12．3
角的平分线的性质（第1课时）
备课时间：
授课时间：
年
班
学习目标
：
1、知识与技能
：会用尺规作一个已知角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质，能运用角的平分线的性质解决简单问题.
2、过程与方法：经历探索角的平分线的性质的过程，进一步发展推理证明意识和能力.?
3、情感态度与价值观：培养探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.?
学习重点：探索并证明角的平分线的性质．
学习难点：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质.
学习过程：
一、自主学习：
1.在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
2.如右图，AB＝AD，BC＝DC，沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？
3.自学课本P48，思考为什么要用大于MN的长为半径画弧？
4．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论
PD
PE
第一次
第二次
第三次
5.猜想角的平分线的性质：
.
二、合作探究、交流展示：
1.证明角的平分线的性质：
（1）分析命题：题设：
.
结论：
.
（2）结合右图，写出已知和求证；
（3）证明：
2.归纳：
证明一个几何命题的步骤有那些？
3.例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
三、拓展延伸：
如图，△ABC中，∠B
=∠C，AD
是∠BAC
的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB
=FC．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？
四、课堂检测：
1.如图所示OC是∠AOB
的平分线,P
是OC上任意一点,问PE=PD吗?为什么?
2.如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA,
PD⊥OB，垂足分别为C,D.下列结论不一定成立的是（
）
A.
∠AOP=∠BOP
B.PC=PD
C.
∠OPC=∠OPD
D.OP=PC+PD
3.如图,一目标在A区,而且A区在公路、铁路所夹角的平分线上，如果目标离公路的距离是500米.那么它离铁路的距离是
米。
4.如图，在△ABC中，∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
五、学（教）后反思：
答案
一、自主学习：
1.略
2.解答：在△ABC和△ADC中
∵AB=AD,BC=DC,AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC=∠DAC
∴AC是角平分线
3.根据两点之间线段最短，若以小于MN的长为半径画弧，则两弧不会有交点
4．结论：PD=PE；
表略
5.角平分线上的点到角的两边距离相等
二、合作探究、交流展示：
1.证明角的平分线的性质：
（1）一个点在一个叫的平分线上；这个点到这个角的两边距离相等
（2）已知：OC平分∠AOB,PE⊥OB于E,PD⊥OA于D
求证：PD=PE
（3）证明：如图，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POD=∠POE.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠POD=∠POE=90°.
在△POD和△POE中，
∴△POD≌△POE，
∴PD=PE.
2.已知，求证，证明
3.解答：证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，
∵BM为的角平分线，
，，
（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）。
同理可证：。
。
即点O到三边AB、BC、CA的距离相等。
三、拓展延伸：
解答：
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90?，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
{BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴EB=FC.
①AE是等腰三角形的对称轴．
②AD⊥BC于D．
③BE＝CF．
④AB＝AC．
四、课堂检测：
1.解答：PE不一定等于PD
当OP⊥DE时PE=PD
原因在△OPE和△OPD中
OP=OP
∠EOP=∠OPD
∴△OPE≌△OPD
∴PE=PD
2.D
3.500
4.解答：证明：如图，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，
∵△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于P，
∴PF=PG，PG=PH，
∴PF=PG=PH，
∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
O
A
B
E
D
C
P
A区12.3角的平分线的性质（2）
备课时间：
授课时间：
年班：
学习目标：
1、知识与技能：会叙述角的平分线的性质的逆定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，能应用这个定理解决一些简单的实际问题．
2、过程与方法：经历观察，交流，思考，操作、分析得出结论的过程，体会定理的互逆关系.
3、情感态度与价值观：在操作中思考，合作，培养良好的学习习惯.
学习重点：角平分线的判定定理及其应用.
学习难点:
灵活应用两个性质解决问题.
学习过程：
一、自主学习：
1、思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路
距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺
1：20
000）
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
二、合作探究、交流展示：
1、比较角平分线的性质与判定.
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
三、拓展延伸：
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
四、课堂检测：
1、已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为
.
2、下列说法错误的是（
）
A、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上
B、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角
C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角
D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角
3、到三角形三条边的距离相等的点是（
）
A、三条中线的交点
B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点
D、三条角平分线的交点
4、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
五、学（教）后反思：
答案
一、自主学习：
1、解答：
由题意可知：
利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知集贸市场应建在角平分线处
设距交点m处
由比例尺
解得：
答：集贸市场应建于距交点处
2、已知：OC是∠AOB的角平分线，DP⊥AO，PE⊥OB
求证：PD=PE
证明：
∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠DOP=∠EOP
∵DP⊥AO，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
∵PO=PO
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD=PE.
二、合作探究、交流展示：
1、略
2、证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，
∵BM为的角平分线，
，，
（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）。
同理可证：。
。
即点O到三边AB、BC、CA的距离相等。
三、拓展延伸：
解答：证明：在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD和△EBD中,?????AB=EB∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠A=∠BED.
∵AD=CD，
∴ED=CD，
∴∠DEC=∠C.
∵∠BED+∠DEC=180?，
∴∠A+∠C=180?.
四、课堂检测：
1、120°
2、B
3、D
4、解答：证明：
，
在与中
，
是的平分线
