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因式分解(三）
十字相乘法
复习
请同学们回忆一下我们已经学过的因式分解的方法：
提公因式法
公式法
下面大家来看这道例题：
x2+5x+4
借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
x
x2 + 5x + 4
x
1
4
x
x2
x
1
4
x
4x
＋
=
+
5x
+
4
5x
x2+5x+4 =(x+1)(x+4)
x
x2
x
2
2
2x
2x
＋
=
+
5x
+
4
5x
4x
x
x2
x
-2
-2
(-2x)
(-2x)
＋
=
+
5x
+
4
5x
-4x
x
x2
x
-1
-4
(-x)
(-4x)
＋
=
+
5x
+
4
5x
-5x
例1: 把x2+6x+8分解因式
x
x
2
4
2x
4x
＋
=
6x
x2 + 6x + 8
=(x+2)(x+4)
y
y
5
-1
5y
（-y）
=
4y
例2 :把y2+4y-5分解因式
y2 +4y－5
=(y+5)(y-1)
＋
练习:分解下列各式
1)x2+5x+6
2)x2+5x-6
=(x+2)(x+3)
=(x+6)(x-1)
例3 :把x2－2xy－8y2分解因式
x
x
2y
- 4y
2xy
（- 4xy）
=
-2xy
x2－2xy－8y2
=(x+2y)(x－4y)
＋
1)x2－7xy+12y2
2)a2+2ab－15b2
(x-3y)(x-4y) (a+5b)(a-3b)
练习:分解下列各式
例4 :把-x2+3x-2分解因式
x
x
-1
-2
-x
(-2x)
=
-3x
-x2+3x-2
=-(x-1)(x-2)
＋
=-(x2-3x+2)
例5 : (a+b)2+4(a+b)－5分解因式
a+b
a+b
+5
- 1
5(a+b)
[- (a+b)]
=
4(a+b)
(a+b)2+ 4(a+b)－5
=(a+b+5)(a+b-1)
＋
练习:分解下列各式
1)x2-5x+6
2) -x2+5x+6
3)p2+9pq+18q2
4)(m+n)2+4(m+n)-12
=(x-2)(x-3)
=-(x+1)(x-6)
=(p+3q)(p+6q)
=(m+n-2)(m+n+6)
思考：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解
答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式 x2+px+q可以分解因式.
(1)x2-6x-7
(2)-x2-6x+7
(5)x2-10x+24
(7)(x+y)2+2(x+y)-24
(3)x2-8x+7
(4)x2+8x+7
(6)x2-2x-24
作业[文件] sxc2dja0016.doc
[科目] 数学
[年级] 初二
[章节]
[关键词] 十字相乘/二次齐次式/换元法/因式分解
[标题] 十字相乘(2)
[内容]
十字相乘(2)
教学目标
1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；
2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.
教学重点和难点
重点：运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.
难点：理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；对于p和q，不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.
教学过程设计
一、复习
1.把下列各式分解因式：
(1)x2+5x+4； (2)y2+4y－5；
(3)m2－6m+8； (4)p2－5p－36.
答：
(1)(x+1)(x+4)； (2)(y+5)(y－1)；
(3)(m－2)(m－4)； (4)(p+4)(p－9).
2.问：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解
答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式
x2+px+q可以分解因式.
二、新课
二次三项式x2+px+q中的x，不仅可以是单项式，也可以是多项式. 同样，P和q不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.对于这样的多项式怎样分解因式呢
例1 把x4+6x2+8分解因式.
分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y 2+6y+8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法
解 设x2=y，则多项式变为
y2+6y+8，
把它分解因式，得
y2+6y+8=(y+2)(y+4).
再把y换成x2，得
x4+6x2+8=(x2) 2+6x2+8=(x2+2)(x2+4).
指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.
例2 把(a+b) 2－4(a+b)+3分解因式.
分析：如果把(a+b)看作一个整体，这样原多项式可看成关于(a+b)的二次三项式，就可以进行因式分解了.
解 (a+b) 2－4(a+b)+3=(a+b－1)(a+b－3).
指出：把(a+b)看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用.
例3 把(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72因式分解.
分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运
用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，就可以进行因式分解了.
问：运用整体思想和换元法，可以有几种不同的分解因式的方法 (不要求写出设辅助元的代换过程.)
解 方法1 把x2－3x看作一个整体.
原式=[(x2－3x)+2][(x2－3x)－4]－72
=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80
=(x2－3x－10)(x2－3x+8)
=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).
方法2 把x2－3x+2看作一个整体.
原式=(x2－3x+2)[(x2－3x+2)－6]－72
=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72
=[(x2－3x+2)－12][(x2－3x+2)+6]
=(x2－3x－10)(x2－3x+8)
=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).
方法3 把x2－3x－4看作一个整体.
原式=[(x2－3x－4)+6](x2－3x－4)－72
=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72
=(x2－3x－4+12)(x2－3x－4－6)
=（x2-3x+8）(x2-3x-10)
=(x2－3x+8)(x－5)(x+2).
指出；通过例3可以看到，如果把二次三项式(x2－3x+2)与二次三项式(x2－3x－4)相乘，
将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了.如果把其中的某些项看作一个整体(即把它看作一个新的辅助元)，这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了.
例4 把x2－3xy+2y2分解因式.
问：所给的多项式的结构特点是什么
答：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式.
问：如果把它看作是关于x的二次三项式，怎样分解因式
答：这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为－y与－2y的积，那么－y+(－2y)=－3y恰好等于一次项x的系数.
