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人教版数学九年级上《二次函数y=ax?的图像和性质》
教学设计
课题
二次函数y=ax?的图像和性质
单元
第二十二章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
结合生活实际，在实践中掌握二次函数的性质，培养学习兴趣
能力目标
能够运用函数的性质判断二次函数参数范围
知识目标
掌握函数的性质和图像特点
重点
函数的性质和图像特点
难点
函数的性质和图像特点
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习引入1.绘制函数y=x+2的图像2.总结：绘制函数图像的基本步骤①列表②描点③用平滑的曲线连接起来.二次函数图像如何绘制？一次函数的图象特征：1.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）2.一条直线，即直线y=kx+b．3.k＞0时，y随着x的增大而增大；k＜0时，y随着x的增大而较小。1.正比例函数y=kx（k常数，且k≠0）2.正比例函数是一次函数b=0时的特殊情况。3.过
(0,0)，(1,k)两点的一条直线．活动：请大家用乒乓球模拟篮球做投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.
怎样用数学规律来描述呢?
观察抛物线的实例图,议一议这与二次函数有何联系。学习目标：1.二次函数的图像及其特征2.|a|与开口大小的关系
复习一次函数图像绘制，总结函数图像绘制方法
回顾知识，为本节课教学提供知识基础
讲授新课
你能绘制函数的图像吗①用描点法画最简单的二次函数
y
=
x
的图象.②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.议一议：请同学们观察y=x的图象的性质，然后分组探讨。①形状：二次函数是一条曲线，我们把这条曲线叫做抛物线。②对称性：y轴是抛物线y=x的对称轴，它们的交点（0，0）叫做抛物线的顶点。③开口：它开口向上，所以其顶点为最低点.④在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，即当x＜0时，y随x的增大而减少；反之，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，即当x＞0时,y随x的增大而增大.观察图像，归纳与总结：练习：相同点：开口向上，顶点都是（0,0），对称轴都为x=0，即y轴不同点：a
越大，抛物线开口越小．总结：当a＞0时，二次函数y=ax的图象有什么特点？一般地，当a＞0时，抛物线y=ax的开口向上，一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点都为（0,0），且a值越大，该函数的开口越小。3.类比
a＞0时的研究过程，画图研究当a＜0
时，二次函数y=ax的图象有什么特点.总结：当a＜0时，二次函数
y=ax的图象有什么特点？一般地，当a＜0时，抛物线y=ax的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。4.你能说出二次函数y
=
ax?的图象特征和性质吗？一般地，
抛物线
y
=
ax?的对称轴是
y
轴，
顶点是原点．当
a＞0
时，
抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当
a＜0
时，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线
y
=
ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．对于函数
当a>0时，对称轴为x=0,对称轴左边，x<0，y随着x的增大而减少，x>0，y随着x的增大而增大当a<0，对称轴为x=0,对称轴左边，x<0,y随着x的增大而增大，x>0，y随着x的增大而减少练习：判断正误1.函数开口向下2.函数有最高点3.函数在x<0部分，随着x增大，y增大4.函数，开口更大答案：1.错误
2.正确
3.正确
4.正确
结合一次函数的图像绘制过程，绘制二次函数的图像
采用类比法，绘制二次函数的图像
课堂练习
1.如果抛物线y=（a+2）x开口向下，那么a的取值范围为（
）A.
a>2
В.
а<2
C.
a>-2
D.a<-2答案：D2.已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（
）A.y=xB.C.D.【解答】所以点A与点B关于y轴对称；由于y=x，的图象关于原点对称，因此选项AB错误；因为n>0,m-n）答案：D4.分别在同一直角坐标系内，描点画出的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标【答案】解：抛物线y=x+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（-3，6）抛物线y=x的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（-3，3）则它们的图象如图所示：
运用讲练结合法，通过检测题及时巩固二次函数性质。
回归课本，重视基础，突出重、难点。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？二次函数y=ax的图像的特征和性质：如果a＞0，对称轴为x=0,对称轴左边随着x的增大，y值减少，对称轴右边，随着x增大，y值增大如果a＜0，对称轴为x=0,对称轴左边，随着x增大，y值增大，对称轴右边，随着x增大，y值减少｜a｜越大，抛物线的开口越小
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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（共
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2020
数学人教版
九年级上
二次函数y=ax?的图像和性质
复习引入
1.绘制函数y=x+2的图像
2.总结：绘制函数图像的基本步骤
①列表②描点③用平滑的曲线连接起来.
二次函数图像如何绘制？
导入新课
1.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）
3.k＞0时，y随着x的增大而增大；k＜0时，y随着x的增大而较小。
一次函数的图象特征：
2.一条直线，即直线y=kx+b．
1.正比例函数y=kx（k常数，且k≠0）
3.过
(0,0)，(1,k)两点的一条直线．
2.正比例函数是一次函数b=0时的特殊情况。
直线经过一、三象限
直线经过二、四象限
导入新课
活动：请大家用乒乓球模拟篮球做投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.
