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第5节 自由落体运动
第6节 伽利略对自由落体运动的研究
在秋高气爽的天气里，我们会看到树叶和果实从树上落下，果实会很快落地，而树叶会飘飘洒洒后落地，是不是重的物体比轻物体下落的快呢？同一张纸片，从空中释放后，我们会看到纸片在空中飘飘悠悠，很长时间才落地，而把它揉成纸团后，会很快落地．纸的质量未变，为什么落地时间不同呢？
要点一、自由落体运动
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始的下落运动．
2．运动性质：初速度为零的匀加速直线运动．
3．特点
(1)初速度为零．
(2)受力特点：只受重力作用，无空气阻力或空气阻力可以忽略不计．
(3)加速度就是重力加速度，a＝g，大小不变，方向竖直向下．
(4)运动特点：是初速度为零的匀加速直线运动．
4．注意
(1)严格地讲，只有在真空中才能发生自由落体运动．
(2)在有空气的空间里，当空气阻力对运动的影响可以忽略不计时，即物体所受的重力远大于空气阻力时，物体自由下落的运动可以近似地看作自由落体运动．
要点二、自由落体加速度
1．自由落体加速度也叫重力加速度，是由物体受到的重力产生的．
2．符号g，单位 米/秒2(m/s2)．
3．特点
(1)重力加速度的方向总是竖直向下的．
(2)在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，因此，一切物体自由下落的快慢是相同的．
平时我们看到轻重不同、形状不同、密度不同的物体下落时快慢不同，是由于它们受到空气阻力的影响不同造成的．
(3)在地球上的不同地方，自由落体加速度的大小略有不同．在地球表面上，从赤道到两极，自由落体的加速度逐渐增大，在赤道上最小，为9.780 m/s2；在两极最大，为9.832 m/s2.
(4)在地球上同一地方的不同高度上，自由落体加速度的大小也略有不同，随高度的升高，重力加速度逐渐减小，但在高度相差不太大时，不需要考虑重力加速度的微小差异．
要点三、自由落体运动的规律
1．公式和推论
(1)速度公式：v＝gt.
(2)位移公式：x＝gt2.
(3)速度位移关系式：v2＝2gx.
(4)连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2.
(5)平均速度：＝.
(6)若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有如下比例关系
①T末、2T末、3T末……瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶……
②T内、2T末内、3T内……位移之比
x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……
(7)若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系
①连续相等的位移末的瞬时速度
v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶……
推证：由v2－v＝2ax可直接得到．
②通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶……＝1∶(－1)∶(－)∶……
2．图象
自由落体运动的v－t图象是一条通过原点的斜向上的直线，它的斜率是g，图线与横轴包围的“三角形的面积S”为物体下落的高度x，如图2－5、6－1所示．
图2－5、6－1
要点四、伽利略对自由落体运动的研究
1．研究方法
(1)运用“归谬法”否定了亚里士多德关于重的物体下落快、轻的物体下落慢的论断．
(2)提出自由落体运动是一种最简单的变速运动——匀变速运动的假说．
(3)由于不能用实验直接验证自由落体运动是匀变速运动，伽利略采用了间接验证的方法：
①运用数学推导的方法得出初速度为零的匀变速直线运动符合x∝t2.
②运用斜面实验测出小球沿光滑斜面向下的运动符合x∝t2，是匀变速直线运动．
③不同质量的小球沿同一倾角的斜面运动，x/t2的值不变，说明它们运动的情况相同．
④不断增大斜面倾角，得出x/t2的值随之增大，说明小球做匀变速直线运动的加速度随倾角的增大而增大．
⑤将斜面实验结果外推到斜面倾角增大到90°的情况——小球自由下落，认为小球仍会保持匀变速直线运动的性质．
2．科学意义：
伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法——抽象思维、数学推导和科学实验相结合，这种方法到现在仍然一直是物理学乃至整个自然科学最基本的研究方法，不但标志着物理学的真正开端，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的
大门从此打开，并且对我们科学素质的培养仍有重要的现实意义.
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一、对自由落体运动的理解
例1 关于自由落体运动，以下说法正确的是( )
A．质量大的物体自由下落时的加速度大
B．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动
C．雨滴下落的过程是自由落体运动
D．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可近似看做自由落体运动
解析 自由下落时的加速度在同一地点相同，与质量无关，故A项错，从飞行的飞机上释放的物体初速度不为零，故不做自由落体运动，B项错，雨滴下落过程中阻力随速度的增大而增大，最终会做匀速运动，故C项错，水龙头上滴落的水滴所受阻力可忽略，故D项对．
答案 D
(1)自由落体运动是一种理想化模型，当自由下落的物体受到的空气阻力远小于重力时才做自由落体运动，如空气中由静止释放的铁块．
(2)物体做自由落体运动的条件：①初速度为零；②仅受重力作用．
(3)判断一个物体是否做自由落体运动，一定要看它是否满足自由落体运动的条件.
二、重力加速度的测定
例2 某同学用图2－5、6－4所示装置测量重力加速度g，所用交流电频率为50 Hz.在所选纸带上取某点为0号计数点，然后每3个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如图2－5、6－5所示．
该同学用两种方法处理数据(T为相邻两计数点的时间间隔)：
方法一：由g1＝，g2＝，……，g5＝，取平均值＝8.667 m/s2；
图2－5、6－4
图2－5、6－5
方法二：由g1＝，g2＝，g3＝，取平均值＝8.673 m/s2.
从数据处理方法看，在x1、x2、x3、x4、x5、x6中，对实验结果起作用的，方法一中有________；方法二中有________．因此，选择方法__________(一或二)更合理，这样可以减小实验的______________(系统或偶然)误差．本实验误差的主要来源有________________(试举出两条)．
解析 对方法一
＝
＝＝.
从计算结果可看出，起到作用的只有x1和x6两个数据，其他数据如x2、x3、x4、x5都没用上．
对方法二
＝＝.从计算结果可看出，x1、x2、x3、x4、x5、x6六个数据都参与了运算，因此方法二的误差更小，选择方法二更合理．本实验的误差来源除了上述由测量和计算带来的偶然误差外，其他的误差还有阻力(包括空气阻力，振针的阻力、限位孔及复写纸的阻力等)，打点计时器打点的频率变动，长度测量，数据处理方法等．
答案 见解析
由打点计时器或频闪照相求重力加速度的一般方法为：
(1)计算出各点的速度，由速度值根据速度公式求加速度，最后取平均值．
(2)计算出各点的速度，画出v－t图象，由图线的斜率可求得重锤下落的加速度即重力加速度．
(3)用逐差法直接求加速度，要注意要尽可能多选取一些数据.
三、自由落体运动规律的应用
例3 从离地500 m的空中由静止开始自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求：
(1)经过多少时间落到地面；
(2)从开始落下的时刻起，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移；
(3)落下一半时间的位移；
(4)落地时小球的速度．
解析 (1)由h＝gt2，得落地时间
t＝＝ s＝10 s
(2)第1 s内的位移
h1＝gt＝×10×12 m＝5 m
因为从开始运动起前9 s内的位移为
h9＝gt＝×10×92 m＝405 m
所以最后1 s内的位移为
h10＝h－h9＝500 m－405 m＝95 m
(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移为
h5＝gt′2＝×10×25 m＝125 m
(4)设落地时速度为v，由公式v2＝2gh
v＝＝ m/s＝100 m/s
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m (4)100 m/s
自由落体运动为初速度为0的匀加速直线运动，匀加速直线运动的各个公式都可在求解自由落体运动时灵活运用.
1.一个铁钉和一团棉花团同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为( )
A．铁钉比棉花团重
B．棉花团受到的空气阻力不能忽略
C．铁钉不受空气阻力
D．铁钉的重力加速度比棉花团的大
答案 B
2．钱毛管实验中，有空气的和抽掉空气的两根管中的钱币和羽毛下落情况不同，这个实验说明了( )
A．真空管中的羽毛比有空气管中的羽毛受到的重力大
B．羽毛比钱币下落慢的原因是由于羽毛受到空气阻力作用，钱币不受空气阻力
C．羽毛比钱币下落慢的原因是因为羽毛受到的空气阻力和羽毛的重力相比较大，影响了羽毛的下落
D．所有物体如果不受空气阻力，只在重力作用下，在同一地方由静止释放，下落的快慢均一样
答案 CD
3．在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要．伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义．请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列过程是伽利略的探究过程的是( )
A．猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
B．问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
C．问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
D．猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
答案 C
4．唐代大诗人李白用“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”描述了庐山瀑布的美景．
(1)以三尺为1 m，可估算出水落到地面的速度为( )
A．100 m/s B．140 m/s
C．200 m/s D．1 000 m/s
(2)下落一千尺和三千尺时的速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．1∶3 D．1∶9
答案 (1)B (2)B
解析 把瀑布的下落看成自由落体运动，三千尺换算成1 000 m，g取10 m/s2，由速度与位移的关系得
v＝＝ m/s≈140 m/s.
下落一千尺和三千尺的速度之比为
＝ ＝ ＝
这样算出的速度值是不计阻力的理想情况．实际上由于空气阻力的存在，从很高处落下的水滴随着速度的增大，阻力迅速增大，最后将以一个稳定的速度下落，到达地面时的速度并不大．
5．自由落体运动的物体，落到全程的一半和全程所用的时间之比是( )
A．1∶2 B．2∶1 C.∶2 D.∶1
答案 C
6．甲物体的重量比乙物体大5倍，甲从H高处自由落下，乙从2H高处与甲物体同时自由落下，在它们落地之前，下列说法中正确的是( )
A．两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度比乙的速度大
B．下落1 s末，它们的速度相同
C．各自下落1 m时，它们的速度相同
D．下落过程中甲的加速度比乙的加速度大
答案 BC
解析 要注意它们是同时自由下落的，所以两个物体下落是同步的，并且加速度都是一样的，只不过是甲先落地罢了．
7．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子里听到声音时，后一滴恰离开水龙头．测出n次听到水击盘声的总时间t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度．设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，已知声速为340 m/s，则( )
A．水龙头距人耳的距离至少为34 m
B．水龙头距盘子的距离至少为34 m
C．重力加速度的计算式为
D．重力加速度的计算式为
答案 D
解析 由于人耳能区分两个声音的时间差为0.1 s，因此两滴水落到盘子的时间差必须不小于0.1 s，则水龙头距盘子的距离至少为h＝gt2＝0.05 m．它与水龙头距人耳的距离无关．因为不管人耳距水龙头多近或多远，时间差都由水滴落到盘子的时间差决定．
当听到n次声音时，事实上的时间间隔为(n－1)次．
则h＝g()2，g＝.
8．从高处自由落下的物体，它在第ns末的速度比第(n－1) s末的速度大________m/s；它在第n s的位移比第(n－1) s
内的位移大________m.
答案 9.8 9.8
解析 由vn＝gnt和vn－1＝g(n－1)t，
得Δv＝vn－vn－1＝gt.
当t＝1 s时，Δv＝9.8 m/s
由hn＝g(nt)2，hn－1＝g(n－1)2t2，
hn－2＝g(n－2)2t2，
得第ns和第(n－1)s内位移分别为
xn＝hn－hn－1，xn－1＝hn－1－hn－2，
其差值Δx＝xn－xn－1＝gt2
当t＝1 s时，Δx＝9.8 m
9．有A、B两个小球，在不同高度上做自由落体运动，A球下落1 s后，B球开始下落，两球同时落到地面．已知B球离地面高度为20 m，问A球从多高处下落？(g取10 m/s2)
答案 45 m
解析 先求出B球下落的时间，根据h＝gt2，得t＝ ＝2 s，故A球下落的时间是3 s，下落的高度为hA＝gt＝×10×9 m＝45 m.
10．甲、乙两位同学一起做测量反应时间的实验．实验时，甲用一只手在直尺下部做握住直尺的准备，当看到乙同学放开手时，他立即握住直尺．如果测出直尺下降的高度为11.25 cm，请你计算甲同学的反应时间．(g取10 m/s2)
答案 0.15 s
解析 h＝gt2 t＝ ＝ s＝0.15 s
11．从160 m高空静止的气球上自由落下一物体，此物体下落2 s后张开降落伞匀速下落，问物体共经历多长时间落到地面？(g取10 m/s2)
答案 9 s
题型1自由落体运动的性质和特点
例1 从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，不计空气阻力，则在它们落地之前的任一时刻( )
A．两粒石子间的距离将保持不变，速度之差保持不变
B．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差保持不变
C．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差也越来越大
D．两粒石子间的距离将不断减小，速度之差也越来越小
答案 B
解析 当第一个石子运动的时间为t时，第二个石子运动的时间为(t－1)．
x1＝gt2①
v1＝gt②
x2＝g(t－1)2③
v2＝g(t－1)④
由①③得：Δx＝gt－g
由②④得：Δv＝g
因此，Δx随t增大，Δv不变，B选项正确．
拓展探究 下列关于自由落体运动的叙述中，错误的是( )
A．两个质量不等、高度不同但同时自由下落的物体，下落过程中任何时刻的速度、加速度一定相同
B．两个质量不等、高度相同的物体，先后做自由落体运动，通过任一高度处的速度、加速度一定相同
C．物体越重，下落得越快；物体越轻，下落得越慢
D．所有自由落体运动的位移都与下落时间的平方成正比
答案 C
1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动的特例．
2．同一地点，不同时刻释放的两个物体做自由落体运动时，在落地之前相对做匀速直线运动.
