人教版六年级上册数学广角：数与形同步学案
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数与形
【知识巩固】
1.图形中的规律
常见的图形中的规律有用火柴棒摆几何图形，杨辉三角、三角形数
2.算式中的规律
等差数列、等比数列
【典例精讲】
题型一：图形中的规律
例1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点.
例2.观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）.
A.82个 B.154个 C.83个 D.121个
题型二：算式中的规律
先观察算式，找出规律，再填数：
21×9=189；
321×9=2889；
4321×9=38889；
＿＿×9=488889；
＿＿×9=5＿＿＿＿9
例4.计算1+3+5+7+9+11+13+......+19
【课堂练习】
题型一：图形中的规律
【基础练习】
1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点.
2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51个方框里有（ ）个点.
3.判断
（1）如下图，如果一个小三角形的边长为1cm,第五个图形的周长是15cm. ( ）
【提高练习】
1．按下面用小棒摆正六边形.摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆n个正六边形需要（ ）根小棒.
2.填一填
如下图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人.像这样（ ）张桌子拼起来可以坐40人.
3.如图，照这样摆下去，若摆到第80层，一共需□__________ 个，■__________ 个.
4.操作题
请你接着画一画.并猜测第8个图形中一共用（ ）根小棒.
5.边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置．
（1）当重叠到5层时，有多少个正方体？
（2）5层时，这个立体的表面积是多少？
6.如图，有一个六边形点阵，它中心的一个点算作第一层，从内往外依次为第二层，第三层……
第一层有1个点，
第二层有1×6＝6（个）点，
第三层有2×6 ＝12（个）点，
第四层有3×6＝18（个）点，
……
第50层有个___________点．
题型二：算式中的规律
【基础练习】
1.选一选
与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是( ).
5+3 B.9 C.5+ 3 D.5- 3
2.选一选
求2+6+10+14的和，下面算式错误的是（ ）
A.16×2 B.(14+2)×4÷2 C.14×4 D.(14+2)×2
3.判断
在1+3+5+7+9+……中，从“1”到数“13”的和是49. （ ）
【提高练习】
1.填一填
1+3+5+7+9=（ ）= （ ）
4= 1+3+（ ）+（ ）
2+4+6+8+10=( )
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
2.先找出规律，然后列式计算：
3△2＝3＋4＝7
4△3＝4＋5＋6＝15
8△4＝_________＋_______＝___________．
3.下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数.
（9，13），（17，5），（14，8），（ ，16）
4.找出下列算式的规律，把算式填写完整
19+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
……
（ ）+（ ）×9=1000000
1111114+（ ）×9=（ ）
5.观察1+3=4；4+5=9；9+7=16；6+9=25；25+11=36 五道算式，找出规律，
然后填写2001＋（ ）＝2002
6.一串分数：其中的第2000个分数是 .
参考答案
【典例精讲】
例1.【答案】30
第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点，
......第n个图有n+(n+1)+(n+2)个点.对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解.
例2.【答案】D 分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121.
例3.【答案】①算式变化规律：每道算式与前一道算式相比，第二个乘数不变，积随第一个乘数有规律地变大而有规律地变大;
②按规律完成填空：54321×9=488889；654321×9=5888889;
这道题开始部分还可以再加上一道算式：1×9=9。后面也可以让学生按规律再续写几道算式;
③很多数与9相乘都有一些奇妙的现象;这一题运用乘法分配律可知，每一道算式依次比上一道算式多了300、4000、50000、600000个9，即2700、36000、450000、5400000;由189依次加上这一列数，原积最高位加到8，并变为次高位，新积最高位比原积依次多1.
例4.【答案】此为等差数列求和，所以和为100
【课堂练习】
【题型1】
【基础练习】
1.【答案】
30 第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点……第n个图就有n+(n+1)+(n+2)个点。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解.
2.【答案】
，1+4×4；37，201.解析：分析图形，可得出第n个图中共有1+4(n-1)个点，则第10个图共有1+4×（10-1）=37个点，第51个图共有1+4×（51-1）=201个点.
