹角关系明确，可使用正交分解法．如图所示建立直角坐标系，其中三个力的交点O为原点，以原x轴为x轴，y轴垂直于x轴方向，把F1、F2
沿x、y轴分解．则
F1x＝F1cos 30°＝40 N　F1y＝F1sin 30°＝40 N
F2x＝F2cos 30°＝60 N　F2y＝F2sin 30°＝60 N
(1)要使物体沿x轴方向运动，则y轴方向上合力为零，根据题意，当F3沿y轴正向，且F3＝F2y－F1y＝20 N时，分力F3最小．
(2)三个分力的合力F＝F1x＋F2x＝100 N.