3.所有做自由落体运动的物体加速度都相同，为g=9.8 m/s2??
题型2 重力加速度的测量
例2 一位同学进行“用打点计时器测量自由落体加速度”的实验．
(1)现有下列器材可供选择：铁架台、电火花计时器及碳粉纸、电磁打点计时器及复写纸、纸带若干、220 V交流电源、低压直流电源、天平、停表、导线、开关．其中不必要的器材是：__________；缺少的器材是____________．
(2)这位同学从打出的几条纸带中，挑出较为理想的一条纸带．把开始打的第一个点标为A，随后连续的几个点依次标记为点B、C、D、E和F，测量出各点间的距离．如图2－5、6－1所示．请你在这位同学工作的基础上，思考求纸带加速度的方法，写出你所依据的公式：________.
图2－5、6－1
(3)根据你的计算公式，设计表格记录需要的数据，计算纸带下落的加速度．(结果保留两位有效数字)
(4)估计你的计算结果的误差有多大？试分析误差的来源及减小误差的方法．
答案 见解析
解析 (1)其中不必要的器材是：电火花计时器及碳粉纸、220 V交流电源、低压直流电源、天平、停表；缺少的器材是：低压交流电源、刻度尺、重锤．
(2)依据的公式：a＝
(3)数据处理方法不限，要体现取平均值消除误差的思想，表格记录的数据要与所使用的公式匹配.
平均
x/m (EF)0．017 3 (DE)0．013 4 (CD)0．009 6 (BC)0．005 8 (AB)0．001 9 /
Δx/m / 0.003 9 0.003 8 0.003 8 0.003 9 0.003 85
a/(m·s－2) / / / / / 9.63
(4)实验结果纸带的加速度9.63 m/s2与重力加速度的标准值9.8 m/s2有偏差，误差大小为Δa＝0.17 m/s2.误差的来源主要是空气的阻力和纸带的摩擦，可以用增大重锤重力的方法减小摩擦的影响．
测定重力加速度的方法有：
1．利用打点计时器打出的纸带
(1)结论法：Δx＝gT2.
(2)图象法：作出v－t图象，求直线的斜率．
(3)逐差法：
在匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内，其位移之差是个恒量，公式表示为Δx＝aT2，由此可求加速度．根据x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2，可得：a1＝，同理可得：a2＝、a3＝
加速度的平均值为
＝＝
测定重力加速度的方法有：
题型3 自由落体运动规律的应用
例3 一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则相邻小球开始下落的时间间隔为多少？这时第3个小球和第5个小球相距多远？(g取10 m/s2)
答案 0.5 s 35 m
解析 设相邻小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从井口落至井底的时间t＝10T
由题意知h＝gt2＝g(10T)2
T＝ ＝ s＝0.5 s.
要求此时第3个小球和第5个小球的间距，可采用下面的方法．
解法一 由第3个小球下落时间t3＝8T，第5个小球下落时间t5＝6T，h＝gt2，得h3＝gt，h5＝gt
Δh＝h3－h5＝gt－gt＝g(t－t)＝×10×28×0.52 m＝35 m.
解法二 由第3个小球和第5个小球的下落时间t3＝8T，t5＝6T知此时两球的瞬时速度分别为
v3＝gt3＝10×8×0.5 m/s＝40 m/s
v5＝gt5＝10×6×0.5 m/s＝30 m/s
根据匀变速直线运动公式v－v＝2ax得
Δh＝＝ m＝35 m.
解法三 由第4个小球下落时间t4＝7T，得到此时第4个小球的瞬时速度v4＝gt4＝g·7T＝10×7×0.5 m/s＝35 m/s
因为做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以此时第3个小球至第5个小球这段时间内的平均速度
＝v4＝35 m/s
这段时间内两球间距离
Δh＝·2T＝35×2×0.5 m＝35 m.
解法四 利用初速度为零的匀加速直线运动的规律．
从时间t＝0开始，在连续相等的时间内位移之比等于以1开始的连续奇数比．从第11个小球下落开始计时，经T,2T，……9T,10T后它将依次到达第10个、第9个、……、第2个、第1个小球的位置，各个位置之间的位移之比为1∶3∶5∶……∶17∶19，所以这时第3个小球和第5个小球间距离．
Δh＝h＝×125 m＝35 m.
1．针对自由落体运动画出运动图景图仍是帮助解题的有利工具．
2．对于间隔相同时间释放物体的运动，可以等效为一个物体的自由落体运动来处理．
3．初速为零的匀加速直线运动的公式和推论同样适用于自由落体运动，灵活应用可简化
求解问题.
1．伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图2－5、6－2所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是( )
图2－5、6－2
A．其中的甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得到的结论
B．其中的丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得到的结论
C．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
答案 AC
2．科学研究发现：在月球表面没有空气，重力加速度约为地球表面处重力加速度的1/6.若宇航员登上月球后，在空中同一高度处同时由静止释放羽毛和铅球，忽略地球和其他星球对它们的影响，以下说法中正确的是( )
A．羽毛将加速上升，铅球将加速下落
B．羽毛和铅球都将下落，且同时落到月球表面
C．羽毛和铅球都将下落，但铅球先落到月球表面
D．羽毛和铅球都将下落，且落到月球表面的速度相同
答案 BD
3．关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．自由落体运动是竖直方向的匀加速直线运动
B．竖直方向的位移只要满足x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……的运动就是自由落体运动
C．自由落体运动在开始连续的三个2 s内的路程之比为1∶3∶5
D．自由落体运动在开始连续的三个1 s末的速度之比为1∶3∶5
答案 AC
解析 自由落体运动是初速度为零，加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动，所以A正确；自由落体运动从开始下落起，位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9……，但位移之比是1∶4∶9∶……的运动不一定是自由落体运动，所以B不正确；自由落体运动服从初速度为零的运动的所有规律，所以C正确，D不正确．
4．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动
答案 CD
解析 A选项中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动；选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B不对．选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝，可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等，选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的．
图2－5、6－3
5．小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其v－t图象如图2－5、6－3所示，则由图可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是( )
A．小球下落的最大速度为5 m/s
B．第一次反弹初速度的大小为3 m/s
C．小球能弹起的最大高度0.45 m
D．小球能弹起的最大高度1.25 m
答案 ABC
6．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．某段时间的平均速度等于初速度与末速度和的一半
B．某段位移的平均速度等于初速度与末速度和的一半
C．在任何相等时间内速度变化相同
D．在任何相等时间内位移变化相同
答案 ABC
7．为了得到塔身的高度(超过5层楼高)数据，某人在塔顶使一颗石子做自由落体运动．在已知当地重力加速度的情况下，可以通过下面哪几组物理量的测定，求出塔身的高度( )
A．最初1 s内的位移 B．石子落地的速度
C．最后1 s内的下落高度 D．下落经历的总时间
答案 BCD
8．一物体做自由落体运动，在第n s内通过的位移比在前1 s内通过的位移多( )
A．9.8 m B．4.9(2n＋1) m
C．0 D. m
答案 A
解析 此题让求解的是相邻的相等时间内1 s内的位移差，不是n s的位移与(n－1) s的位移差．由Δx＝at2得：Δx＝9.8 m.
9．两个物体用长9.8 m的细绳连接在一起，从同一高度以1 s的时间差先后自由下落，当绳拉紧时，第二个物体下落的时间是多少？
答案 0.5 s
解析 设第二个物体下落时间t时，绳子被拉紧，则：
g(t＋1)2－gt2＝L.
代入数据：4.9(t＋1)2－4.9t2＝9.8，解得：t＝0.5 s.
即第二个物体下落0.5 s绳子拉紧．
10．对于物体的运动情况，可以用列表法进行描述，下面表格中的数据就是某物体运动过程中测得的位移x和时间t的数据记录．试根据表中的记录找出x与t的变化规律．写出你确定x与t变化规律的理由或寻找过程，并对该物体运动过程中的规律用语言加以描述.
答案 见解析
解析 首先作出物体从A运动到B的x－t图线．如下图甲所示，由x－t图线可知，在误差允许的范围内，物体从A到B做匀速直线运动，其规律为x＝vt，且斜率k＝v，所以v＝k＝＝0.46 m/s，即：x＝0.46t
再作出B运动到A的x－t图线，如图乙所示．由图线可猜想物体做初速度为零的匀加速直线运动，其关系式为：x＝at2.为了验证上述猜想是否正确．我们可以通过转换变
量的方法将图线化为线性图线，即令t2＝I，则有x＝aI，此式为线性函数，那么物体从B到A运动的x－I数据如下表所示.
依据上表中的x-I数据可作出x-I图象，由右图可知：物体从B到A做初速度为零的匀加速直线运动，且斜率k=a/2，所以a=2k=0.64 m/s2.
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第二章 匀变速直线运动的研究
第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
物体做变速运动的v－t图象，v－t图象是一条倾斜的直线，物体的加速度有什么特点？倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系怎样用公式来描述？
要点一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．图象：v－t图象说明凡图象是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动，反之也成立，即匀变速直线运动的v－t图象一定是一条倾斜的直线．
3．匀变速直线运动包括两种情形：
a与v同向，匀加速直线运动，速度增加；
a与v反向，匀减速直线运动，速度减小．
要点二、速度与时间的关系式
1．推导过程
对于匀变速直线运动，其加速度是恒定的，由加速度的定义式a＝可得Δv＝aΔt，从运动开始(t＝0)到时刻t，时间的变化量Δt＝t，速度变化量Δv＝v－v0，故v－v0＝at，得v＝v0＋at.
2．对速度公式v＝v0＋at的理解
(1)此式叫匀变速直线运动的速度公式，它反映了匀变速直线运动的速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时刻的速度，v是经过时间t后的瞬时速度．
(2)速度公式中，末速度v是时间t的一次函数，其v－t图象是一条倾斜的直线，斜率即为加速度a，纵轴上的截距为初速度v0.
(3)此速度公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．式中v0，v，a都是矢量．在直线运动中，当规定了正方向后，它们都可用带正、负号的代数值表示，则矢量运算转化为代数运算，通常情况下取初速度方向为正方向．对于匀加速直线运动，a取正值；对于匀减速直线运动，a取负值．计算结果若v＞0，说明v的方向与v0方向相同；若v＜0，则说明v的方向与v0方向相反．
(4)此公式中有四个物理量，知道任意三个物理量便能确定第四个物理量．
(5)从静止开始的匀加速直线运动，即v0＝0，则v＝at，速度与时间成正比．
要点三 对v－t图象的理解
1．用图象法处理问题的优点：形象直观，清晰便捷，能非常直观地反映运动物体的速度随时间变化的情况，便于从整体上认识运动的特点．
2．几种变速运动的v－t图象
(1)匀速直线运动的v－t图象平行于t轴．
(2)初速度为零的匀加速直线运动的v－t图象是一条过原点的倾斜的直线．
(3)初速度不为零的匀变速直线运动的v－t图象是一条在v轴上有截距的倾斜的直线．
(4)做变加速运动的v－t图象是一条曲线
在v－t图象中，直线的斜率等于物体的加速度，曲线上各点的斜率等于该时刻物体的加速度．
3．关于交点的理解
(1)两条图线相交，表明在该时刻两物体具有相同的速度．
(2)图线与v轴相交：表示物体的初速度．
4．速度图象与时间轴交点表示速度方向改变，折点表示加速度方向改变．
图2－2－4 图2－2－5
(1)如图2－2－4所示，图线为与横轴相交的直线，交点处表示该时刻物体反向运动，速度方向改变，但加速度不变，仍为匀变速直线运动．
(2)如图2－2－5所示，t0时刻图线由向上倾斜变为向下倾斜，表示物体加速度方向改变，不表示速度方向改变．
图2－2－6
5．如图2－2－6所示，v－t图线为曲线，表示物体做的不是匀变速运动，物体在各时刻的加速度大小不同，在相等的时间间隔内速度的变化量不相等，即速度不是均匀变化的．
一、对匀变速直线运动的理解
例1 下列有关对匀变速直线运动的认识，其中观点正确的是( )
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
解析 匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化，在相等的时间里通过的位移一定不会相等，A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化，B错误；C的说法也是错误的，正确答案为D.
