人教版九年级上册数学 21.1一元二次方程 教案

第21.1讲---一元二次方程
初中数学
年级
九年级
重难点
1、一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
2、一元二次方程根的概念；
【知识储备】
知识点一：（一）问题（1）古算趣题：“执竿进屋”
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门竹竿的长为x尺，那么，这个门的宽为(x-4)尺，长为(x-2)尺，
根据题意，得；
整理得；
化简，得．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
比较一元二次方程和一元一次方程的相同点和不同点
一元一次方程
一元二次方程
相同点
一元、整式方程一元、整式方程
不同点
未知数的最高次数是一次未知数的最高次数是二次
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1、将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2、（学生活动：请二至三位同学上台演练）
将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
例3、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
知识点二：问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-12x+20=0
列表：
x1234567891011…x2-12x+2090-7-12-15-16-15-12-709…
问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x123456…x2+7x…
列表：
使一元二次方程
左右两边相等
的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.
求方程的解的过程，叫做解方程.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-12x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
例2.若x=1是关于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
练习:关于x的一元二次方程(a-1)
x2+x+a
2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0
（3）x2-3x=0
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
例4：如下图，有一块矩形铁皮．长100
cm．宽50
cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3
600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为x
cm，则盒底的长为(100―2x)
cm，宽为(50―2x)
cm．根据方盒的底面积为3
600
cm2，得
(100―2x)(50―2x)＝3
600．
整理，得
4x2―300x＋1
400＝0.
化简，得
x2―75x＋350＝0．
【当堂小测】
下列方程是一元二次方程吗？
①x2+5x-7
②5x2
+5x=5
x2+8
③
a
x2+bx+c=0(a、b、c为常数a≠0)
④(x+
2
)(x-
5
)=7
⑤px
2+qx+m=0
⑥x2
+5x
+7=0
⑦x2
+1/x=3
　
⑧3x2
+4xy-5=0
⑨
x2-3/4x-1/2=0
⑩3
x2+5x=7
填空题
①(m-1)x2
-x=1是一元二次方程,则m的取值范围为＿＿
②若关于x的方程（k-2）
-3kx+6k-5=0是一元二次方程,则k＿＿＿它的二次项系数为＿＿＿一次项系数为＿＿
常数项为＿＿（注意：一元二次方程中隐含了二次项系数不为０的条件）
【课后作业】
1．下列方程是一元一次方程的是(　　)
2、下列方程是否一元二次方程
3、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
1.
3x
(x
-
1)
=
5
(x
+
2)
2.
x?
+
5
=
x
(2x
-
5)
3.
-3x
(x
-
6)
=
-5
-
18x
4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
5、某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场．假设共有
x人进入半决赛，则可得关于x的方程______________
6、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。