湘教版九年级数学上册第3章图形的相似检测题（word版含答案）

第3章　单元检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．已知3x＝7y(y≠0)，则下列比例式成立的是(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．(2019·兰州)已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝(
)
A．2
B．
C．3
D．
3．观察下列每组图形，相似图形是(
)
4．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3
cm，4
cm，6
cm，另一个三角形的最短边长为4
cm，则它的最长边长为(
)
A．cm
B．8
cm
C．
cm
D．12
cm
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2∶3，已知AB＝3，则DE的长为(
)
A．
B．
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
6．点C是线段AB的黄金分割点(AC＜CB)，若AC＝2，则CB＝(
)
A．＋1
B．＋3
C．
D．
7．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为(
)
A．12尺
B．56尺5寸
C．57尺5寸
D．62尺5寸
8．(2019·哈尔滨)如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(
)
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10
cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2
cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1
cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．(2019·苏州)如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为(
)
A．4
B．4
C．2
D．8
12．(2019·眉山)如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2－2.则其中正确结论的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝4.则线段x的长是(
)．
14．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝(
)，m＝(
)．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
15．如图，∠1＝∠2，若△ABC∽△ADE，可添加的一个条件是(
)．(填写一个条件即可)
16．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(8，0)，B(8，6)，D(0，6)，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是(
).
17．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，点D与点A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝3，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE与△ABC相似时，则线段CE的长为(
)_．
18．如图，在矩形ABCD内放入四个小正方形和两个小矩形后成中心对称图形，其中顶点E，F分别在边AD，BC上，小矩形的长与宽的比值为4，则的值为(
)．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．若＝，求的值．
20．已知P为线段AB上一点，且AB被点P分为AP∶PB＝2∶3；AB＝100
cm.求AB∶BP和PB的长．
21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
22．如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB，CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN.
(1)如果像高MN是35
mm，焦距CL是50
mm，拍摄的景物高度AB是4.9
m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
23．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC，求证：
(1)△DEF∽△CBF；
(2)DF·BF＝EF·CF.
24．(2019·福建)已知△ABC和点A′，如图．
(1)以点A′为一个顶点作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的面积等于△ABC面积的4倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.
25．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点O是坐标原点，点B在x轴的负半轴上，且CB⊥x轴，点A的坐标为(0，6)，在OB边上有一点P，满足AP＝3.
(1)求P点的坐标；
(2)如果△AOP与△APC相似，且∠PAC＝90°，求点C的坐标．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC.
(1)如图1，当n＝时，则的值为____；(直接写出结果)
(2)如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于F，求的值；(用含n的代数式表示)
(3)在(2)的条件下，若PF＝BF，求n的值．
第3章　单元检测题(答案版）
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．已知3x＝7y(y≠0)，则下列比例式成立的是(
B
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．(2019·兰州)已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝(
B
)
A．2
B．
C．3
D．
3．观察下列每组图形，相似图形是(
C
)
4．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3
cm，4
cm，6
cm，另一个三角形的最短边长为4
cm，则它的最长边长为(
B
)
A．cm
B．8
cm
C．
cm
D．12
cm
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2∶3，已知AB＝3，则DE的长为(
B
)
A．
B．
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
6．点C是线段AB的黄金分割点(AC＜CB)，若AC＝2，则CB＝(
A
)
A．＋1
B．＋3
C．
D．
7．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为(
C
)
A．12尺
B．56尺5寸
C．57尺5寸
D．62尺5寸
8．(2019·哈尔滨)如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(
D
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(
C
)
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10
cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2
cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1
cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为(
B
)
A．1
B．2
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．(2019·苏州)如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为(
B
)
A．4
B．4
C．2
D．8
12．(2019·眉山)如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2－2.则其中正确结论的个数是(
B
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝4.则线段x的长是__1__．
14．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝__125°__，m＝__12__．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
15．如图，∠1＝∠2，若△ABC∽△ADE，可添加的一个条件是__∠D＝∠B或∠C＝∠AED或＝__．(填写一个条件即可)
16．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(8，0)，B(8，6)，D(0，6)，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是__(4，3)或(－4，－3)__.
