主题
公倍数与最小公倍数
学习目标
1、理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；
教学内容
知识精讲：
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
3、求三个数的最小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
例题精讲
已知，，则A与B的最小公倍数是______．
【难度】★
已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．
【难度】★★
下列说法中正确的个数为（
）个
（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；
（2）若，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；
（5）若（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．
A．0
B．1
C．2
D．3
【难度】★★
两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．
【难度】★★
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）187和442；
（2）36、84和39．
【难度】★★
某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．
【难度】★★
能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．
【难度】★★
已知四位数是24的倍数，则A+B的最大值为多少？
【难度】★★★
动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？
【难度】★★★
某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？
【难度】★★★
甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
【难度】★★★主题
公倍数与最小公倍数
学习目标
1．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；
教学内容
知识精讲：
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
3、求三个数的最小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
已知，，则A与B的最小公倍数是______．
【难度】★
【答案】6300．
【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为．
【总结】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．
已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．
【难度】★★
【答案】8、9．
【解析】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以72可以写成两个
合数的乘积，则这两个数为8和9.
【总结】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
下列说法中正确的个数为（
）个
（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；
（2）若，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；
（5）若（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．
A．0
B．1
C．2
D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．三个正整数只有公因数1，并不能说明两个数的公因数只有1．例如2、
3、4，公因数只有1，但是2和4的公因数有1和2，不是互素的．
对．如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数．
错．互素的两个数的公因数为1．
错．如24能够同时被6、8整除，但24不能被48整除．
错．例如8÷2=4，8与2的最大公因数为2，不是4．
【总结】本题主要考查整除的相关概念，注意认真区分．
两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．
【难度】★★
【答案】36．
【解析】两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．
【总结】通过最小公倍数和最大公因数的求法可知，两个正整数的乘积等于这两个正整数的
最小公倍数和最大公因数的乘积．
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）187和442；
（2）36、84和39．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
最大公因数为17，最小公倍数为17×11×26=4862；
（2）
最大公因数为3，最小公倍数为3×7×12×13=3276．
【总结】考查用短除法求最大公因数和最小公倍数．也可以用分解素因数的方法求最大公因
数和最小公倍数．需要注意两个数字的最大公因数的求法和三个数字的最大公因数的求法不
一样，两个数字的最大公因数为短除法左边素因数乘积即可，但是三个数字的最大公因数是
取三个公有的因数相乘．
某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．
【难度】★★
【答案】131人．
【解析】如果9人一组，则多5人，可以理解成若9人一组，则少4人．则题目可以理解
成若9人一组，则少4人；如果15人一组，则少4人．因为学生人数在130到
140
人，在130到140之间，9和15的公倍数为135，则该年级共有135-4=131人．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．
【难度】★★
【答案】810；1080．
【解析】
因为5、6、9互素，则5、6、9的最小公倍数为5×6×9=270，所以能被5、6、
9整除的数为270的倍数．其倍数中最大的三位数为270×3=810，最小的四位数为
270×4=1080．
【总结】能被整除的数可以转化为求的公倍数的问题来处理．
已知四位数是24的倍数，则A+B的最大值为多少？
【难度】★★★
【答案】16．
【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位
B为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A+2+0+8能被3整除，A最大取8．
此时，8208÷24=342，所以A+B的最大值为8+8=16．
【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．
动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
【答案】540粒；45只．
【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，
则
每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生
粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，
则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数
在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总
共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．
【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．
一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？
【难度】★★★
【答案】37．
【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能
同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为
36+1=37．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个问题了．
某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？
【难度】★★★
【答案】59．
【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1
个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少
1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，
则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
【难度】★★★
【答案】9月14日．
【解析】因为甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次
去少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7
的最小公倍数为105，则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天），即9
月
14日甲、乙、丙同时去少年宫．
【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．