怎样用数学规律来描述呢?
观察抛物线的实例图,议一议这与二次函数有何联系。
导入新课
学习目标
1.二次函数
的图像及其特征
2.|a|与开口大小的关系
生活中处处存在抛物线，请具体说明
投篮，抛东西……
探究新知
①用描点法画最简单的二次函数
y
=
x2
的图象.
②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.
你能绘制函数
的图像吗
探究新知
画二次函数y=x2的图象
x
…
0
…
y
…
…
-1
-3
-2
1
2
3
①列表：
1
9
4
1
4
9
0
②描点：
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
③连线：
对称轴是y轴
这是抛物线的顶点
轴对称图形
这是一条抛物线
探究新知
议一议：
请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
①形状：二次函数是一条曲线，我们把这条曲线叫做__________。
②对称性：_________是抛物线y=x2的对称轴，它们的交点（0，0）叫做抛物线的__________。
抛物线
y轴
顶点
探究新知
③开口：它开口向_____，所以其顶点为最______点.
上
低
④在对称轴的左侧，抛物线从左到右______，即当x＜0时，y随x的增大而______；反之，在对称轴的右侧，抛物线从左到右_______
，即当x＞0时,y随x的增大而________.
下降
减小
增大
上升
新课讲解
1
2
3
4
5
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
当x＜0（在对称轴的左侧），y随着x的增大而增大
当x＞0（在对称轴的右侧），y随着x的增大而减小
抛物线y=-x2在x轴的下方（除顶点外），顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限延伸；当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
分析y=-x2的图像特征
新课讲解
观察图像，归纳与总结：
a>0
a<0
开口
顶点
对称轴左边
对称轴右边
对称轴为y轴，顶点为（0,0）
向上
向下
最低
最高
随x增加而减少
随x增加而增大
随x增加而增大
随x增加而减少
练习
抛物线
的开口_______,顶点是抛物线的最______点,
在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______.抛物线
的开口向_____,顶点是抛物线的最_____点,在对称轴的左侧,y随x的增大而_______,在对称轴的右侧,y随x的增大而_______.
向上
低
减少
增大
向下
高
增大
减少
新课讲解
?
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口向上，顶点都是（0,0），对称轴都为x=0，即y轴
不同点：a
越大，抛物线开口越小．
新课讲解
总结：当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点都为（0,0），且a值越大，该函数的开口越小。
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
新课讲解
3.类比
a＞0时的研究过程，画图研究当a＜0
时，二次函数y=ax2的图象有什么特点.
?
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
y=-x2
?
y=-2x2
相同点？不同点？
新课讲解
总结：当a＜0时，二次函数
y=ax2的图象有什么特点？
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
y=-x2
?
y=-2x2
新课讲解
一般地，
抛物线
y
=
ax2
的对称轴是
y
轴，
顶点是原点．
当
a＞0
时，
抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当
a＜0
时，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线
y
=
ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
4.你能说出二次函数y
=
ax?的图象特征和性质吗？
新课讲解
对于函数
当a>0时，对称轴为x=0,对称轴左边，x<0，随着x的增大而减少，x>0，随着x的增大而增大
当a<0，对称轴为x=0,对称轴左边，x<0,随着x的增大而增大，x>0，随着x的增大而减少
新课讲解
y=ax2
a＞0
a＜0
图像
开口
对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴右侧递减
在对称轴左侧递增
练习
判断正误
1.函数
开口向下
2.函数
有最高点
3.函数
在x<0部分，随着x增大，y增大
4.函数
，
开口更大
答案：1.错误
2.正确
3.正确
4.正确
课堂练习
1.如果抛物线y=（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（
）
A.
a>2
В.
а<2
C.
a>-2
D.a<-2
答案：D
课堂练习
2.已知点
在同一个函数的图象上，这个函数可能是（
）
A.y=x
B.
C.
D.
【解答】
所以点A与点B关于y轴对称；
由于y=x，
的图象关于原点对称，因此选项AB错误；
因为n>0,m-n课堂练习
3.下列选项中，能描述函数y=ax2与图象y=ax+b(ab<0）的是（
）
答案：D
课堂练习
4.分别在同一直角坐标系内，描点画出
的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标
【答案】解：抛物线y=x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（-3，6）
抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（-3，3）
则它们的图象如图所示：
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
二次函数y=ax2的图像的特征和性质：
如果a＞0，对称轴为x=0,对称轴左边随着x的增大，y值减少，对称轴右边，随着x增大，y值增大
如果a＜0，对称轴为x=0,对称轴左边，随着x增大，y值增大，对称轴右边，随着x增大，y值减少
｜a｜越大，抛物线的开口越小
课堂作业
完成第12页1题
谢谢观看