解 x2－3xy+2y2=x2－3yx+2y2=(x－y)(x－2y).
指出：由例4可以看到，当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单项式时，如果q可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系数p时，这样的二次三项式就可以分解因式.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
1.x4－15x2+26； 2.(x+y) 2－(x+y)－2；
3.y4－26y2+25； 4.(a－b) 2+6(b－a)+5；
5.(x2－2x)2－7(x2－2x)－8； 6.x2－2xy－8y2；
7.x2+(a+b)x+ab； 8.x4－7x2y2+6y4；
9.(a+b) 2+m(a+b)－12m2.
答案：
1.(x2－13)（x2-2）； 2.(x+y+1)(x+y－2)；
3.(y+5)(y－5)(y+1)(y－1)； 4.(a－b－1)(a－b－5)；
5.(x－4)(x+2)(x－1) 2； 6.(x+2y)(x－4y)；
7.(x+a)(x+b)； 8.(x+y)(x－y)(x2－6y2)；
9.(a+b+4m)(a+b－3m).
四、小结
本节课所讨论的四个例题都可以通过换元方法，即整体思想方法把原问题转化为形如x2+px+q的二次三项式的因式分解问题.
学会具体解题方法固然重要，但通过解数学题掌握数学思想方法更为重要.
五、作业
把下列各式分解因式：
1.(1)x4+7x2－18； (2)x6+8x3+15；
(3)m2x2－8mx+12； (4)x2y2－7xy+10；
2.(1)x2－7xy+12y2； (2)a2+2ab－15b2；
(3)m2+4mn－12n2； (4)p2+9pq+18q2.
3.(1)(m+n) 2－(m+n)－30； (2)(x－y) 2－3(x－y)－40；
(3)(2m+n) 2－4r(2m+n)+3r2； (4)(a－b) 2－12(a－b)－45.
4.(1)(x2－4x) 2－(x2－4x)－20； (2)(a2+5a+3)(a2+5a－2)－6.
答案：
1.(1)(x2－2)(x2+9)； (2)(x2+3)(x3+5)；
(3)(mx－2)(mx－6)； (4)(xy－2)(xy－5).
2.(1)(x－3y)(x－4y)； (2)(a+5b)(a－3b)；
(3)(m－2n)(m+6n)； (4)(p+3q)(p+6q).
3.(1)(m+n－6)(m+n+5)； (2)(x－y+5)(x－y－8)；
(3)(2m+n－r)(2m+n－3r)； (4)(a－b－15)(a－b+3).
4.(1)(x+1)(x－5)(x－2) 2；
(2) (a2+5a+3)(a2+5a－4)－6
=[(a2+5a)+3][(a2+5a)－2]－6
=(a2+5a) 2+(a2+5a)－12
=(a2+5a+4)(a2+5a－3)
=(a+1)(a+4))(a2+5a－3).
课堂教学设计说明
通过例1～例3的讨论，向学生介绍换元法，渗透整体思想和化归的思想方法，关于换元法和整体思想方法，在教科书中没有向学生提出，但是，对于帮助学生理解和掌握如例1～例3类型的问题，让学生学习换元法和整体思想方法是有重要作用的.
通过换元法把可化归为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，使学生体会到，学习新知就说好比“上楼梯”，要逐步登级而上；但是在解决新问题时，常常是通过某种方法和手段，把未知的知识化归为用已知的知识去解决，这就好比“下楼梯”，由高往低，逐级而下“上楼梯”与“下楼梯”的关系可以形象地说明在数学中解决问题的主要思想方法.
在教学中，通过例题的讨论，引导学生学会在解数学题时，从整体上观察、思考和处理问题，这不仅是一种重要的数学方法，而且是解决有关数学问题时常用的一种技能和技巧.十字相乘法(3)
教学目标 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性.教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式.教学过程设计 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48； 3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y).我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢 这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ? 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ? 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 ? 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3 ? 2 －1 1×(－1)+2×(－3) =－7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ? a2 c2 a1a2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x2－7x－5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ? 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5). 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 ? 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5). 例3 把5x2+6xy－8y2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ? 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y) 2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1). 1 －2 ? 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 三、课堂练习 1.用十字相乘法分解因式： (1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2； (3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6； (5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27. 2.把下列各式分解因式： (1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35； (3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2. 答案： 1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)； (3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)； (5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9). 2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)； (3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a). 四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题： (1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1 在式子 ? 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b. (2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项. (3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数. 2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式. 3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4. 五、作业 1.用十字相乘法分解因式： (1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6； (3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6； (5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2； (7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2. 2．把下列各式分解因式： (1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35； (3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9 (5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10； (7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2. 答案： 1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)； (3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2); (5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n); (7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n). 2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7); (3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3); (5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2); (7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27). 课堂教学设计说明 1.为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式分解因式的思路和方法，在教学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方法.只有使学生掌握了十字相乘法的一向法规，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的认识问题的过程，是符合学生的认识问题的过程.2.对于借助画十字，用观察的方法，选择和确定适合的数组，把二次三项式运用十字相乘法分解因式，学生最初是有一定的困难的.所以在教学中应循序渐进，首先讲解例1时，要求学生把分解二次项系数和常数项的各种情况都画十字交叉线表示，运用观察的方法，从中选取合适的数组，然后归纳为一般情况，总结出一般的方法，再通过例2加以巩固.当学生熟悉了这种方法，摸索出规律后，就不要求学生把各种情况一一列出了.
