人教版九年级上册数学 21.2.4 一元二次方程的-根与系数关系 教案

第21.2.4讲---
一元二次方程的根与系数的关系
初中数学
年级
九年级
重难点
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系的应用
【知识储备】
1、请大家按要求方法解下列方程，并完成下列表格
。
①x2
-2x=0(因式分解)
②x2-6x-7=0(配方法)
③x2+x-6=0(公式法)
方程x1x2x1+x2
x1x2x2
-2x=0x2-6x-15=0x2+x-6=0
以小组为单位，两个同学共解一个方程，然后共同填完表格。请第一个完成的小组展示答案。统一答案后，我们来共同观察，方程的两个根的和与两个根的积，与方程的系数有什么关系吗？
温馨提醒：老师给出的这三个方程的系数有什么共同点。（二次项系数为1）
请以小组为单位讨论这类方程的根与系数的关系。
学生回答，老师板书并通过表格验证结论。
若方程的两个根为x1和x2,则x1+x2=-p,
x1x2=q.
趁热打铁练习，如果一个一元二次方程的两个根为2和3，请问这个方程式谁？
2、请大家按要求方法解下列方程，并完成下列表格
①2x2
-6x=0(因式分解)
②3x2+6x-5=0(配方法)
③2x2+5x+3=0(公式法)
方程x1x2x1+x2
x1x22x2
-6x=03x2+6x-15=02x2+5x+3=0
还以小组为单位，两个同学共解一个方程，然后共同填完表格。请第一个完成的小组展示答案。统一答案后，我们来共同观察，方程的两个根的和与两根之积，与方程的系数有什么关系吗？
温馨提醒：老师给出的这三个方程的系数二次项系数不为1.
若方程的两个根为x1和x2,则，
3、推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1
我们就可把它写成
x2+px+q=0．
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
在使用根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）方程有根的前提下才能使用；
（3）在使用时，注意“－
”不要漏写。
例1．已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值．
不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况．
关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围
例4．如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求
的值
例5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：
（1）x2-8x-20=0，(10，-2)；
（2）6y2+19y+10=0，；
（3）a2-2a+3=0，(+，-+)．
【当堂小测】
１.下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0
⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0
⑷.3X2=1
2.判断：方程x2-x+1=0的两根之和为1，两根之积为1.（
）
3.
已知关于x的方程X2－（m+1）X+2m-1=0
则当m=
时,此方程的两根互为相反数.
当m=
时,此方程的两根互为倒数.
4.方程x2-4x+1=0的两个根是x1,x2，则x12+x22=
？
由第4小题引出与两根之积和两根之和有关的变形
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入。
5、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数．
6、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0
（1）两根互为相反数；
（2）两根互为倒数；
（3）有一根为零，另一根不为零．
7、设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．
（1）作一个以-与为根的一元二次方程；
（2）作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．
【课后作业】
1.已知方程2x2+kx-4=0的一个根为-2，求它的另一个根及k的值。
2.利用根与系数关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的
（1）两根之差的平方
（2）两根的倒数和
3.已知x1,x2是方程x2-kx+k+2=0的两个根，且x12+x22=
4
,求k的值。
4、已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值．
/5、已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．