答案 D
二、对速度公式的理解和应用
例2 汽车在平直路面紧急刹车时，加速度的大小是6 m/s2，如果必须在2 s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？如果汽车以最高允许速度行驶，必须在1.5 s内停下来，汽车在刹车的过程中加速度至少多大？
解析(1)由题意知a＝6 m/s2，t＝2 s，v＝0 m/s，由v＝v0＋at得
v0＝v－at＝0 m/s－(－6 m/s2)×2 s＝12 m/s＝43.2 km/h所以汽车的速度不能超过43.2 km/h.
(2)根据v＝v0＋at，有
a′＝＝＝－8 m/s2
所以汽车刹车匀减速运动加速度至少为8 m/s2.
答案 (1)43.2 km/h (2)8 m/s2
三、v－t图象的理解及应用
图2－2－8
例3 如图2－2－8，请回答：
(1)图线①②分别表示物体做什么运动？
(2)①物体3 s内速度的改变量是多少，方向与速度方向有什么关系？
(3)②物体5 s内速度的改变量是多少？方向与其速度方向有何关系
(4)①②物体的运动加速度分别为多少？方向如何？
(5)两图象的交点A的意义．
解析 分析①物体：①做匀加速直线运动，3 s内速度的改变量为Δv＝9 m/s－0＝9 m/s，方向与速度方向相同，a＝＝＝3 m/s2，方向与Δv方向相同，即a与v方向相同．分析②物体：②做匀减速直线运动，5 s内速度的改变量为Δv′＝0－9 m/s＝－9 m/s，说明Δv与v方向相反．
a＝＝＝－1.80 m/s2，说明a方向与Δv方向相同，与v方向相反，做匀减速直线运动．
图象交点A的意义是在t＝2 s时两物体的速度相同．
答案 (1)①做匀加速直线运动；②做匀减速直线运动
(2)①物体3 s内速度的改变量是9 m/s，方向与速度方向相同
(3)②物体5 s内速度的改变量是9 m/s，方向与其速度方向相反
(4)①②物体的运动加速度分别为3 m/s2、－1.80 m/s2，①物体加速度与速度方向相同，②物体加速度与速度方向相反
(5)两图象交点表示速度相同
1.下列各图所示分别为四个物体在一条直线上运动的v－t图象，那么由图象可以看出，
做匀变速直线运动的是( )
答案 BC
解析 v-t图象的斜率表示物体的加速度，A中图象平行于时间轴，斜率为零，加速度为零，所以做匀速直线运动．B中图象斜率不变，加速度不变，是匀变速直线运动，且由图象可看出，物体的速度随时间减小，所以是做匀减速直线运动．C中图象斜率不变，加速度不变，做匀加速直线运动．D中图象的切线斜率越来越大，表示物体做变加速运动．
2．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比是( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．12∶22∶32 D．1∶3∶5
答案 B
3．下列关于匀变速直线运动的说法正确的是( )
A．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的
B．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度变化的方向总是相同的
C．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越大，加速度越大
D．做匀变速直线运动的物体，它的速度在单位时间内变化越大，加速度越大
答案 BD
解析 匀加速直线运动的速度方向和加速度方向相同，而匀减速直线运动的速度方向和加速度方向相反；加速度表示速度变化的快慢，速度变化越快，加速度就越大．
图2－2－9
4．如图2－2－9所示，对质点运动的描述正确的是( )
A．该质点做曲线运动
B．该质点做匀加速直线运动
C．该质点的加速度逐渐增大
D．该质点的加速度逐渐减小
答案 D
解析 v－t图象中图线的斜率表示加速度，题中图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，D正确．
图2－2－10
5．如图2－2－10所示是某质点的v－t图象，则( )
A．前2 s物体做匀加速运动，后3 s物体做匀减速运动
B．2 s～5 s内物体静止
C．前2 s和后3 s内速度的增量均为5 m/s
D．前2 s的加速度是2.5 m/s2，后3 s的加速度是－ m/s2
答案 AD
解析 前2 s物体做匀加速运动，加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2,2 s～5 s内物体做匀速运动，v＝5 m/s，后3 s物体做匀减速运动，加速度a2＝ m/s2＝－m/s2，速度的变化量前2 s和后3 s分别为5 m/s和－5 m/s.故A、D正确，B、C错误．
6．做匀变速直线运动的物体，在某时刻的速度为5 m/s，而其加速度为－3 m/s2，这表示( )
A．物体的加速度方向一定与速度方向相同，而速度在减小
B．物体的加速度方向可能与速度方向相同，而速度在增大
C．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在增大
D．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在减小
答案 D
解析 此时速度为正，加速度为负，其正、负号表示方向，表明物体加速度与速度的方向相反，由v＝v0＋at可知，物体的速度在减小，故只有D正确．
7．以72 km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇紧急情况而急刹车获得大小为4 m/s2的加速度，则刹车6 s后汽车的速度为( )
A．44 m/s B．24 m/s C．4 m/s D．0
答案 D
解析 取初速度方向为正方向，则v0＝20 m/s，a＝－4 m/s2，设刹车经t0时间而停止运动，由0＝v0＋at0得t0＝－＝－ s＝5 s，故在t＝t0＝5 s末汽车速度为零，而后汽车静止，故在刹车6 s后汽车速度为零．
8．一个做直线运动的物体，其速度随时间的变化关系为v＝(12－5t) m/s，则其初速度为________m/s，加速度为________m/s2，3 s末的速度为________m/s.
答案 12 －5 －3
解析 将v＝(12－5t) m/s与方程v＝v0＋at对比知，物体做匀变速直线运动，且v0＝12 m/s，a＝－5 m/s2,3 s末的速度v＝(12－5×3) m/s＝－3 m/s.
9．质点从静止开始做匀加速直线运动，经4 s后速度达到20 m/s，然后匀速运动了10 s，接着经4 s匀减速运动后静止．求
(1)质点在加速运动阶段的加速度是多大？
(2)质点在16 s末的速度为多大？
答案 (1)5 m/s2 (2)10 m/s.
解析 (1)设加速阶段的加速度为a1，则v1＝a1t1
a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
(2)设减速运动阶段的加速度为a2，由v2＝v1＋a2t2
其中v2＝0，v1＝20 m/s
所以a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2
当t＝16 s时，质点已减速运动了t3＝2 s，此时质点的速度为v3＝v1＋a2t3＝20 m/s－5×2 m/s＝10 m/s
题型1 速度公式的理解及应用
例1 一质点从静止开始以1 m/s2的加速度匀加速运动，经5 s后做匀速运动，最后2 s的时间质点做匀减速运动直至静止，则质点匀速运动时的速度是多大？减速运动时的加速度是多大？
答案 5 m/s 2.5 m/s2，方向与速度方向相反
解析 质点的运动过程包括加速—匀速—减速三个阶段，如图所示．图示中AB为加速阶段，BC为匀速阶段，CD为减速阶段，匀速运动的速度即为AB段的末速度，也为CD段的初速度，这样一来，就可以利用公式方便地求解了．
由运动学公式可知：vB＝v0＋at＝5 m/s，vC＝vB＝5 m/s，由v＝v0＋at应用于CD段 (vD＝0)得：a′＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2
1．多运动过程问题要划分不同的运动阶段，并搞清各运动过程之间的联系．
2．画出运动过程的草图，标上已知量以便于灵活选用公式．
3．选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向．判断各量的正负，利用v＝v0＋at由已知条件求解未知量．
4．讨论所得矢量的大小及方向.
题型2 速度公式矢量性的应用
图2－2－1
例2 如图2－2－1所示，小球以v0＝6 m/s 的速度从中间滑上光滑的足够长斜面，已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2 m/s2，问小球速度大小为3 m/s时需多少时间？(小球在光滑斜面上运动时，加速度大小、方向不变)
答案 1.5 s或4.5 s
解析 小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，后反向做匀加速直线运动．
若小球在上升过程中，速度减为3 m/s时，以沿斜面向上的方向为正方向，根据v＝v0＋at1，解得t1＝1.5 s.
若小球在上升过程中，速度减为0时，以沿斜面向上的方向为正方向，由0＝v0＋at2，解得t2＝3 s.
若小球在下降过程中速度又增为3 m/s，以沿斜面向下的方向为正方向，由v3＝at3，解得t3＝1.5 s.
综上可知，若小球在上升过程中达到3 m/s，则经历的时间为1.5 s；若在下降过程中达到3 m/s，则经历的时间为3 s＋1.5 s＝4.5 s.
拓展探究 一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，加速度大小为1 m/s2，则经1 s后，其末速度( )
A．一定为3 m/s
B．一定为1 m/s
C．可能为1 m/s
D．不可能为1 m/s
答案 C
解析 由v＝v0＋at，得v＝2 m/s±1×1 m/s，即末速度可能为3 m/s，也可能为1 m/s.利用v＝v0＋at进行计算时要注意区别a是正还是负，即物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动．
1．速度公式是一个矢量表达式，速度和加速度都是矢量，可以引起多解问题．
2．小球沿斜面上、下滑动时加速度大小、方向均不变，而匀变速直线运动的速度公式的适用条件就是加速度恒定，因此对这类“双向可逆”类匀变速运动，可以全过程列式，但应注意各量的方向(正、负号)．
若在下滑过程中达到3 m/s，以沿斜面向上的方向为正方向，则有；v0＝6 m/s，a＝－2 m/s2，v＝－3 m/s由v＝v0＋at得t＝4.5 s.
3．对同一研究过程，各物理量正、负号选取的标准应是统一的.
题型3 v－t图象的理解及应用
例3 如图2－2－2所示为某物体的v－t图象，说明该物体的运动情况．
图2－2－2
答案 见解析
解析 在前4 s内，物体的速度越来越大，说明物体做匀加速直线运动，且每秒速度增加 1 m/s.在4 s末物体速度达到最大，然后做匀减速直线运动，6 s末物体的速度减小为零，此时物体的位移最大．在4 s～6 s时间内，物体的速度每秒减少4 m/s.在6 s末物体又往回运动，即反向加速1 s的时间，速度大小是4 m/s，但跟开始运动的方向相反，
自第7 s开始物体的速度又减小，8 s末速度减小为零，其运动特点可用右图所示．
拓展探究 上例中物体在0～4 s,4～6 s,6～7 s,7～8 s内的加速度各为多少？4 s至7 s内的加速度有什么特点？为什么？
答案 见解析
解析 0～4 s内的加速度a1＝＝ m/s2＝1 m/s2
4～6 s内的加速度a2＝＝ m/s2＝－4 m/s2
6～7 s内的加速度a3＝＝ m/s2＝－4 m/s2
7～8 s内的加速度a4＝＝ m/s2＝4 m/s2
由上面的计算结果可知，4 s至7 s内的加速度相同，原因是直线的斜率未变．
1．从v－t图象可获得物体运动的信息有：
(1)物体运动快慢——对应纵轴数值．
(2)物体运动的方向——t轴上方为正方向，t轴下方为负方向．
(3)运动快慢的变化——从图线对应的v数值变化可以看出运动快慢的变化．
(4)加速度大小及变化——图线斜率大则a大，斜率小则a小．
2．图象的斜率不变，a即不变
3．利用a＝求a时，Δv＝vt－v0，必须是末态的速度减去初态的速度.
1．一物体做直线运动的图象如图2－2－3所示，则该物体( )
图2－2－3
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动，速度方向相同
B．先做匀加速运动，后做匀减速运动，速度方向相反
C．先做匀减速运动，后做匀加速运动，速度方向相同
D．先做匀减速运动，后做匀加速运动，速度方向相反
答案A
2．物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面结论正确的是( )
A．物体零时刻的速度是3 m/s
B．物体的加速度是2 m/s2
C．任何1 s内的速度变化都是2 m/s
D．第1 s内的平均速度是6 m/s
答案 BC
解析 由题意知t1＝1 s时，v1＝6 m/s；t2＝2 s时，v2＝8 m/s.由v2＝v1＋a(t2－t1)知，物体的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2.因为物体做匀加速运动，所以任何1 s内速度的变化量都为Δv＝aΔt＝2×1 m/s＝2 m/s.故B、C正确．由v1＝v0＋at得，零时刻的速度为v0＝v1－at＝6 m/s－2×1 m/s＝4 m/s，故A不正确．第1 s内的平均速度大于4 m/s，小于6 m/s，故D不正确．
3．一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速运动，那么前后两段加速度的大小之比是( )
A．1∶4 B．1∶2
C．2∶1 D．4∶1
答案 B
解析 设前后两段的加速度分别为a1、a2，则a1＝，a2＝，所以a1∶a2＝t2∶t1＝1∶2.
