人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 教案

教学课题
21.3实际问题与一元二次方程
教学目标
知识与技能：学会列一元二次方程解简单应用题。
过程与方法：通过建立方程模型解决实际应用问题。
情感态度与价值观
：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识解决实际问题。
教学重点与难点
重点
列一元二次方程解应用题
难点
找相等关系列方程
教学过程
知识点一：
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：
“审、设、列、解、答”．
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；
(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
2、列方程解应用题的关键
(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；
(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．
★列方程解应用题应注意：
(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；
(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的
知识点二
1、数与数字的关系
两位数=(十位数字)×10＋个位数字
三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字
2、翻一番
翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．
3、增长率问题
(1)增长率问题的有关公式：
增长数=基数×增长率　　　　实际数=基数＋增长数
(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：
　　　　原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的
　说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；
　(2)如果是下降率，则上述关系式为：　　　原来的×(1－增长率)下降期数=后来的
例1：两年前生产
1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产
1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2
元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
例3．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
例4．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考：
(1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
例5
某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?
分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．
解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0
解得t=（s）
答：行驶200m需s．
例6：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
例7
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
提出问题：
（1）第一轮传染了多少个人？
（2）第一轮后共有多少个人患了流感？
（3）第二轮传染了多少个人？
（4）第二轮后共有多少个人患了流感？
师生活动：出示问题，学生先独立思考，尝试完成．了解学生完成的情况，组织各小组展开讨论．教师巡视，获取小组讨论的情况，必要时给予小组点拨和帮助．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意列方程，得
1＋x＋x(1＋x)=121，，即．
解方程，得．
经检验：不符合题意，舍去．
∴x=10．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后共有多少个人患流感？
121＋121×10=1
331(人)．
故按照这样的传染速度，三轮传染后共有1
331个人患流感．
例8.两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数？
解：设一个偶数为2x，另一个偶数为(2x+2),
则
2x(2x+2)=168
解方程，得
x1=
x2
=6
答：
这两个偶数时
12和
14
例9.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，求两条直角边的长.
解：设直角三角形的两条直角边的长分别为
a
,
b
a
+
b=14
a=14-b
=
a
.
b
(14-b)b=24
解方程，
得
b1=
b2
=8
答：直角三角形的两条直角边的长分别为
6
，8
课后练习
1．上海甲商场7月份的利润为100万元，9月份的利润为121万元，乙商场7月份的利润为200万元，9月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大？
某电脑公司2015年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元．如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
3．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30米、宽20米的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路，横、纵路的宽度之比为3︰2．若要使余下的草坪面积是原来草坪面积的，则路宽分别为多少？
4．明德小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪．现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是多少米时，草坪的面积为540平方米？
5、某林场计划修一条长750
m，横断面为等腰梯形的渠道，横断面面积为1.6
m2，上口宽比渠深多2
m，渠底宽比渠深多0.4
m．渠道的上口宽与渠底宽各是多少米？
6.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
参考答案：
1．解：设甲商场的增长率为x．
根据题意列方程，得．
解得x1=－2.1（不合题意，应舍去），x2=0.1=10％．
设乙商场的增长率为y．
根据题意列方程，得．
解得y1=－2.2（不合题意，应舍去），y2=0.2=20％．
∵10%＜20%，
∴乙商场利润的年平均上升率较大．
2．解：设平均每月的增长率为x．根据题意列方程，得
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2=950．
整理，得x2＋3x－1.75=0．
解得x1=0.5=50％，x2=－3.5（不合题意，应舍去）．
答：平均每月的增长率为50％．
3、师生活动：设横路的宽为3x米，则纵路的宽为2x米．由题意，得
．
解得（舍去）．
故横路的宽为米，纵路的宽为米．
答：横路的宽为米，纵路的宽为米．
4．解：设道路的宽为x米．根据题意列方程，得
(32－x)(20－x)=540．
解得（不合题意,应舍去）．
答：道路宽为2米．
5．解：设渠深为x
m，则渠底宽为(x＋0.4)m，上口宽为(x＋2)m．
根据题意列方程，得(x＋2＋x＋0.4)x=1.6．
整理，得5x2＋6x－8=0．
解得x1==0.8，x2=－2（不合题意，应舍去）．
答：上口宽为2.8
m，渠底宽为1.2
m．
6、解：设共有x个队参加比赛,则根据题意列方程，得
x(x-1)=90
解方程
，
得x1=
x2
=-9(舍去)
答：共有10个队参加比赛.