苏科版数学八年级上册1.2全等三角形常见辅助线作法讲义

全等三角形常见辅助线（1）
知识点回顾：
全等三角形的判定条件：
1.
两边及夹角分别相等的两个三角形全等(SAS
注意：角是夹角)
2.
两角及夹边分别相等的两个三角形全等(ASA
注意:
边是夹边)
3.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)
4.
三边分别相等的两个三角形全等(SSS)
5.
斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等(HL
直角三角形)
特别注意:
1.SSA(锐角或钝角三角形),AAA不能作为判定三角形全等的条件。因为三角形的形状、大小不唯一。
2.对于第2,3个判定条件，如果给的边是夹边相等判定条件叫ASA,如果不是
夹边相等判定条件叫AAS、
3.
要证明相等的线段和相等的角，将要证相等的角或边分别放在两个全等的三角形中，然后根据全等三角形的性质。
4.
写全等符号时，一定要将两个三角形对应点的字母一一对应写。
5.两个三角形全等时，我们脑海里一定要有这样的情形，就是其中一个三角形是怎么通过旋转、翻折、平移与另外一个三角形重合的。这样的目的是为了方便我们确定哪些角是对应角和哪些边是对应边。
常见模型：
一、角平分线模型（根据角平分线上的点到角的两端距离相等）
辅助线：过点D分别作DE⊥射线OA和DF⊥射线OB,得OA=OB
已知：
∠AOD=∠BOD
DE⊥OA
OF⊥OB
△ODE≌△ODF
（AAS）
例题指引：
1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.
延长BA过点D分别作AB、BC的垂线交于点E、F
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∵DE⊥AB
DF⊥BC
∴DE=DE(角平分线的性质)
∵AD=CD
∴△ADE≌△CDF
（HL）
∴∠C=∠DAE(全等三角形的性质对应角相等）
∵∠A+∠DAE=180°
∴∠A+∠C=180°
2、证明：任意三角形两外角平分线的交点在另一个内角的平分线上
如图△ABC，分别延长BA、BC过点P分别作BA。BC的垂线交于点E、F，连接BP
∵点P是∠A、∠C外角平分线的交点
∴PE=PD
PD=PF(角平分线的性质)
∴PE=PF
(等量代换)
∴即点P在∠ABC的平分线上
（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
推论：任意一个三角形一个内角和一个外角平分线的交点在另外一个外角的平分线上。
3、在△ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于点P，连接AP,
若∠BPC=30°，求∠BAC和∠PAC的度数？
∵∠B的平分线和∠C的外角平分线交于点P
∴∠1=∠2
∠3=∠4
∵∠BPC=∠4-∠2
∠BAC=∠ACF-∠ABC
(三角形外角的性质)
∴∠BAC=2（∠4-∠2）
∴∠BAC=2∠BPC
∵∠BPC=30°
∴∠BAC=60°
∵AP为∠EAC的角平分线（具体看前面的证明）
∴∠5=∠6
∴∠PAC=(180°-60°)=60°
二
角平分线+垂直或平行
（必然出现等腰三角形）
已知
OD平分∠AOB
ED⊥OD
延长ED交OB于点F
则△OED≌△OFD
（ASA）
△OEF为等腰三角形
已知
OD平分∠AOB
ED⊥OD
过点E作OB的平行线交OD于点F
∵EF∥OB
∴∠2=∠3
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴△OEF为等腰三角形
例题指引：
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F
.
求证：BE=(AC-AB)
延长BE交AC于点F
∵AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD
∴△ABE≌△AFE
（ASA）
∴AB=AF
BE=EF
∠ABE=∠AFE
∵∠ABC=∠ABE+∠1
即∠ABC=∠AFE+∠1
又∵∠AFE=∠C+∠1(三角形的外角性质)
∴∠ABC=∠C+2∠1
∵∠ABC=3∠C
∴3∠C=∠C+2∠1
∴∠C=∠1
∴BF=CF=2BE
∴BE=(AC-AB)
2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.
求证：AM=(AB+AC).
延长AM过点C作AB的平行线交于点P
∵AD是∠BAC的角平分线，CM⊥AD
∴△AMC≌△PMC
（ASA）
即△ACP为等腰三角形
且AM=PM
∴AM=AP
∵AB=AD
∴∠B=∠3=∠4
∵AB∥CP
∴∠B=∠BCP
∴∠BCP=∠4
∴PC=OP=AC
即AP=AD+DP=AB+ac
∴AM=(AB+AC)
三
截长补短
截长：就是在一条线上截取成两段，
补短：就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
例题说明：
1、如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E,求证：AD+BC=AB.
在AB上取一点使BF=BC（截长）
∵BF=BC
∠3=∠4
∴△EFB≌△ECB
（SAS）
∴∠C=∠5
∴∠BCP=∠4
∵AD∥BC
∴∠C+∠D=180°
∵∠5+∠6=180°
∴∠D=∠6
∵∠1=∠2
∴△ADE≌△AFE
（AAS）
∴AD=AF
即AD+BC=AB
2、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC
.
在AB上取一点使AC=AE（截长）
∵AB平分∠BAC
∴△EAP≌△CAP
（SAS）
∴EP=CP
在△BEP中
BE＞PB-PE(三角形三边关系)
∵BE=AB-AE=AB-AC
PB-PE=PB-PC
∴AB-AC＞PB-PC
3、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
求证：AD＋BD＝BC
.
截长：在BC上取一点E，使AB=EB
补短：延长BD，使得BF=BC
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2
∵AB=EB
∴△ABD≌△EBD
（SAS）
∴AD=DE
∠ADB=∠EDB
∵AB=AC
∠A=100°
∴∠ABC=∠ACB=40°
∴∠1=∠2=20°
∠ADB=∠EDB=60°
∠EDC=∠CDF=60°
∵BF=BC
∴∠F=80°
∵∠DEC=∠2+∠EDB=80°
∴∠F=∠DEC
∴△EDC≌△FDC
(AAS)
∴DF=DE=AD
∵BF=BD+DF
∴BC=BD+AD