4．关于匀变速直线运动有以下说法，其中正确的是( )
A．匀加速直线运动的加速度是不断增加的
B．匀减速直线运动的加速度是不断减小的
C．匀变速直线运动是加速度不变的直线运动
D．匀变速直线运动是速度和加速度都均匀变化的直线运动
答案 C
解析 匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动，它是加速度不变，而速度均匀变化的直线运动，故只有C正确．
5．下列每一个图都有两条图线，分别表示同一直线运动过程中的加速度和速度随时间的变化关系的图象．其中哪些图对应的运动不能实现( )
答案 D
6．一质点做直线运动，在第1 s内速度增加1 m/s；在第2 s内速度增加1 m/s；在第3 s内速度增加1 m/s；在第4 s内速度增加1 m/s，则这个质点的运动是( )
A．匀速直线运动
B．一定是匀加速直线运动
C．不一定是匀加速直线运动
D．一定是非匀变速直线运动
答案 C
解析 由题意知，质点的速度随时间在增加，但不能判定出是否均匀增加，而匀加速直线运动必须是任意相等时间内速度增加相等，故应选C.
7．物体做匀变速直线运动，初速度为10 m/s，加速度为－10 m/s2，则2 s末的速度为( )
A．10 m/s B．0 C．－10 m/s D．5 m/s
答案 C
8．一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1 s漏下一滴，车在平直公路上行驶，一位同学
根据漏在路面上的油滴分布，分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向)．下列说法中正确的是( )
A．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速直线运动
B．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀加速直线运动
C．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在减小
D．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在增大
答案 ACD
解析 当油滴始终均匀分布时，说明四轮车在每秒内的位移相同，车可能做匀速直线运动，选项A正确；当油滴的间距增大时，说明四轮车的速度在增加，其加速度可能保持不变，也可能在减小，还可能在增大，故选项C、D正确．
9．汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，则：
(1)汽车经3 s时速度大小为多少？
(2)经5 s时的速度大小是多少？
(3)经10 s时的速度大小是多少？
答案 (1)4 m/s (2)0 (3)0
解析 汽车刹车后减速至速度为零不可能再反向加速运动，故速度减为零后就不再是匀减速运动了，而是静止的，因此这类题应先判断多长时间停下，再来求解．
设历时t0停下，取匀速方向为正向，由vt＝v0＋at有
t0＝ s＝5 s.
(1)v3＝v0＋at＝10 m/s＋(－2)×3 m/s＝4 m/s；(2)v5＝0；(3)v10＝0.
10．卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使卡车匀减速前进，当车减速到2 m/s时，交通灯转为绿灯，司机当即停止刹车开始加速，并且只用了减速过程的一半时间就加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原速共用了12 s．求：
(1)减速与加速过程中的加速度大小．
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度．
答案 (1)1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s
解析 (1)卡车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如下图所示
设卡车从A点开始减速，则vA＝10 m/s，用时间t1到达B点，从B点又开始加速，用时间t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s，且t2＝t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s．由v＝v0＋at得
在AB段vB＝vA＋a1t1①
在BC段vC＝vB＋a2t2②
联立①②两式并代入数据解得：
a1＝－1 m/s2，a2＝2 m/s2
(2)2 s末的速度为
v1＝vA＋a1t＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s
10 s末的速度为
v2＝vB＋a2t′＝2 m/s＋2×(10－8) m/s＝6 m/s
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第二章 匀变速直线运动的研究
第1节 实验：探究小车速度随时间变化的规律
秦皇岛南戴河国际娱乐中心有两个非常刺激的运动：滑沙和滑草运动，游客在滑下的过程中会感到速度逐渐增大，到水平面上后又逐渐减小，那么这个运动过程满足什么运动规律呢？本节我们将通过打点计时器来研究直线运动中物体的运动特点．
一、实验目的
1．学会使用打点计时器并掌握数据的处理方法．
2．能运用v－t图象探究小车速度随时间变化的规律．
二、实验原理：
1．数据采集的方法：不要直接去测量两个计数点间的距离，而是要量出各个计数点到计时零点的距离x1，x2，x3，…然后再算出相邻的两个计数点间的距离Δx1＝x1，Δx2＝x2－x1，Δx3＝x3－x2，Δx4＝x4－x3，…这样可以减小相对误差．
2．速度的计算方法：各计数点的瞬时速度是用计数点间的平均速度来代替的．
3．加速度的计算方法：通过测得的速度，描绘出v－t图象，然后求图线的斜率．
三、实验器材
小车、细线、钩码、一端附有定滑轮的长木板、打点计时器、纸带、电源、导线(若干)、刻度尺．
四、实验步骤
1．把一端附有定滑轮的长木板放在桌面上，并使定滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上远离定滑轮的一端，连接好电路，如图2－1－1所示．
图2－1－1
2．把一条细线拴在小车上，使细线跨过定滑轮，并在下面挂上合适的钩码，接通电源，待打点计时器打点稳定后再放开小车，让小车拉着纸带运动，打完一条纸带后立即关闭电源．
3．换上新纸带重复操作三次．
4．在三条纸带中选择一条最清晰的，舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点作为计时起点．
5．选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量，把数据填入表格．
6．计算出各计数点的瞬时速度，填入表格中．
7．增减所挂钩码数，再做两次实验．
五、注意事项
1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器．
2．先接通电源，待打点计时器工作稳定后，再放开小车，当小车停止运动时及时断开电源．
3．安装打点计时器时，要尽量使纸带、小车、细绳和定滑轮上边缘在一条直线上．
4．避免小车跟滑轮相碰，当小车到达滑轮前应及时用手按住．
5．当小车停止运动时，立即切断电源．
6．牵引小车的重物(或钩码)的质量要适宜．如果质量过大，纸带上打出的计时点太少；如果质量过小，点过于密集，不便于测量距离．
7．画v－t图象时，注意让所画直线尽量经过较多的点，不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧；同时注意坐标轴单位长度的选取，要使图象分布在坐标平面的大部分面积.
一、实验操作问题
例1 在测定匀变速直线运动加速度的实验中，某同学操作中有以下实验步骤：
A．拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处，先放开纸带，再接通电源；
B．将打点计时器固定在平板上，并接好电路；
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的钩码；
D．取下纸带；
E将平板一端抬高，轻推小车，使小车能在平板上做加速运动；
F将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔；
(1)其中错误或遗漏的步骤有(遗漏步骤可编上序号G、H、…)________．
(2)将以上步骤完善并按合理顺序写在横线上：________.
解析 在用打点计时器测定匀变速直线运动的实验中，要先接通电源，再放纸带；在取下纸带前要先断开电源；为了减小实验误差，要重复实验三次即打三条纸带，然后选择理想纸带进行处理．
答案 (1)①A中应先通电，再放纸带；
②D中取下纸带前应先断开电源；
③补充步骤G：换上新纸带，重复三次；
(2)步骤顺序为：EBFCADG
二、实验数据的处理
例2 在探究匀变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点的瞬时速度如下表所示：
计数点序号 1 2 3 4 5 6
计数点对
应的时刻(s) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
通过计数点
的速度v(cm/s) 44.0 62.0 81.0 100.0 110.0 168.0
为了计算加速度，合理的方法是( )
A．根据任意两计数点的速度，用公式a＝算出加速度
B．根据实验数据画出v－t图象，量出其倾角α，由公式a＝tan α求出加速度
C．根据实验数据画出v－t图象，由图象上相距较远的两点所对应的速度、时间，用公式a＝算出加速度
D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度
解析 方法A、D偶然误差较大，只有利用实验数据画出对应的v－t图象，才可充分利用各次测量数据，减小偶然误差．由于在物理图象中，两坐标轴的分度大小往往是不相等的，根据同一组数据可以画出倾角不同的许多图象，方法B是错误的，正确的方法是根据图象找出不同时刻所对应的速度值，然后利用公式a＝算出加速度，即方法C.
答案 C
(1)取一条点迹清晰的纸带，舍去开头一些过于密集的点．
(2)在纸带上每隔相等时间(如每5个点)取一个计数点，明确计时间隔T.(如T＝0.1 s)．
(3)用计算一段位移Δx上某点的瞬时速度．
(4)以速度v为纵轴，时间t为横轴建立坐标系，描点后根据点迹分布规律拟合图线.
三、利用v－t图象判断运动性质
例3 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图2－1－2给出了从0点开始，每5个点取一个计数点的纸带，其中0、1、2、3、4、5、6都为计数点．测得x1＝1.40 cm，x2＝1.90 cm，x3＝2.38 cm，x4＝2.88 cm，x5＝3.39 cm，x6＝3.87 cm，那么
图2－1－2
(1)在计时器打出点1、2、3、4、5时，小车的速度分别为：
v1＝____ cm/s，v2＝________ cm/s，v3＝________ cm/s，v4＝________ cm/s，v5＝________ cm/s.
(2)在平面直角坐标系中作出v－t图象．
(3)分析小车运动速度随时间变化的规律．
解析 (1)显然，两相邻的计数点之间的时间间隔为
t＝5×0.02 s＝0.1 s．对应各点的速度分别为：
v1＝＝ cm/s＝16.50 cm/s，
v2＝＝ cm/s＝21.40 cm/s，
v3＝＝ cm/s＝26.30 cm/s，
v4＝＝ cm/s＝31.35 cm/s，
v5＝＝ cm/s＝36.30 cm/s.
(2)利用描点法作出v－t图象，如下图所示．
(3)小车运动的v-t图象是一条倾斜的直线，说明速度随时间均匀增加，它们成“线性关系”．
答案 见解析
(1)计算计数点的速度
可用刻度尺量出与被测量点前后相邻的两个点间的距离Δx，这段时间Δt＝2T(T为打相邻两点的时间间隔)，利用v＝就可以算出物体在这段时间内的平均速度，根据前面的学习我们知道可以把它作为该点的瞬时速度．总结得出结论：v＝＝
(2)作v－t图线
①建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度．
②根据实验所得的数据在坐标系中描点．
③画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，或让所描的点均匀分布在直线的两侧.
1. 采取下列哪些措施，有利于减小由于纸带受到的摩擦而产生的误差( )
A．改用直流6 V电源
B．降低电源电压
C．使用平整不卷曲的纸带
D．使物体运动的方向与纸带在同一条直线上
答案 CD
解析 改用直流电源，打点计时器不工作，故A项错误；降低电源电压只会降低点迹的清晰度，故B项错误；纸带平整可减小摩擦，故C项正确；物体运动方向与纸带在同一直线上可减小纸带与限位孔之间的摩擦，故D正确．
2. 在探究小车速度随时间变化的规律的实验中，下列说法正确的是( )
A．通过调节，使小车、纸带、细绳和定滑轮上边缘在一条直线上
B．坐标轴单位长度越小越好
C．开始前要先开电源后松纸带，打完点要先断开电源后取纸带
D．钩码的质量越大越好
答案 AC
解析 实验中调节滑轮的高度使小车、纸带、细绳和定滑轮上边缘在一条直线上，可以减小摩擦，所以A对；要适当地选取坐标轴的单位长度使图象尽量分布在较大的坐标平面内；开始前要先接通电源后松开纸带，打完点要先断开电源后取纸带，这样可以使实验效果更好，所以C对；钩码的质量要适中，不要太大也不要太小．
3．甲、乙、丙三个物体从同一地点沿一直线运动，
图2－1－3
其v－t图象如图2－1－3所示，则它们的初速度分别为____________m/s、________m/s和__________m/s，甲做________运动，乙做________运动，丙做________运动，图中P点的物理意义是__________．
答案 0 2 4 匀加速直线 匀速直线 匀减速直线
在第2 s末，甲、乙、丙的速度相同
解析 v—t图象中纵轴截距表示初速度，斜率表示加速度，图线的交点表示在某时刻物体速度相等．
图2－1－4
4．如图2－1－4所示是某质点做直线运动的v－t图象，读图回答下列问题：
(1)尽可能详细地描述质点分别在AB、BC、CD段的运动．
(2)质点在2 s末的速度多大？
答案 见解析
解析 (1)AB段质点做加速运动，在4 s时间内从初速度5 m/s 均匀增加到15 m/s；BC段质点以15 m/s的速度做匀速运动，历时4 s；CD段质点做减速运动，在2 s时间内从初速度15 m/s均匀减小到0.
(2)质点在2 s末的速度为10 m/s.