3.【答案】
（1）在1+3+5+7+9+…中,从“1”到数“13”的项数为：(13 1)÷2+1=12÷2+1=6+1=7
前6项的和为：(13+1)×72=14×3.5=49
因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的. √
【提高练习】
1.【答案】
21；51；5n+1. 摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆n个六边形需要5n+1根小棒.
2.【答案】
第一张桌子可以坐4人;
拼2张桌子可以坐4+2×1=6人;
拼3张桌子可以坐4+2×2=8人;
故n张桌子拼在一起可以坐4+2(n-1)=2n+2 .
当2n+2=40时，n=19，
答:像这样19张桌子拼起来可以坐40人.
故答案为：19.
3.【答案】
需□ 1+2+3+......+80=3240（个）
需■ 1+2+3+......+79=3160（个）
4.【答案】
64
5.【答案】
（1）1+3+6+10+15=35（个）
（2）6×（1+2+3+4+5）=90（平方厘米）.
6.【答案】
294.
【题型2】
【基础练习】
1.【答案】
1+3+5+7+......+n+n-1+.....+9+5+3+1= 选B.
2.【答案】
B 等差数列求和是（首项+末项）×项数÷2.
3.【答案】
在1+3+5+7+9+…中,从“1”到数“13”的项数为：(13 1)÷2+1=12÷2+1=6+1=7
前6项的和为：(13+1)×72=14×3.5=49
因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的 √
【提高练习】
1.【答案】
1+3+5+7+9=（ 5 ）= （ 25 ）
4= 1+3+（ 5 ）+（ 7 ）
2+4+6+8+10=( 30 )
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
2.【答案】
8+9+10+11=38.
【答案】
9+13=17+5=14+8=（6）+16
填6.
3.【答案】
111115；98765；987654；10000000.
【答案】
2001+2002=4003.
4.【答案】
因为，分母为3的有2个，为5的有4个，…；
所以，2+4+6+…90=2070,2+4+6+…88=1980,所以分母是第45个数
即分母为3+(45 1)×2=91，
而前面44个分母总共占了1980个分数，这样正好是20个，
故答案为：.
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数与形
【知识巩固】
1.图形中的规律
常见的图形中的规律有用火柴棒摆几何图形，杨辉三角、三角形数
2.算式中的规律
等差数列、等比数列
【典例精讲】
题型一：图形中的规律
例1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点.
例2.观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）.
A.82个 B.154个 C.83个 D.121个
题型二：算式中的规律
先观察算式，找出规律，再填数：
21×9=189；
321×9=2889；
4321×9=38889；
＿＿×9=488889；
＿＿×9=5＿＿＿＿9
例4.计算1+3+5+7+9+11+13+......+19
【课堂练习】
题型一：图形中的规律
【基础练习】
1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点.
2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51个方框里有（ ）个点.
3.判断
（1）如下图，如果一个小三角形的边长为1cm,第五个图形的周长是15cm. ( ）
【提高练习】
1．按下面用小棒摆正六边形.摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆n个正六边形需要（ ）根小棒.
2.填一填
如下图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人.像这样（ ）张桌子拼起来可以坐40人.
3.如图，照这样摆下去，若摆到第80层，一共需□__________ 个，■__________ 个.
4.操作题
请你接着画一画.并猜测第8个图形中一共用（ ）根小棒.
5.边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置．
（1）当重叠到5层时，有多少个正方体？
（2）5层时，这个立体的表面积是多少？
6.如图，有一个六边形点阵，它中心的一个点算作第一层，从内往外依次为第二层，第三层……
第一层有1个点，
第二层有1×6＝6（个）点，
第三层有2×6 ＝12（个）点，
第四层有3×6＝18（个）点，
……
第50层有个___________点．
题型二：算式中的规律
【基础练习】
1.选一选
与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是( ).