17．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，点D与点A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝3，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE与△ABC相似时，则线段CE的长为__或4__．
18．如图，在矩形ABCD内放入四个小正方形和两个小矩形后成中心对称图形，其中顶点E，F分别在边AD，BC上，小矩形的长与宽的比值为4，则的值为____．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．若＝，求的值．
解：∵＝，∴3a＝2b，∴3a－2b＝0，∴原式＝0
20．已知P为线段AB上一点，且AB被点P分为AP∶PB＝2∶3；AB＝100
cm.求AB∶BP和PB的长．
解：设AP＝2x，则PB＝3x，AB＝5x，∴＝＝；当AB＝100时，＝，∴PB＝60
cm
21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∵△ABD∽△ACE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴＝，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝70°
22．如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB，CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN.
(1)如果像高MN是35
mm，焦距CL是50
mm，拍摄的景物高度AB是4.9
m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
解：∵AB∥MN，∴△LMN∽△LBA，∴＝.
(1)∵像高MN是35
mm，焦距是50
mm，拍摄的景物高度AB是4.9
m，∴＝，解得LD＝7，∴拍摄点距离景物7米
(2)拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，∴＝，解得LC＝70，∴相机的焦距应调整为70
mm
23．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC，求证：
(1)△DEF∽△CBF；
(2)DF·BF＝EF·CF.
证明：(1)因为AE＝EC，所以＝，又AD＝AB，所以＝，则＝，又∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE＝∠ABC，DE∥BC，所以△DEF∽△CBF
(2)由△DEF∽△CBF知＝，所以DF·BF＝EF·CF
24．(2019·福建)已知△ABC和点A′，如图．
(1)以点A′为一个顶点作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的面积等于△ABC面积的4倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.
解：(1)如图1，作线段A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，则△A′B′C′即可所求．证明：∵A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝()2＝4　(2)证明：∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF∽△CAB，同理：△D′E′F′∽△C′A′B′，由(1)可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′
　
25．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点O是坐标原点，点B在x轴的负半轴上，且CB⊥x轴，点A的坐标为(0，6)，在OB边上有一点P，满足AP＝3.
(1)求P点的坐标；
(2)如果△AOP与△APC相似，且∠PAC＝90°，求点C的坐标．
解：(1)∵点A的坐标为(0，6)，∴OA＝6，∵∠AOP＝90°，AP＝3，∴OP＝＝＝3，∴P点的坐标为(－3，0)
(2)∵∠AOP＝∠PAC＝90°，△AOP与△APC相似，∴＝或＝，∴＝或＝，∴AC＝或AC＝6，过C作CD⊥y轴于D，∵∠CDA＝∠PAC＝∠AOP＝90°，∴∠DCA＋∠CAD＝∠CAD＋∠PAO＝90°，∴∠DCA＝∠PAO，∴△ADC∽△POA，∴＝＝，∴＝＝或＝＝2，解得：CD＝3，AD＝1.5或CD＝12，AD＝6，∴OD＝7.5或OD＝12，∴点C的坐标为(3，7.5)或(12，12)
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC.
(1)如图1，当n＝时，则的值为____；(直接写出结果)
(2)如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于F，求的值；(用含n的代数式表示)
(3)在(2)的条件下，若PF＝BF，求n的值．
解：(1)
(2)如图2，过点P作PG∥AC交AB于点G.∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠PCE＝90°，∴∠PCE＝∠CAD，∴∠PCE＝∠PGF，又∵PF⊥AP，∴∠CPE＋∠APG＝∠FPG＋∠APG＝90°，∴∠CPE＝∠GPF，∴△PCE∽△PGF，∴＝，又∵点P是BC的中点，∴AC＝2PG，∴＝＝n
(3)由(2)可知＝n，则可以假设PF＝x，PE＝nx，∵∠GPB＝90°，PF＝BF，则PF＝BF＝GF＝x，则AG＝2x，∵△PCE∽△PGF，∴＝＝，则CE＝nGF＝nx，又∵∠ACB＝90°，则AE＝PE＝nx，在Rt△APF中，AP2＋PF2＝AF2，则x2＋(2nx)2＝(3x)2，∴n＝