5．某同学用图2－1－5所示的实验装置研究小车在斜面上的运动．实验步骤如下：
图2－1－5
a．安装好实验器材．
b．接通电源后，让拖着纸带的小车沿平板斜面向下运动，重复几次．选出一条点迹比较清晰的纸带，舍去开始密集的点迹，从便于测量的点开始，每两个打点间隔取一个计数点，如图2－1－6中0、1、2……6点所示．
图2－1－6
c．测量1、2、3……6计数点到0计数点的距离，分别记作：x1、x2、x3……x6.
d．通过测量和计算，该同学判断出小车沿平板做匀加速直线运动．
e．分别计算出x1、x2、x3……x6与对应时间的比值v1、v2、v3……v6.
f．以v为纵坐标、t为横坐标，标出v与对应时间t的坐标点，画出v－t图线．
结合上述实验步骤，请你完成下列问题：
(1)实验中，除打点计时器(含纸带、复写纸)、小车、平板、铁架台、导线及开关外，在下面的仪器和器材中，必须使用的有________和________．(填选项代号)
A．电压合适的50 Hz交流电源 B．电压可调的直流电源
C．刻度尺 D．秒表 E．天平 F．重锤
(2)将最小刻度为1 mm的刻度尺的0刻线与0计数点对齐，0、1、2、5计数点所在位置如图2－1－7所示，则x2＝________ cm，x5＝________ cm.
图2－1－7
(3)该同学在图2－1－8中已标出1、3、4、6计数点对应的坐标，请你在该图中标出与2、5两个计数点对应的坐标点，并画出v－t图线．
(4)根据v－t图线判断，在打0计数点时，小车的速度v0＝
______ m/s；它在斜面上运动的加速度a＝______ m/s2.
图2－1－8
答案 见解析
解析 (1)还需要的实验器材有电压合适的50 Hz交流电源和刻度尺；
(2)用毫米刻度尺读数，注意要估读一位，则x2＝2.98 cm，x5＝13.20 cm；
(3)描点连线如下图所示
(4)设打0点时速度为v0
从图象可以知道，图线与纵轴的交点即为速度v0，由图可读出v0=0.18 m/s(0.16～0.20均可)
从图线上任取相隔较远的的两个点，求出加速度为a＝2.50 m/s2(2.42～2.50均可)
题型1 利用纸带分析物体运动情况
例1 如图2－1－1是某同学用打点计时器研究物体运动规律时得到的一段纸带，根据图中的数据，计算物体在AB段、BC段、CD段和DE段的平均速度大小，判断物体运动的性质．
图2－1－1
答案 见解析
解析 通过数相邻计数点间的间隔个数，找出每段对应的时间，然后利用平均速度的公式＝可得
AB＝＝＝19 cm/s＝0.19 m/s
BC＝＝＝60 cm/s＝0.60 m/s
CD＝＝＝60 cm/s＝0.60 m/s
DE＝＝＝59.5 cm/s＝0.595 m/s由以上计算数据可以判断出：在误差允许的范围内，物体先加速运动，后匀速运动．
拓展探究 上例中，若该同学打出的点如图2－1－2所示，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的计数点之间的时间间隔为0.10 s.
图2－1－2
(1)计算出打下B、C、D、E、F五个点时小车的瞬时速度(要求小数点后保留三位有效数字)：vB＝_______ m/s，vC＝_______ m/s，vD＝________ m/s，vE＝________ m/s，vF＝________ m/s.
(2)将B、C、D、E、F各个时刻的瞬时速度标在图2－1－3所示的坐标纸上，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．
图2－1－3
(3)分析小车的运动特点．
答案 (1)0.400 0.479 0.560 0.640 0.721
(2)如下图所示
(3)小车的速度随时间均匀增加成“线性关系”
1．判断物体运动情况的方法是：
(1)直接由纸带上打的点的疏密程度粗略判断．
(2)先算出各段的平均速度，再由平均速度的大小判断．
(3)利用所画出的v－t图线，直观地判断．
(4)若相邻相同时间间隔内的位移之差为一恒量，则为匀变速直线运动．
2．通常通过求平均速度的方法求出某一点的瞬时速度.
题型2 加速度的求解方法
例2 某实验小组在用打点计时器研究匀变速直线运动规律的实验中，得到一条纸带如图2－1－4所示，A、B、C、D、E、F、G为计数点，相邻计数点间时间间隔为0.10 s，利用刻度尺已经测量得到x1＝1.20 cm，x2＝1.60 cm，x3＝1.98 cm，x4＝2.38 cm，x5＝2.79 cm，x6＝3.18 cm.
图2－1－4
(1)根据给出的实验数据，判断该实验小组使用的刻度尺的最小刻度是什么？
(2)计算运动物体在B、C、D、E、F各点的瞬时速度．
(3)在图2－1－5中作出v－t图象，并由图象求物体的加速度．
图2－1－5
答案 见解析
解析 (1)因为给出的测量长度的数据都是以厘米为单位，小数点后保留两位有效数字，即精确到了毫米，最后的一位是估读出来的，所以刻度尺的最小刻度是毫米．
(2)某一点的瞬时速度等于相邻两点间的平均速度，根据平均速度的定义可以求得：vB＝14 cm/s，vC＝17.9 cm/s，vD＝21.8 cm/s，vE＝25.85 cm/s，vF＝29.85 cm/s.
(3)根据上一问计算出来的速度，在坐标系中可确定5个不同时刻的对应速度，描出5个点，用平滑曲线连接各点，作出图象如下图所示．v－t图象的斜率表示物体运动的加速度，在图上取相距较远的两个点的坐标代入加速度公式进行计算，可得a＝39.6 cm/s2.
1．v－t图象的截距表示物体运动的初速度．
2．v－t图象的斜率表示物体运动的加速度，可用a＝来求解加速度
3．研究物体运动速度随时间的变化规律，除使用打点计时器外，也可以采用频闪照相利用光电门测量瞬时速度，还可以用数字信息系统(DIS)来测量物体的瞬时速度，并测量运动的加速度，从而作出v－t图象，找出速度随时间变化的规律.
1.在利用打点计时器探究小车的速度随时间变化规律的实验中，关于计数点间的时间间
隔下列说法中正确的是(打点周期为0.02 s)( )
A．每隔四个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.10 s
B．每隔四个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.08 s
C．每五个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.10 s
D．每五个点取一个计数点，则计数点间的时间间隔为0.08 s
答案 AC
2．关于“探究小车速度随时间变化的规律”的实验操作，下列说法中错误的是( )
A．长木板不能侧向倾斜，也不能一端高一端低
B．在释放小车前，小车应紧靠在打点计时器上
C．应先接通电源，待打点计时器开始打点后再释放小车
D．要在小车到达定滑轮前使小车停止运动
答案 A
3．在实验过程中，对减小实验误差来说，下列方法中有益的是( )
A．选取计数点，把每打5个点的时间间隔作为一个时间单位
B．使小车运动的加速度尽量小些
C．舍去纸带上密集的点，只利用点迹清晰、点与点间隔适当的那一部分进行测量、计算
D．选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验
答案 ACD
解析 用计数点的方法，利用点迹清晰、点与点间隔适当的那一部分进行测量、计算可减小测量误差，故A、C正确；小车的加速度不能太大，但也不能太小，应当适中，故B错；选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验，可以减小因速度变化不均匀带来的误差，故D正确．
4．在探究小车的速度随时间变化的规律的实验中，为了减小测量小车运动加速度时的误差，下列措施中哪些是有益的( )
A．使小车运动的加速度尽量小一些
B．适当增加挂在细绳下的钩码的个数
C．在同样条件下打出多条纸带，选其中一条最理想的进行测量和计算
D．舍去纸带上比较密集的点，然后选取计数点，进行计算
答案 BCD
解析 实验中如果加速度太小，会导致各段位移差太小，计算中会使误差增大，所以要适当增加钩码来增大小车的加速度；为了便于测量和减小误差，应该选择点迹清晰的理想纸带，舍去纸带上比较密集的点．
5．为了研究小车的运动，某同学用小车拖着纸带通过打点计时器打下了一系列的点，测得：小车前0.1 s前进了5 cm,0.3 s末到0.35 s末前进了0.92 cm，前进总长度为10 cm，共用了0.4 s．则下列说正确的是( )
A．小车在10 cm全过程的平均速度是0.25 m/s
B．小车在前0.35 s的平均速度是0.17 m/s
C．小车在0.1 s末的瞬时速度约为0.5 m/s
D．无法知道小车在0.3 s末的瞬时速度
答案 AD
解析 小车在10 cm全过程的平均速度是＝ m/s＝0.25 m/s，所以A正确；因前0.35 s内的位移不知道，没法求其平均速度；0.1 s末和0.3 s末的瞬时速度都是不可求的．
6．在探究小车速度随时间变化的规律实验中，如图2－1－6所示为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s.
图2－1－6
(1)根据__________计算各点瞬时速度，且vB＝________ m/s，vC＝________ m/s，vD＝________ m/s.
(2)在图2－1－7所示坐标中作出小车的v－t图线，并根据图线求出a＝________m/s2.
图2－1－7
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的速度是________m/s，此速度的物理意义是________________________．
答案 (1)vn＝ 1.38 2.64 3.90
(2)图象如下 12.0
(3)0.2 经A点时的速度
7．用接在频率为50 Hz的交流电源上的打点计时器，测定小车的运动情况．某次实验中得到一条纸带，从比较清晰的点数起，每五个计时点取一个计数点，分别标明0、1、2、3….量得0与1两点间距离为x1＝30 mm,2与3两点间的距离为x3＝50 mm，则小车在0与1两点间平均速度为v1＝______m/s，在2与3两点间的平均速度v2＝________m/s，据此可判断小车做________．
答案 0.3 0.5 加速运动
解析 T＝0.1 s，根据平均速度的定义v＝可以求得．由小车速度变化情况可知小车做加速运动．
8．如图2－1－8所示的运动物体的v－t图象，你知道它们做什么运动吗？
图2－1－8
答案 甲图中速度随时间均匀增加，是匀加速直线运动；乙图中速度随时间均匀减小，是匀减速直线运动；丙图中图线在相同时间内，速度的变化不同，即加速度不同，所以物体做的是变加速运动．由于相同的时间内，速度的变化越大，加速度也越大，所以图中所反映的是加速度逐渐增大的变加速运动．
图2－1－9
9．图2－1－9是某一做直线运动的小车(后连纸带)通过打点计时器时打出的一段纸带，图中的0、1、2、3、4、5、6为按时间顺序选取的七个计数点，每相邻两个点中间都有四个点未画出 .用米尺量出1、2、3、4、5、6点到0点的距离分别是8.78 cm、16.08 cm、21.87 cm、26.16 cm、28.84 cm、30.07 cm.请作出其v－t图
象，并分析小车的运动特点．
答案 见解析
解析 利用平均速度等于中间时刻的瞬时速度，求出图中计数点1、2、3、4、5五个时刻的速度：v1＝＝80.4 cm/s，v2＝＝65.45 cm/s，v3＝＝50.40 cm/s，v4＝＝34.85 cm/s，v5＝＝19.55 cm/s.作出v－t图象如右图所示，显然，小车速度随时间均匀减小，小车做匀减速直线运动．
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第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
第4节 匀变速直线运动的位移与速度的关系
当你乘坐出租车时，细心观察可以发现，有经验的司机在看到红色信号灯后，未必就立即刹车减速，他们总是要根据停止线的距离迅速估测一下时间，然后采取相应措施，这样开车就是所谓的经济省油了……那么，位移和时间究竟存在什么样的关系呢？并且我们知道，出租车行驶的速度越大，刹车的距离(位移)越大，初速度和刹车位移之间又有什么关系呢？
为了更精确地描述物体的运动，寻找物体的运动特点，本节将研究匀变速直线运动的位移与时间的关系．在推导位移公式的过程中，本节引入了微分思想，正是这种思想引导着我们的祖先发现了很多物理规律．
要点一、匀速直线运动的位移
1．匀速直线运动的位移公式
x＝vt
注意：取运动的初始时刻(t＝0时)物体的位置为坐标原点，这样，物体在时刻t的位移等于这时的坐标x，从开始到t时刻的时间间隔为t.
2．匀速直线运动的x－t图象
若取t＝0时，x＝0，则x－t图象为过原点的一条倾斜的直线，如图2－3、4－1所示．
图2－3、4－1 图2－3、4－2
若在t＝0时，x＝x0，则x－t图象为一条纵轴截距为x0的倾斜的直线，如图2－3、4－2所示，x－t图象的斜率表示物体运动的速度，v＝.
3．匀速直线运动的v－t图象
图2－3、4－3
匀速直线运动的速度v不随时间变化，其v－t图象为一条平行于时间轴的直线，如图2－3、4－3所示．
(1)v－t图象的斜率表示加速度a，在匀速直线运动中，a＝＝0.
