主题
公因数与最大公因数
学习目标
1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别；
教学内容
知识精讲：
公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
例题精讲：
36和54的公因数有_____________．
【难度】★
126和630的最大公因数是________________．
【难度】★
在下列各组数中，互素的有（
）组
（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
下列说法正确的是（
）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5
【难度】★★
三个数16、24和30的公因数有______．
【难度】★★
有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★
一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种多少棵树？
【难度】★★★
一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是多少？
【难度】★★★
求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）
【难度】★★★
练一练：
1．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
(1)51和34
（2）48和72
（3）32和36
2．在横线或括号内填上适当的数。
（ ） （ ） 40
2
（ ） 8
这两个数的最大公因数是__________，
5
4主题
公因数与最大公因数
学习目标
1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别；
教学内容
知识精讲：
公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
例题精讲：
36和54的公因数有_____________．
【难度】★
【答案】1、2、3、9、18．
【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
126和630的最大公因数是________________．
【难度】★
【答案】126．
【解析】
故126和630的最大公因数是：．
【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的最大公因数．
在下列各组数中，互素的有（
）组
（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
下列说法正确的是（
）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5
【难度】★★
【答案】B
【解析】A错，例如4和9互素，但是4和9都是合数．
C错，1是所有整数的因数，所以如果1是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．
D错，若5能被a整除，则a为1或5，因为5是b的最小倍数，则，所以a和b
的最大公因数不一定是5，还有可能是1．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
三个数16、24和30的公因数有______．
【难度】★★
【答案】1、2．
【解析】16的因数是1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30．则16、24、30的公因数为1、2．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】因为，，所以60和48的公因数有2、3、2，
则60和48的最大公因数为，即这四个数的最大公因数是12．
【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．
【难度】★★★
【答案】14．
【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．
【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素
因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．
【难度】★★★
【答案】486平方分米．
【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为平方分米．
【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．
求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）
【难度】★★★
【答案】79．
【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，
42897÷18644=2．．．．．．5609，
18644÷5609=3．．．．．．1817，
5609÷1817=3．．．．．．158，
1817÷158=11．．．．．．．79，
158÷79=2．．．．．．0，
所以最大公因数为79．
【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．
辗转相除法步骤：设两数为
，求和最大公因数的步骤如下：用除以：
得：．若，则和最大公因数为；若，则再用除以，
得：．若，则和最大公因数为，若，则继续用除
以，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为和的最大公因数．
练一练：
1．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
(1)51和34
（2）48和72
（3）32和36
2．在横线或括号内填上适当的数。
（ ） （ ） 40
2
（ ） 8
这两个数的最大公约数是__________，
5
4
这两个数的最小公倍数是__________。
参考答案：1．略；
2．（5，50，10）、10、
200；
