人教版九年级上册数学 21.2.1 解一元二次方程-配方法教案

第21.2讲---配方法
初中数学
年级
九年级
重难点
1、会用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。
2、经历探索配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想。
3、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的简单一元二次方程。
【知识储备】
请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0
（3）4x2+16x+16=9
(4)
4x2+16x=-7
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
像上面的式子，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0
（2）x2-2x-=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
:配方法届一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
一般地，对于方程x2=p
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根
x1=-,
x2=-；
（2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=
x2=0；
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根.
【典例精析】
1、
解下列关于的一元二次方程.
2.设α和β是方程（x+2）2=9的两个根，求的值.
3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【课后作业】
下列方程中，不能用直接开平方法的是（
）
x2-3=0
B.
(x-1)2-4=0
C.
x2+2x
=0
D.(x-1)2=(2x+1)2
2.下列说法中正确的是（
）
A．方程x2=4两边开平方，得原方程的解为x=2
B．x=3是方程x2=9的根，所以方程的根是x=3
C．方程x2-25=0的根是x=±5
D．方程
x2-32x+64=0有两个相等的根
3.若（x+1）2-1=0,则x的值等于
.
4.若（a2+b2-3）2=25,则a2+b2=___________.
5．解下列方程
（1）2x2+1=3x
（2）3x2-6x+4=0
（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
6、扩展题
（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值
（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数