(2)v－t图象与时间t轴间的面积在数值上等于物体做匀速直线运动在这段时间内的位移．
(3)v－t图象的纵截距表示速度的大小．
要点二、匀变速直线运动的位移．
1．匀变速直线运动的位移公式
x＝v0t＋at2
2．推导过程
如图2－3、4－4所示，为匀变速直线运动的v－t图象，在时间t内的位移x在数值上等于图线与时间t轴所围面积．
图2－3、4－4
v－t图象中直线下面的梯形OABC的面积
S＝(OC＋AB)·OA
把面积以及各条线段换成所代表的物理量，
得x＝(v0＋v)t
由速度公式v＝v0＋at代入上式得
x＝v0t＋at2
3．对位移公式x＝v0t＋at2的理解
(1)位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中v0是初速度，时间t是物体实际运动的时间．
(2)此公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算结果x>0，说明位移的方向与初速度v0方向相同；x<0，说明位移方向与初速度v0方向相反．
(3)对于初速度为零的匀加速直线运动，位移公式为x＝at2，即位移x与时间t的二次方成正比．
(4)v－t图象与时间轴围成的面积表示位移的大小，且时间轴上方的面积表示位移为正方向，时间轴下方的面积表示位移为负方向．
(5)此公式中共有四个物理量，知道其中任意三个物理量，便可确定第四个物理量．
要点三、匀变速直线运动位移与速度的关系
1．公式推导
我们把速度公式v＝v0＋at，变为t＝，代入位移公式x＝v0t＋at2可得v2－v＝2ax
这就是匀变速直线运动位移与速度的关系式．
2．关系式的应用
(1)公式v2－v＝2ax是根据匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，但因为不含时间变量，所以在某些问题中应用很方便．
(2)公式在应用时也必须注意符号法则，公式中的v、v0、a、x也要规定统一的正方向，一般选初速度方向为正方向．
3．三个基本公式的选择
公式v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0，加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：
(1)如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
由③④得：＝v
一、位移公式的应用
例1 由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过的位移为0.4 m，问：
(1)汽车在第1 s末的速度为多大？
(2)汽车在第2 s内通过的位移为多大？
解析 (1)由x＝at2得
a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2，
所以汽车在第1 s末的速度为
v1＝at＝0.8×1 m/s＝0.8 m/s.
(2)汽车在前2 s内的位移为x′＝at′2＝×0.8×22 m＝1.6 m，所以第2 s内汽车的位移为：x2＝x′－x＝1.6 m－0.4 m＝1.2 m.
答案 (1)0.8 m/s (2)1.2 m
(1)解此类问题时，可以画草图帮助分析．
(2)对于运动学问题，往往可以用多种方法解决，例如本题，同学们可以思考一下其他的方法．
(3)运动学问题中利用位移公式解题时，往往忽视公式中物理量的方向，公式x＝v0t＋at2中，v0、a、x都是矢量．
(4)求第n秒内的位移要用公式Δxn＝xn－xn－1，而同学们往往求成前n秒的位移.
二、位移与速度关系式的应用
例2 美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5.0 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
解析 (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4.0 s.
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4.0 s.
(2)x＝＝ m＝160 m.
答案 (1)4.0 s (2)160 m
三、v－t图象的物理意义及应用
例3 某一做直线运动的物体，其v－t图象如图2－3、4－6所示，根据图象求：
图2－3、4－6
(1)物体距出发点最远的距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体的路程．
解析 (1)3 s末时，物体距出发点最远，此时xmax＝×3×4 m＝6 m.
(2)前4 s内，位移x＝×3×4 m－×1×2 m＝5 m.
(3)前4 s内，路程s＝×3×4 m＋×1×2 m＝7 m.
答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m
v－t图象中，图线与时间轴所围面积表示位移，面积在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负，本题中0～3 s内位移为正，3～4 s内位移为负，即物体在3 s末开始反向运动.
四、公式的综合应用
例4 一辆汽车在高速公路上以30 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车时加速度的大小为5 m/s2，求：
(1)汽车刹车后20 s内滑行的距离．
(2)从开始刹车汽车滑行50 m所经历的时间．
(3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离．
解析 (1)由于v0＝30 m/s，a＝－5 m/s2，由v＝v0＋at，汽车的刹车时间t0为：
t0＝＝ s＝6 s
由于t0x＝v0t＝×30×6 m＝90 m.
(2)设从刹车到滑行50 m所经历的时间为t′，由位移公式x＝v0t′＋at′2，代入数据：50＝30t′－×5t′2
整理得t′2－12t′＋20＝0
解得t1′＝2 s，t2′＝10 s(刹车停止后不能反向运动故舍去)
故所用时间为t′＝2 s.
(3)此时可将运动过程看作反向的初速度为零的匀加速运动，由x＝at2＝×5×32 m＝22.5 m.
答案 (1)90 m (2)2 s (3)22.5 m.
(1)汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可以认为做匀减速直线运动，但是当速度减为零时，其加速度也变为零，物体不可能倒过来做反向运动，其最长的运动时间为t＝.
(2)应用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2处理此类问题时，式中的时间t不能任意选取，应注意判断题目中所给的时间t是否超出了物体实际运动的时间，即是否出现了“时间过量”问题．
(3)匀减速直线运动，当速度减为零时可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动.
1.沿同一方向做匀加速直线运动的几个物体，比较它们在同一段时间内的位移的大小，
其中位移最大的一定是( )
A．这段时间的加速度最大的物体
B．这段时间的初速度最大的物体
C．这段时间的末速度最大的物体
D．这段时间的平均速度最大的物体
答案 D
解析 由公式x＝v0t＋at2＝·t＝·t知，t相同，平均速度大的物体位移大．
2．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．2∶1
答案 B
解析 x1＝，x2＝，所以x1：x2＝v：v＝1∶4.
3．由于扳道工的失误，有两列相同的列车都以72 km/h的速度在同一条铁路线上相向而行．已知列车刹车时能产生的最大加速度为0.4 m/s2，为了避免发生车祸，这两名驾驶员至少要在两列车相距多远处同时刹车？
A．500 m B．1000 m C．800 m D．400 m
答案 B
解析 二者恰好不相撞，则二者之间的距离应是二者刹车的位移之和．
4．图2－3、4－7所示为初速度为v0沿直线运动的物体的速度图象，其末速度为vt.在时间t内，物体的平均速度和加速度a是( )
图2－3、4－7
A.>，a随时间减小
B.＝，a恒定
C.<，a随时间减小
D．无法确定
答案 A
5．用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的( )
A．时间之比为1∶1 B．时间之比为2∶3
C．距离之比为4∶9 D．距离之比为2∶3
答案 BC
解析 两木块以一定的初速度做匀减速直线运动直至停止，计算其运动时间和位移．由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，得t＝＝－，因为加速度相同，因此运动时间之比就等于初速度之比，选项B正确；将其看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式x＝at2，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C正确．
6．如图2－3、4－8所示的是一质点做直线运动的v－t图象，则可知( )
图2－3、4－8
A．0～2 s与4 s～5 s内质点加速度方向相反
B．0～2 s与4 s～5 s内质点速度方向相反
C．2 s～4 s内质点加速度最大
D．0～5 s的位移为10.5 m
答案 AD
解析 由图象可知0～2 s内的加速度a1＝ m/s2＝1.5 m/s2；2 s～4 s内a2＝0；4 s～5 s内a3＝ m/s2＝－3 m/s2，故A正确，C错．图象上0～5 s内的速度均为正值，表示速度方向都与正方向相同，故B错.0～5 s内的位移x＝ m＝10.5 m，故D正确．
7．一辆汽车沿平直路面以15 m/s的速度行驶，紧急刹车时，做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)汽车刹车5 s时的速度；
(2)从开始刹车到停止，汽车滑行的距离．
答案 (1)零 (2)22.5 m
解析 汽车刹车后做匀减速运动，初速度v0＝15 m/s，加速度与初速度方向相反，a＝－5 m/s2，减速停止的时间为t，所以：
(1)滑行停止的时间t＝＝ s＝3 s；汽车刹车3 s时已经停止了，所以5 s时汽车的速度为零．
(2)汽车滑行的距离x＝v0t＋at2＝15×3＋×(－5)×32 m＝22.5 m.
8．一辆车以10 m/s的速度匀速行驶，在距车站25 m时开始制动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：
(1)车匀减速行驶时的加速度的大小；
(2)车从制动到停下来经历的时间．
答案 (1)2 m/s2 (2)5 s
解析 (1)由v2－v＝2ax得0－100＝2a×25，解得a＝－2 m/s2，即加速度的大小为2 m/s2.
(2)车从制动到停下来经历的时间t＝＝＝5 s.
题型1 基本公式的应用
例1 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移；
(2)物体在第2 s内的位移；
(3)物体在第二个2 s内的位移．
答案 (1)2 m (2)1.5 m (2)6 m
解析 2 s内的位移是前2 s内的位移，第2 s内的位移是第1 s末到第2 s末这1 s内的位移；第二个2 s内的位移是第2 s末到第4 s末这2 s内的位移．
由匀变速直线位移公式x＝v0t＋at2
(1)x1＝at＝×1×22 m＝2 m
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at＝1 m/s，故第2 s内位移x2＝v1t＋at2＝(1×1＋×1×12) m＝1.5 m
(3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝1×2 m/s＝2 m/s，也是物体第二个2 s的初速度，故物体在第2个2 s内的位移x3＝v2t′＋at′2＝(2×2＋×1×22) m＝6 m
拓展探究 1.上例中若物体以大小为2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，停止运动前2 s内的位移是整个位移的，求物体的初速度．
答案 8 m/s
解析 把此物体做匀减速运动过程看作初速度为零的、以原加速度做反向的匀加速直线运动，则根据x＝at2得最后2 s内的位移x1＝at，t1＝2 s
全过程运动时间为t，位移x＝at2.故＝＝，解得t＝4 s
故逆向运动的末速度v＝at＝2×4 m/s＝8 m/s
即原匀减速直线运动的初速度v0＝v＝8 m/s
2．汽车以10 m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为3 m/s2，求它向前滑行12.5 m后的瞬时速度．
答案 5 m/s
解析 设汽车初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－3 m/s2，x＝12.5 m
由v2－v＝2ax得v2＝v＋2ax，所以v＝±5 m/s.因为汽车并没有返回，故－5 m/s舍去，即v＝5 m/s.
1．当v0＝0时，位移公式可以简化为x＝at2应用．
2．第n s内位移的求解可用n s内的位移减去(n－1) s内的位移．
3．逆向思维法：匀减速至零的运动过程可看作初速度为零的、以原加速度反向运动的匀加速直线运动．
4．求匀减速运动的位移时要首先判定减速到零所需要的时间．
5．在题目中未告诉时间也不涉及时间的求解时，往往用公式v2－v＝2ax解答有关问题.
题型2 v－t图象的应用
例2 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m，求汽车的最大速度．
答案 5 m/s
解析 汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图象法．
解法一：设最高速度为vmax，由题意，可得方程组
x＝a1t＋vmaxt2＋a2t
t＝t1＋t2
vmax＝a1t1,0＝vmax＋a2t2
解之得vmax＝5 m/s
解法二 应用图象法，作出运动全过程中的v—t图象，如下图所示，v—t图象与t轴围成三角形的面积与位移等值，故
所以vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
拓展探究 若一物体以v0＝5 m/s的初速度沿光滑斜面向上运动，其v－t图象如图2－3、4－1所示，求：2 s内的位移？
图2－3、4－1
答案 零
1.利用v－t图象处理匀变速直线运动的方法
(1)选取一个过程为研究过程．
(2)分析该段图线对应的纵坐标情况分析速度，分析该段图线的倾斜程度分析加速度．
(3)利用v－t图象与时间轴所围成的面积分析物体的位移．
(4)画出运动过程v－t图象直观展现运动情况．
2．v－t图象中，在t 轴上方包围面积表示位移为正，在下方包围的面积表示位移为负.
