课时训练（十二）
【22.2
第二课时
相似三角形的判定定理2】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.＝
B.＝
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )
A．A′C′＝12，B′C′＝9
B．A′C′＝12，A′B′＝15
C．A′C′＝9，A′B′＝12
D．B′C′＝9，A′B′＝15
3.如图，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A.∠B＝∠C
B.∠ADC＝∠AEB
C.BE∶CD＝AB∶AC
D.AD∶AC＝AE∶AB
4.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( )
A.3
B.3或
C.3或
D.
二、填空题
5.如图所示，在△ABC与△ADE中，AD·AC＝AB·AE，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________________．(只加一个即可)
6.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，且AD
2＝BD·DC，则∠C的度数为__________．
三、解答题
7.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD＝2.求证：△BCD∽△ACB.
8.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D，E，B，C在同一条直线上，且AB2＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.
9.如图，已知AE平分∠BAC，＝.
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若AB＝9，AD＝5，DC＝3，求BE的长．
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值.
11.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.试说明：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．
12.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠1＝∠2.
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC边上，过点D作DE⊥AC于点E，连接BE交AD于点F.
（1）求证：△ADC∽△BEC；
（2）若D为BC的中点，BC＝4，求BE的长．
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD＝∠BGC，求证：△AGD∽△EGF.课时训练（十二）
【22.2
第二课时
相似三角形的判定定理2】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.＝
B.＝
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
解析：在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得添加的条件是＝，∴AC2＝AD·AB.故选C
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )
A．A′C′＝12，B′C′＝9
B．A′C′＝12，A′B′＝15
C．A′C′＝9，A′B′＝12
D．B′C′＝9，A′B′＝15
解析：A项中直接利用两条直角边对应成比例，夹角都是直角，进行判定；B，D选项先用勾股定理求出另一条直角边，再用相似的判定定理进行判定．只有C项给出的对应边不成比例．故选C
3.如图，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A.∠B＝∠C
B.∠ADC＝∠AEB
C.BE∶CD＝AB∶AC
D.AD∶AC＝AE∶AB
解析：根据相似三角形判定定理1可知条件“∠B＝∠C”和“∠ADC＝∠AEB”符合题意；根据相似三角形判定定理2可知条件“AD∶AC＝AE∶AB”符合题意．而由条件“BE∶CD＝AB∶AC”无法推出△ABE和△ACD相似．故选C
4.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( )
A.3
B.3或
C.3或
D.
解析：已知∠A是公共角，则当＝或＝时，可满足题目要求，解得AQ＝3或AQ＝.故选B
二、填空题
5.如图所示，在△ABC与△ADE中，AD·AC＝AB·AE，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________________．(只加一个即可)
解析：答案不唯一，如∠DAE＝∠BAC
6.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，且AD
2＝BD·DC，则∠C的度数为__________．
解析：
(1)如图①，若∠C为锐角，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.
∵AD2＝BD·DC，
∴＝，∴△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，∴∠C＝65°；
(2)如图②，若∠ACB为钝角，
同理可得△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，
∴∠ACB＝25°＋90°＝115°.
三、解答题
7.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD＝2.求证：△BCD∽△ACB.
解析：证明：∵BC＝4，AC＝8，CD＝2，
∴＝＝.
又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.
8.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D，E，B，C在同一条直线上，且AB2＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.
解析：证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB2＝BD·CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA.
9.如图，已知AE平分∠BAC，＝.
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若AB＝9，AD＝5，DC＝3，求BE的长．
解析：（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC.
又∵＝，即＝，
∴△ABE∽△ADC，∴∠E＝∠C.
（2）∵△ABE∽△ADC，∴＝，
即＝，解得BE＝.
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值.
解析：
（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C.∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴＝1.
11.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.试说明：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．
解析：∵△ABC≌△DCE≌△FEG，
∴BC＝CE＝EG＝BG＝1，FG＝AB＝，
∴BG＝3，
∴＝＝＝.
又∵∠BGF＝∠FGE，
∴△BFG∽△FEG.
∵△FEG是等腰三角形，
∴△BFG是等腰三角形，∴BF＝BG＝3.
12.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠1＝∠2.
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE.
解析：证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE.
又∵∠1＝∠2，∴△ABD∽△CBE.
(2)∵△ABD∽△CBE，∴＝，
∴＝.
又∵∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC边上，过点D作DE⊥AC于点E，连接BE交AD于点F.
（1）求证：△ADC∽△BEC；
（2）若D为BC的中点，BC＝4，求BE的长．
解析：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°.
又∵DE⊥CE，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，∴＝.
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BEC.
(2)过点E作EG⊥DC于点G.
∵BC＝4，且D为BC的中点，
∴BD＝DC＝2.
∵△CDE为等腰直角三角形，且∠DGE＝90°，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴DG＝EG＝DC＝1，
∴BG＝BD＋DG＝3.
在Rt△BEG中，由勾股定理，得BE＝＝，即BE的长为.
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD＝∠BGC，求证：△AGD∽△EGF.
解析：
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠AGD＋∠DGB＝∠BGC＋∠DGB，
即∠AGB＝∠DGC.
由题意可知GA＝GB，GD＝GC.
由等腰三角形的性质，得∠AGE＝∠AGB，∠DGF＝∠DGC，
∴∠AGE＝∠DGF.
∵∠GEA＝∠GFD＝90°，
∴△AGE∽△DGF，
∴＝，
∴＝.
∵∠AGE－∠DGE＝∠DGF－∠DGE，即∠AGD＝∠EGF，
∴△AGD∽△EGF.
