华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形检测题（Word版 含答案）

第24章检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．(大庆中考)2cos
60°＝(
)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(
)
A．5米
B．10米
C．15米
D．10米
　　　　　　
3．(2019·宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin
∠BAC的值为(
)
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，若sin
A＝，tan
B＝1，则这个三角形是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5．式子2cos30°－tan45°－的值是(
)
A．2－2
B．0
C．2
D．2
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos
α＝，AB＝4，则AC的长为(
)
A．3
B．
C．
D．
7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(
)
A．a
sin
α＋a
sin
β
B．a
cos
α＋a
cos
β
C．a
tan
α＋a
tan
β
D．＋
　　　　　　　　　　
8．(2019·营口)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan
∠BAC的值是(
)
A．
B．
C．
D．
9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据：≈1.732，≈1.414)(
)
A．4.64海里
B．5.49海里
C．6.12海里
D．6.21海里
10．(2019·重庆)如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A，B，C，D，E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为(参考数据sin
27°≈0.45，cos
27°≈0.89，tan
27°≈0.51)(
)
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．若α为锐角，cos
α＝，则sin
α＝(
)，tan
α＝(
)．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan
A＝，△ABC的周长为18，则S△ABC＝(
)．
13．在△ABC中，若|2cos
A－1|＋(－tan
B)2＝0，则∠C＝(
)．
14．(2019·天门)如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6
m，则旗杆AB的高度为(
)m.
　　　　
15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_(
)(填“超速”或“没有超速”).(参考数据：≈1.732)
三、用心做一做(共75分)
16．(8分)解下列各题：
(1)先化简，再求代数式(＋)÷的值，其中x＝cos30°＋；
17．(9分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3
m，坝高AE＝DF＝6
m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
18．(9分)(2019·梧州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan
B＝.
(1)求AD的长；
(2)求sin
α的值．
　　　　　
19．(9分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号).
　　　
20．(9分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间的距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)
　　　　
21．(10分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
　　　　　　
22．(10分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73).
　　　
23．(11分)(赤峰中考)阅读下列材料：
如图①，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：S△ABC＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A．证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，sin
B＝，∴AD＝c·sin
B，∴S△ABC＝a·AD＝ac
sin
B，同理：S△ABC＝ab
sin
C，S△ABC＝bc
sin
A，∴S△ABC＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A.
(1)通过上述材料证明：＝＝；
(2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度；
(3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18
km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin
15°≈0.3，sin
120°≈0.9，≈1.4，结果取整数)
第24章检测题(答案版）
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．(大庆中考)2cos
60°＝(
A
)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(
A
)
A．5米
B．10米
C．15米
D．10米
　　　　　　
3．(2019·宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin
∠BAC的值为(
D
)
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，若sin
A＝，tan
B＝1，则这个三角形是(
A
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5．式子2cos30°－tan45°－的值是(
B
)
A．2－2
B．0
C．2
D．2
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos
α＝，AB＝4，则AC的长为(
C
)
A．3
B．
C．
D．
7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(
C
)
A．a
sin
α＋a
sin
β
B．a
cos
α＋a
cos
β
C．a
tan
α＋a
tan
β
D．＋
　　　　　　　　　　
8．(2019·营口)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan
∠BAC的值是(
C
)
A．
B．
C．
D．
9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据：≈1.732，≈1.414)(
B
)
A．4.64海里
B．5.49海里
C．6.12海里
D．6.21海里
10．(2019·重庆)如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A，B，C，D，E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为(参考数据sin
27°≈0.45，cos
27°≈0.89，tan
27°≈0.51)(
B
)
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．若α为锐角，cos
α＝，则sin
α＝____，tan
α＝____．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan
A＝，△ABC的周长为18，则S△ABC＝____．
13．在△ABC中，若|2cos
A－1|＋(－tan
B)2＝0，则∠C＝__60°__．
14．(2019·天门)如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6
m，则旗杆AB的高度为__14.4__m.
　　　　
15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车__没有超速__(填“超速”或“没有超速”).(参考数据：≈1.732)
三、用心做一做(共75分)
16．(8分)解下列各题：
(1)先化简，再求代数式(＋)÷的值，其中x＝cos30°＋；
解：x＝2，原式＝x＋1＝3
(2)已知α是锐角，且sin
(α＋15°)＝.计算－4cos
α－(π－3.14)0＋tan
α＋()－1的值．
解：α＝45°，原式＝3
17．(9分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3
m，坝高AE＝DF＝6
m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
解：由图得，AE，DF为高，则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6＝9＋6，答：BC的长(9＋6)m
18．(9分)(2019·梧州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan
B＝.
(1)求AD的长；
(2)求sin
α的值．
　　　　　
解：(1)∵tan
B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝－1(舍去)或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝＝3
(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵tan
B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2＋DE2＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得y＝－(舍)或y＝，∴DE＝，∴sin
α＝＝
19．(9分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号).
　　　
解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70，答：电动扶梯DA的长为70米
20．(9分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间的距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)
　　　　
解：如图，作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°，设CD＝x米，则AH＝(30－x)米，在Rt△AHC中，HC＝＝(30－x)，则BD＝CH＝(30－x)，∴ED＝(30－x)－10，在Rt△CDE中，＝tan
∠CED，即＝，解得x＝15－，答：立柱CD的高为(15－)米
21．(10分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
　　　　　　
解：(1)如图所示：作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里，答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里
(2)∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3(小时)，救助船B所用的时间为＝2(小时)，∵3＞2，∴救助船B先到达
22．(10分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73).
　　　
解：(1)过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan
∠DCE＝6×tan
30°＝2(米)，∴点F到地面的距离为2
米　(2)∵斜坡CF的坡度为i＝1∶1.5，∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3，∴FD＝EG＝3＋6.在Rt△BCE中，BE＝CE·tan
∠BCE＝6×tan
60°＝6.∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3
(米)，答：宣传牌的高度约为4.3米
23．(11分)(赤峰中考)阅读下列材料：
如图①，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：S△ABC＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A．证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，sin
B＝，∴AD＝c·sin
B，∴S△ABC＝a·AD＝ac
sin
B，同理：S△ABC＝ab
sin
C，S△ABC＝bc
sin
A，∴S△ABC＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A.
(1)通过上述材料证明：＝＝；
(2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度；
(3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18
km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin
15°≈0.3，sin
120°≈0.9，≈1.4，结果取整数)
解：(1)∵ab
sin
C＝ac
sin
B，∴b
sin
C＝c
sin
B，∴＝，同理得，＝，∴＝＝　(2)由题意，得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，∴＝，即＝，∴＝，∴AC＝40×0.3＝12　(3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180°－15°－45°＝120°，由＝＝，得＝，∴AC＝6
km，∴S△ABC＝AC×BC×sin
∠ACB＝×6×18×0.7≈38(km2)
6