题型3 多过程问题的分析
例3 正以30 m/s的速率运行的列车，接到前方小站的请求，在该站停靠1 min，接一个危重病人上车．司机决定以大小为0.6 m/s2的加速度匀减速运动到小站且恰在小站停下，停车1 min后以1.0 m/s2的加速度匀加速启动，恢复到原来的速度行驶．求由于临时停车，共耽误了多长时间．
答案 100 s
解析 以列车原运动方向为正方向，设列车匀减速运动时间
为t1，a1＝－0.6 m/s2
由v＝v0＋at得t1＝＝ s＝50 s
设减速过程中行驶路程为x1，则
x1＝v0t1＋a1t
＝30×50 m＋×(－0.6)×502 m＝750 m
停靠时间t2＝60 s
设加速运动时间为t3
则由v0＝a2t3得t3＝＝ s＝30 s
加速过程中行驶路程
x2＝a2t＝×1×302 m＝450 m
从开始制动到恢复原来速度运动共经历时间
t＝t1＋t2＋t3＝50 s＋60 s＋30 s＝140 s
若列车以原速度匀速驶过x＝x1＋x2路程，需时间
t′＝＝ s＝40 s
故共耽误时间Δt＝t－t′＝140 s－40 s＝100 s
1.物体的位移随时间变化的函数关系是x＝(4t＋2t2) m，由它可知运动的初速度、加速度分别是( )
A．0,4 m/s2 B．4 m/s,2 m/s2
C．4 m/s,1 m/s2 D．4 m/s,4 m/s2
答案 D
解析 将x＝4t＋2t2与标准方程x＝v0t＋at2相对照知，v0＝4 m/s，a＝2，即a＝4 m/s2，选项D正确．
2．物体从静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则( )
A．第3 s内平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
答案 ABD
解析 第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移x3＝at，前2秒内的位移x2＝at，故Δx＝x3－x2＝at－at＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，选项B正确；将a代入x3得x3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D亦正确．
3．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s与开始刹车后6 s汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．3∶1 C．3∶4 D．4∶3
答案 C
解析 汽车刹车后减速到零的时间t0＝＝ s＝4 s．故2 s时的位移x1＝v0t＋at2＝(20×2－×5×22) m＝30 m，6 s时的位移x2＝·t0＝10×4 m＝40 m，位移之比x1：x2＝3∶4，选项C正确．
图2－3、4－2
4．甲、乙两质点同时、同地点的向同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图2－3、4－2所示，则( )
A．乙始终比甲运动得快
B．乙在2 s末追上甲
C．前4 s内乙的平均速度等于甲的速度
D．乙在追上甲时距出发点40 m远
答案 CD
解析 由v－t图象知，2 s前乙的速度比甲的速度小，甲在前，乙在后，甲、乙之间的距离越来越大，2 s后乙的速度比甲的速度大，甲仍在前，乙在后，但甲、乙之间的距离越来越小，直到4 s时甲、乙相遇，2 s时甲、乙相距最远，故选项C、D正确．
5．物体的初速度是v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要使速度增加到初速度的n倍，则经过的位移是( )
A.(n2－1) B.(n－1)
C.n2 D.(n－1)2
答案 A
解析 由速度位移公式v2－v＝2ax得x＝＝＝(n2－1)．
6．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中(如图2－3、4－3所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20秒的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
图2－3、4－3
A．在0～10秒内两车逐渐靠近
B．在10～20秒内两车逐渐远离
C．在5～15秒内两车的位移相等
D．在t＝10秒时两车在公路上相遇
答案 C
解析 根据v－t图线与时间轴所围面积表示位移可知：在0～10秒内两车的位移差逐渐增大即两车在远离，A错；
在10～20秒内甲的位移增加得多，两车在靠近，到20秒末两车相遇，B错；
在5～15秒内由图线的对称关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位移相等，C正确；v－t图线的交点表示该时刻速度相等，D错误．
7．一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m．求：
(1)物体的加速度．
(2)物体在5 s内的位移．
答案 (1)2 m/s2 (2)27.5 m
解析 利用相邻的相等时间内的位移差公式Δx＝aT2求解，令T＝1 s，得a＝＝ m/s2＝2 m/s2.再由位移公式可求得x5总＝v0t＋at2＝(0.5×5＋×2×52) m＝27.5 m.
8．某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时，离开地面升空．如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2，请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道，你设计的跑道长度至少要多长？
答案 1 440 m
解析 飞机从静止开始做匀加速运动到离开地面升空过程中滑行的距离为x1，v＝2a1x1，则x1＝＝800 m.
飞机从速度80 m/s做匀减速运动到静止的过程中，滑行的
距离为x2，－v＝2a2x2，则x2＝＝640 m，所以跑道至少长为x＝x1＋x2＝1 440 m.
9．高速公路给人们带来极大的方便，但是由于在高速公路上行驶的车辆速度很大，雾天曾出现过几十辆车追尾连续相撞的事故．假设有一轿车在某高速公路的正常行驶速度为120 km/h，轿车产生的最大加速度为大小8 m/s2，如果某天有薄雾，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)约为37 m，设司机的反应时间为0.6 s，为了安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？
答案 72 km/h
解析 在反应时间内车速不变，汽车继续做匀速运动，刹车后匀减速至停止，设原来车速为vm，由运动学规律得0.6vm＋≤37，所以vm≤20 m/s，即最大速度为72 km/h.
10．汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 s速度变为6 m/s，求：
(1)刹车后2 s内前进的距离及刹车过程中的加速度．
(2)刹车后前进9 m所用的时间．
(3)刹车后8 s内前进的距离．
答案 (1)16 m 2 m/s2 (2)1 s (3)25 m
解析 (1)汽车刹车后做匀减速运动，由a＝求得a＝－2 m/s2，再由位移公式x＝v0t＋at2可求得x＝16 m，也可由平均速度公式＝＝，求得x＝16 m.
(2)由位移公式x＝v0t＋at2代入数值
可得：t1＝1 s，t2＝9 s．将t2＝9 s代入速度公式vt＝v0＋at可得vt＝－8 m/s，即汽车刹车后又反向运动到位移是9 m处，这是不可能的，所以刹车后前进9 m所用时间为1 s.
(3)设汽车刹车所用最长时间为t，则经时间t汽车速度变为零，由v＝v0＋at可得t＝5 s，可见汽车刹车仅用了5 s，在8 s的时间内，汽车有3 s静止不动，因此，x＝v0t＋at2＝25 m或x＝t＝25 m.
习题课 匀变速直线运动规律的应用
要点一、三个基本公式
匀变速直线运动有三个基本关系式，即
1．速度时间关系式：v＝v0＋at①
2．位移时间关系式：x＝v0t＋at2②
3．位移速度关系式：v2－v＝2ax③
我们运用基本关系式求解有关问题时应注意
(1)三个公式均为矢量式，应用时要选取正方向，若x、a、v、v0的方向与正方向相反应取负值；
(2)其中①②两式是匀变速直线运动的基本公式，③式是它们的导出式，三个式子中只有两个是独立的；
(3)①式中不涉及x，②式中不涉及v，③式中不涉及t，抓住各公式特点，根据题意灵活选取公式求解；
(4)三个公式共涉及五个量，若知其中三个量，可选取两个公式求出另外两个量．
要点二、匀变速直线运动的几个重要推论
1．某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即v＝＝.
证明：物体在匀变速直线运动中，设任意一段时间t的初速度为v0，位移为x.
t时间内的位移：x＝v0t＋at2①
t时间内的平均速度为：＝②
由①②得：＝v0＋at＝③
t时间的中间时刻的速度为：v＝v0＋a＝④
由③④得：＝v.
2．物体做匀变速直线运动，相邻的相等的时间间隔T内的位移差是一个恒量，即Δx＝xn－xn－1＝aT2(此结论经常被用来判断物体是否做匀变速直线运动)．
证明：设物体在匀变速直线运动中，加速度为a，经过任意一点A的速度为v0，从A点开始，经两个连续相等的时间T的位移分别是x1和x2，如图1所示．
图1
根据运动学公式：
x1＝v0T＋aT2
x2＝v1T＋aT2
v1＝v0＋aT
两个连续的相等的时间内的位移之差：
Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2
因为T是个恒量，小车的加速度也是个恒量，因此Δx也是个恒量．即：只要物体做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间内的位移之差等于一个常数．
3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v＝.
4．初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
(1)1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
由速度公式v＝at，得v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT，……，vn＝naT
所以v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
(2)1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
由位移公式x＝at2得x1＝aT2，x2＝a(2T)2，
x3＝a(3T)2，……，xn＝a(nT)2
所以x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
(3)第1个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
由位移公式x＝at2得xⅠ＝aT2
xⅡ＝a(2T)2－aT2＝aT2
xⅢ＝a(3T)2－a(2T)2＝aT2
……
xn＝a(nT)2－a[(n－1)T]2＝aT2
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
由x＝at2知t1＝
通过第二段相同位移所用时间
t2＝ － ＝ (－1)
同理t3＝ － ＝ (－)
……
tn＝ (－)
则t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
要点三、追及和相遇问题
1．追及、相遇问题的特征
两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题，解答此类题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置．
2．解追及、相遇问题的思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图；
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中；
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键；
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．
3．分析追及、相遇问题时要注意的问题
(1)分析问题时，一定要抓住一个条件两个关系．
一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．
两个关系是：时间关系和位移关系．
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等，而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两个物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益．
(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动．
(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含的条件，如“刚好”“恰
好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件.
一、匀变速直线运动规律的应用
例1 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小．
解析
依题意画草图如右图所示．
解法一：基本公式法
由位移公式得x1=vAT+aT2
x2=[vA·2T+a(2T)2]-(vAT+aT2)
将x1=24 m，x2=64 m，T=4 s代入两式求得
vA=1 m/s，a=2.5 m/s2
解法二：平均速度法
由于平均速度等于中间时刻的速度，所以2=1+aT
即16=6+a×4，得a=2.5 m/s2
再由x1=vAT+aT2，求得vA=1 m/s
解法三：用平均速度求解
设物体通过A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC
则有=，=，=
解得vA=1 m/s，vB=11 m/s，vC=21 m/s，所以，加速度为
a== m/s2=2.5 m/s2
方法四：用推论公式求解
由x2-x1=aT2得64-24=a·42
所以a=2.5 m/s2，再代入x1=vAT+aT2
可求得vA=1 m/s
答案 v0=1 m/s a=2.5 m/s2
(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而培养解题能力．
(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式Δx＝aT2求解，这种解法往往比较简捷.
二、初速度为零的匀变速直线运动推论的应用
例2 一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度．
(2)运动后7 s内的位移．
(3)第3 s内的位移．
解析 (1)因为v0＝0，所以vt＝at，即vt∝t
故v4∶v5＝4∶5
所以第4 s末的速度
v4＝v5＝×6 m/s＝4.8 m/s
(2)前5 s的位移
x5＝ t＝t＝×5 s＝15 m
由于x∝t2，所以x7∶x5＝72∶52
故7 s内位移x7＝×x5＝×15 m＝29.4 m
(3)利用xⅠ∶xⅢ＝1∶5，x1∶x5＝12∶52＝1∶25
故x1＝x5＝×15 m＝0.6 m
所以第3 s内的位移xⅢ＝5x1＝5×0.6 m＝3 m
答案 (1)4.8 m/s (2)29.4 m (3)3 m
利用比例式处理运动学问题时要注意其适用条件——初速度为零的匀变速直线运动，若物体做匀减速直线运动且末状态速度为零，则可把物体的运动看做是反方向的匀加速运动，再用比例关系求解.
三、追及运动问题
例3 一小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过．
(1)汽车从开动后到追上自行车之前，要经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？
(2)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
解析 解法一 汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小．所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大．
有v汽＝at＝v自，t＝＝2 s.
Δx＝v自·t－at2＝6×2 m－×3×4 m＝6 m.
解法二：利用相对运动求解
以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速v0＝v汽－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s，加速度a＝a汽－a自＝3 m/s2.
汽车远离自行车减速运动(与自行车对地运动方向相反)，当末速为vt＝0时，相对自行车最远．
vt－v0＝at，t＝－＝ s＝2 s，v－v＝2ax，x＝－＝－6 m.
负号表示汽车比自行车落后．
解法三：极值法
设汽车在追上自行车之前经时间t相距最远．
Δx＝x自－x汽＝v自·t－at2＝6t－t2.
利用二次函数求极值条件知
当t＝－＝ s＝2 s时，Δx最大，
故Δxmax＝6×2 m－×22 m＝6 m.
解法四：如右图所示，作出v-t图．
(2)解法一：汽车追上自行车时，两车位移相等，
v自·t′=at′2，代入数值得t′=4 s，
v汽′=a·t′=3×4 m/s=12 m/s.
设相遇前t s两车速度相等，
v汽=at=6 m/s，即3t=6，
解得t=2 s时两车相距最远．
两车的位移差Δx=×6×2 m=6 m.
解法二：由上图知，t=2 s以后，若两车位移相等，即v-t图
象与时间轴所夹的“面积”相等．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此时v汽＝2v自＝12 m/s.
答案 (1)2 s后两者相距最远，距离为6 m． (2)4 s后追上自行车，汽车的速度为12 m/s.