5+3 B.9 C.5+ 3 D.5- 3
2.选一选
求2+6+10+14的和，下面算式错误的是（ ）
A.16×2 B.(14+2)×4÷2 C.14×4 D.(14+2)×2
3.判断
在1+3+5+7+9+……中，从“1”到数“13”的和是49. （ ）
【提高练习】
1.填一填
1+3+5+7+9=（ ）= （ ）
4= 1+3+（ ）+（ ）
2+4+6+8+10=( )
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
2.先找出规律，然后列式计算：
3△2＝3＋4＝7
4△3＝4＋5＋6＝15
8△4＝_________＋_______＝___________．
3.下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数.
（9，13），（17，5），（14，8），（ ，16）
4.找出下列算式的规律，把算式填写完整
19+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
……
（ ）+（ ）×9=1000000
1111114+（ ）×9=（ ）
5.观察1+3=4；4+5=9；9+7=16；6+9=25；25+11=36 五道算式，找出规律，
然后填写2001＋（ ）＝2002
6.一串分数：其中的第2000个分数是 .
参考答案
【典例精讲】
例1.【答案】30
第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点，
......第n个图有n+(n+1)+(n+2)个点.对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解.
例2.【答案】D 分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121.
例3.【答案】①算式变化规律：每道算式与前一道算式相比，第二个乘数不变，积随第一个乘数有规律地变大而有规律地变大;
②按规律完成填空：54321×9=488889；654321×9=5888889;
这道题开始部分还可以再加上一道算式：1×9=9。后面也可以让学生按规律再续写几道算式;
③很多数与9相乘都有一些奇妙的现象;这一题运用乘法分配律可知，每一道算式依次比上一道算式多了300、4000、50000、600000个9，即2700、36000、450000、5400000;由189依次加上这一列数，原积最高位加到8，并变为次高位，新积最高位比原积依次多1.
例4.【答案】此为等差数列求和，所以和为100
【课堂练习】
【题型1】
【基础练习】
1.【答案】
30 第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点……第n个图就有n+(n+1)+(n+2)个点。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解.
2.【答案】
，1+4×4；37，201.解析：分析图形，可得出第n个图中共有1+4(n-1)个点，则第10个图共有1+4×（10-1）=37个点，第51个图共有1+4×（51-1）=201个点.
3.【答案】
（1）在1+3+5+7+9+…中,从“1”到数“13”的项数为：(13 1)÷2+1=12÷2+1=6+1=7
前6项的和为：(13+1)×72=14×3.5=49
因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的. √
【提高练习】
1.【答案】
21；51；5n+1. 摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆n个六边形需要5n+1根小棒.
2.【答案】
第一张桌子可以坐4人;
拼2张桌子可以坐4+2×1=6人;
拼3张桌子可以坐4+2×2=8人;
故n张桌子拼在一起可以坐4+2(n-1)=2n+2 .
当2n+2=40时，n=19，
答:像这样19张桌子拼起来可以坐40人.
故答案为：19.
3.【答案】
需□ 1+2+3+......+80=3240（个）
需■ 1+2+3+......+79=3160（个）
4.【答案】
64
5.【答案】
（1）1+3+6+10+15=35（个）
（2）6×（1+2+3+4+5）=90（平方厘米）.
6.【答案】
294.
【题型2】
【基础练习】
1.【答案】
1+3+5+7+......+n+n-1+.....+9+5+3+1= 选B.
2.【答案】
B 等差数列求和是（首项+末项）×项数÷2.
3.【答案】
在1+3+5+7+9+…中,从“1”到数“13”的项数为：(13 1)÷2+1=12÷2+1=6+1=7
前6项的和为：(13+1)×72=14×3.5=49
因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的 √
【提高练习】
1.【答案】
1+3+5+7+9=（ 5 ）= （ 25 ）
4= 1+3+（ 5 ）+（ 7 ）
2+4+6+8+10=( 30 )
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
2.【答案】
8+9+10+11=38.
【答案】
9+13=17+5=14+8=（6）+16
填6.
3.【答案】
111115；98765；987654；10000000.
【答案】
2001+2002=4003.
4.【答案】
因为，分母为3的有2个，为5的有4个，…；
所以，2+4+6+…90=2070,2+4+6+…88=1980,所以分母是第45个数
即分母为3+(45 1)×2=91，
而前面44个分母总共占了1980个分数，这样正好是20个，
故答案为：.
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