1.汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止运动，那么，在这连续的3个1 s内汽车
通过的位移之比为( )
A．1∶3∶5 B．5∶3∶1
C．1∶2∶3 D．3∶2∶1
答案 B
2．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时的速度为( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．2 m/s
答案 D
图2－4－1
3．如图2－4－1所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 物体在斜面上初速度为零，设末速度为v，则有v2－0＝2a1x1.同理，在水平面上有0－v2＝2a2x2，所以a1x1＝a2x2，故a1＝2a2，应选B.本例是一个匀加速直线运动与一个匀减速直线运动的“连接”运动，解题时要注意到匀加速直线运动的末速度就是匀减速直线运动的初速度．
4．由静止开始匀加速运动的物体，3 s末与5 s末速度之比为________，前3 s与前5 s内位移之比为________，第3 s内与第5 s内位移之比为________．
答案 3∶5 9∶25 5∶9
解析 由初速度为零的匀加速直线运动的规律知，第1 s末、第2 s末、第3 s末、……、第n s末的速度之比为1∶2∶3∶……∶n，第1 s，第2 s、第3 s、……第n s的位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)．所以第3 s末与第5 s末的速度之比为3∶5，前3 s与前5 s内的位移之比为32∶52＝9∶25，第3 s与第5 s内的位移之比为5∶9.
5．做匀加速直线运动的质点，连续两个1 s内的平均速度之差是3 m/s，则质点运动的加速度为________．
答案 3 m/s2
解析 设前1 s内的平均速度为v1，后1 s内的平均速度为v2.由v＝知v1、v2对应的中间时刻的瞬时速度．取t＝1 s，则v2＝v1＋at1.又因为v2－v1＝3 m/s，所以得加速度
a＝＝ m/s2＝3 m/s2.
6．物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则前6 s内的平均速度是________m/s.
答案 6
解析 解法一：前6 s内的位移
x＝v0t＋at2
＝×2×62 m
＝36 m，
所以＝＝6 m/s.
解法二：前6 s内的平均速度等于3 s末的瞬时速度，则＝v0＋at′＝2×3 m/s＝6 m/s.
匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于该段时间内中点时刻的瞬时速度．推导如下：
由v＝v0＋at知，v＝v0＋a·，又x＝v0t＋at2，所以＝v0＋at，所以v＝＝.
7．由于刹车，汽车以10 m/s的速度开始做匀减速直线运动，若它在前2 s内的平均速度为8 m/s，则汽车在前8 s内的位移为多大？
答案 25 m
解析 设第2 s末的速度为v，在匀变速运动中，由＝，得
v＝2－v0＝6 m/s，再由v＝v0＋at可得汽车刹车的加速度是：
a＝＝＝－2 m/s2.
假定汽车在刹车后经T时间停下，则T＝＝ s＝5 s<8 s，即汽车刹车后经5 s停下，后3 s没有位移发生，则8 s内的位移为x＝ m＝25 m.
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v0＝8 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动．试问：
(1)警车要多长时间才能追上违章的货车？
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？
答案 (1)10 s (2)36 m
解析 (1)设警车追上货车所用时间为t1，则两车的位移分别为x警1＝at，x货1＝v0(t1＋t0)，追上时两车位移相等，x警1＝x货1，即at＝v0(t1＋t0)，解得追上时所用时间t1＝10 s(另一解不符合题意，舍去)．
(2)警车和货车速度相等时相距最远，设警车从发动到与货车同速时的时间为t2，v警＝at2，v货＝v0，由v警＝v货得at2＝v0，即相距最远时警车所用时间t2＝＝ s＝4 s，此时货车的位移x货2＝v0(t0＋t2)＝8×(2.5＋4) m＝52 m．警车的位移x警2＝at＝×2×42 m＝16 m．两车间的最大距离Δxmax＝x货2－x警2＝52 m－16 m＝36 m.
题型1 运动规律的灵活应用
例1 从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一个相同的小球．在连续放下n个小球以后，给在斜面上滚动的小球拍摄照片，如图1所示，测得AB＝15 cm，BC＝20 cm，试求：
图1
(1)小球滚动的加速度；
(2)拍摄时B球的速度；
(3)D与C之间的距离；
(4)A球上面正在滚动的球还有几个？
答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2
解析 因为每隔0.1 s放下一个相同的小球，所以斜面上任何相邻两球的运动时间差都相等，都是0.1 s，这些小球所构成的运动情景与打点计时器在纸带上留下的物体运动的点迹相似，因此可以用相同的方法处理数据．
令T＝0.1 s，由公式Δx＝aT2得
(1)小球滚动的加速度a＝＝＝ cm/s2＝500 cm/s2＝5 m/s2；
(2)此时B球的速度vB＝AC＝＝ cm/s＝175 cm/s＝1.75 m/s；
(3)此时C球的速度vC＝vB＋aT＝(1.75＋5×0.1) m/s＝2.25 m/s；
同理，此时D球的速度vD＝vC＋aT＝(2.25＋5×0.1) m/s＝2.75 m/s；
D与C间的距离xCD＝T＝＝0.1× m＝0.25 m；
(4)由vB＝得，此时A球的速度vA＝2vB－vC＝(2×1.75－2.25) m/s＝1.25 m/s，
所以A已运动的时间tA＝＝ s＝2.5 T，因此在A球上方正在滚动的还有两个球．
拓展探究 如图2所示，
图2
光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体由A点静止释放，下列结论不正确的是( )
A．物体到达各点的速率之比vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B．物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝2tD/
C．物体从A运动到E的全过程平均速度＝vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
答案 D
解析 由v－v＝2ax及v0＝0得vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，即A正确．由x＝at2得t＝，则tB＝，tC＝ ，tD＝ ，tE＝ ，由此可知B正确．由＝得tAB＝tBE，即B点为AE段的时间中点，故＝vB，C正确．对于匀变速直线运动，若时间相等，速度增量相等，故D错误，只有D符合题意．
1．例题1为类纸带问题，认定类纸带问题，要看运动物体是否每隔相等时间留一个点迹，即任何相邻两点之间的运动时间都相等．
2．推论Δx＝aT2可以用于判定物体是否做匀变速直线运动，还可以用其求解加速度．
3．处理匀变速直线运动问题的方法很多，同学们可尝试从不同角度选择公式求解，以培养思维的灵活性.
题型2追及运动问题
例2 甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度分别为16 m/s和18 m/s.已知甲车紧急刹车时的加速度a1大小为3 m/s2，乙车紧急刹车时的加速度a2大小为4 m/s2，乙车司机的反应时间为0.5 s，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？
答案 7.5 m
解析 设甲车刹车后经时间t甲、乙两车速度相等，则16－a1t＝18－a2(t－0.5)，所以t＝4 s，x甲＝16t－a1t2＝40 m，x乙＝18×0.5＋18×(t－0.5)－a2(t－0.5)2＝47.5 m，Δx＝7.5 m．即甲、乙两车行驶过程中至少应保持7.5 m 距离．
拓展探究 若甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1＝10 m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1＝4 m/s2的加速度匀减速前进.2 s后乙车与甲车同方向以a2＝1 m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动．问乙车出发后经多长时间追上甲车？
答案 5 s
解析 甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为
v1t＝v1－a1t0＝10 m/s－2×4 m/s＝2 m/s，此时离甲车停止运动的时间t′＝＝ s＝0.5 s.
根据题设条件，乙车在0.5 s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动．甲车停止时离车站A的距离，x甲＝＝ m＝12.5 m，设乙走完这段路程所需的时间为t，由x乙＝a2t2＝x甲得
t＝＝ s＝5 s
故乙车出发后经过5 s追上甲车．
1．追及的特点：两个物体在同一时刻处在同一位置．
2．时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．
3．位移关系：x2＝x0＋x1
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移.
4．临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追及、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
5．解题思路
(1)根据两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体的时间关系．
(2)画出两物体运动过程的示意图，明确两物体的位移关系．
(3)注意挖掘题中的隐含条件，如速度相等的临界条件．
1.物体做直线运动，在t时间内通过的路程为x，在中间位置x/2处的速度为v1，且在中
间时刻t/2处的速度为v2，则v1和v2的关系错误的是( )
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1答案 D
解析 物体做匀变速直线运动，有v－v＝2ax，
v2－v＝2a
由以上两式得v＝
讨论：由于v＝，v＝
则v2－v2＝－＝≥0，当且仅当v0＝vt时等号成立，故只要物体做匀变速运动，则一定有v>v.
2．一物体由v0开始做匀减速运动，经5 s停下，第4 s内的位移大小为x，则物体运动的加速度为(取初速度方向为正方向)( )
A．－3x/2 B．－2x/3 C．－x/2 D．－5x/4
答案 B
3．一个物体做匀变速直线运动，若运动的时间之比为t1∶t2∶t3∶……＝1∶2∶3∶……，下面有三种说法：
①相应的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
②相邻的相同时间内的位移之比一定是x1∶x2∶x3∶……＝1∶3∶5∶……
③相邻的相同时间内位移之差值一定是Δx＝aT2，其中T为相同的时间间隔．
以上说法正确的是( )
A．只有③正确 B．只有②③正确
C．都是不正确的 D．都是正确的
答案 A
4．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为( )
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案 B
5．一物体以初速度v0＝20 m/s沿光滑斜面匀减速向上滑动，当上滑距离x0＝30 m时，速度减为v0/4，物体恰滑到斜面顶部停下，则斜面长度为( )
A．40 m B．50 m C．32 m D．60 m
答案 C
6．把物体做初速度为零的匀加速直线运动的总位移分成等长的三段，按从开始到最后的顺序，经过这三段位移的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶∶ D．1∶(＋1)∶(＋)
答案 D
7．一物体从斜面顶端沿斜面由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为x1，最后3 s内的位移为x2，已知x2－x1＝6 m，x1∶x2＝3∶7，求斜面的总长．
答案 12.5 m
解析 由题意知，物体做初速度为零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3 s．又知＝，x2－x1＝6 m，解得x1＝4.5 m，x2＝10.5 m．由于连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)，故x2＝(2n－1)x1，可知10.5＝(2n－1)×4.5，解得n＝.又因为x总＝n2x1，得斜面总长x总＝2×4.5 m＝12.5 m.
8．一个做匀加速直线运动的物体，从2 s末到6 s末的位移为24 m，从6 s末到10 s末的位移为40 m，则该物体的加速度为多大？在接下来的4 s内它将发生多大的位移？
答案 1 m/s2 56 m
解析 注意第2 s末到第6 s末的时间间隔是4 s，第6 s末到10 s末的时间间隔也是4 s，它们是两段相邻的相等时间，对于匀变速运动，在相邻的相等时间内有：Δx＝at2，则a＝＝ m/s2＝1 m/s2.在接下来的4 s内发生的位移为x，则Δx1＝Δx2＝at2，即x－x2＝x2－x1，得x＝56 m.
9．客车在公路上以20 m/s速度做匀速直线运动，发现前方105 m处有一载重汽车以6 m/s匀速行驶，客车立即关掉油门，以a＝－0.8 m/s2的加速度匀减速行驶，问：
(1)客车司机仅靠此举是否可避免客车和货车相撞；
(2)如要保证客车和货车不相撞，在其他条件不变的前提下，客车的加速度至少应为多大？
答案 (1)不能避免客车与货车相撞．
(2)a＝－0.93 m/s2
10．甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v1＝16 m/s、加速度a1＝2 m/s2做匀减速运动，乙以初速度v2＝4 m/s、加速度a2＝1 m/s2做匀加速运动．求：
(1)两车再次相遇前两者间的最大距离；
(2)两车再次相遇所需的时间．
答案 (1)24 m (2)8 s
解析 (1)设经过时间t1两车相距最远，此时甲、乙车的速度分别为v1′＝v1－a1t1
v2′＝v2＋a2t1
甲、乙车相距最远的条件v1′＝v2′，则
v1－a1t1＝v2＋a2t1
解得t1＝＝ s＝4 s.
在时间t1＝4 s内，甲、乙车的位移分别为
x1＝v1t1－a1t12
x2＝v2t1＋a2t12
甲、乙两车间距离为
Δx＝x1－x2
＝(v1t1－a1t12)－(v2t1＋a2t12)
＝(16×4－×2×42) m－(4×4＋×1×42) m
＝24 m
即两车相遇前相距最大距离为24 m.
(2)设经过时间t2两车相遇，在时间t2内两车的位移分别为
x1＝v1t2－a1t22 x2＝v2t2＋a2t22
两车相遇条件x1＝x2，则
v1t2－a1t22＝v2t2＋a2t22
代入已知数化简得t2(12－t2)＝0
解得t2＝8 s，t2′＝0(舍去)
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