湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数检测题（word版含答案）

第4章　单元检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．计算：sin60°·tan30°＝(
)
A．1
B．
C．
D．2
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为(
)
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos
A＝，那么AB的长是(
)
A．5
B．6
C．8
D．9
4．如图，为测量河两岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点16
m的C处(AC⊥AB)，测得∠ACB＝52°，则A，B之间的距离应为(
)
A．16sin52°
m
B．16cos52°
m
C．16tan52°
m
D．
m
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos
A＝，则sin
B＝(
)
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，△ABC在正方形网格中的位置如图示(A，B，C均在格点上)，AD⊥BC于点D.下列四个选项中正确的是(
)
A．sin
α＝cos
α
B．sin
α＝tan
α
C．sin
β＝cos
β
D．sin
β＝tan
β
7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10
m高的天桥一侧修建了40
m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(
)
A．
B．
C．
D．
8．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是(
)
A．0＜a＜1
B．1＜a＜2
C．2＜a＜3
D．3＜a＜4
9．如果sin2α＋cos230°＝1，那么锐角α的度数是(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于(
)
A．a
sin
x＋b
sin
x
B．a
cos
x＋b
cos
x
C．a
sin
x＋b
cos
x
D．a
cos
x＋b
sin
x
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的垂直平分线与CD交于点E，与BC交于点F.若CF＝x，tan
A＝y，则x与y之间满足(
)
A．＋4＝x2
B．－4＝x2
C．－8＝x2
D．＋8＝x2
12．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan
A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是(
)
A．2
B．4
C．5
D．10
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算：4cos60°＝(
)．
14．(2019·怀化)已知∠α为锐角，且sin
α＝，则∠α＝(
)．
15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是(
)．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第18题图))
16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30
m，斜坡AB的坡度为1∶2，则此斜坡AB长为(
)．
17．如图，△ABC中，cos
B＝，sin
C＝，BC＝7，则△ABC的面积(
)
18．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E.若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为(
)．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
21．在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，那么与有什么关系，你能解释一下吗？
22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sin
A的值．
(2)你能通过sin
A的值求sin
∠CBD的值吗？若能，请求出sin
∠CBD的值，若不能，请说明理由．
24．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.(参考数据：≈1.414，≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，tan
∠BAC＝.
(1)如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan
∠BAM的值；
(2)如图2，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan
∠PAC的值．
26．(2019·江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8
cm，CD＝8
cm，AB＝30
cm，BC＝35
cm.(结果精确到0.1)
(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.
①填空：∠BAO＝________°；
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离；
(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6
cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)
第4章　单元检测题(答案版）
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．计算：sin60°·tan30°＝(
B
)
A．1
B．
C．
D．2
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为(
A
)
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos
A＝，那么AB的长是(
B
)
A．5
B．6
C．8
D．9
4．如图，为测量河两岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点16
m的C处(AC⊥AB)，测得∠ACB＝52°，则A，B之间的距离应为(
C
)
A．16sin52°
m
B．16cos52°
m
C．16tan52°
m
D．
m
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos
A＝，则sin
B＝(
A
)
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，△ABC在正方形网格中的位置如图示(A，B，C均在格点上)，AD⊥BC于点D.下列四个选项中正确的是(
C
)
A．sin
α＝cos
α
B．sin
α＝tan
α
C．sin
β＝cos
β
D．sin
β＝tan
β
7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10
m高的天桥一侧修建了40
m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(
A
)
A．
B．
C．
D．
8．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是(
B
)
A．0＜a＜1
B．1＜a＜2
C．2＜a＜3
D．3＜a＜4
9．如果sin2α＋cos230°＝1，那么锐角α的度数是(A
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于(
D
)
A．a
sin
x＋b
sin
x
B．a
cos
x＋b
cos
x
C．a
sin
x＋b
cos
x
D．a
cos
x＋b
sin
x
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的垂直平分线与CD交于点E，与BC交于点F.若CF＝x，tan
A＝y，则x与y之间满足(
A
)
A．＋4＝x2
B．－4＝x2
C．－8＝x2
D．＋8＝x2
12．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan
A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是(
B
)
A．2
B．4
C．5
D．10
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算：4cos60°＝__2__．
14．(2019·怀化)已知∠α为锐角，且sin
α＝，则∠α＝__30°__．
15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是____．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第18题图))
16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30
m，斜坡AB的坡度为1∶2，则此斜坡AB长为__30_m__．
17．如图，△ABC中，cos
B＝，sin
C＝，BC＝7，则△ABC的面积是____．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E.若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为____．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.
解：原式＝2×＋4××－6×()2＝1＋2－3＝0
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∵a2＋b2＝c2，a＝，b＝，∴c＝＝2，∵tan
A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°
21．在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，那么与有什么关系，你能解释一下吗？
解：＝，理由：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴＝
22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC＋∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin
∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10＞10，∴航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sin
A的值．
(2)你能通过sin
A的值求sin
∠CBD的值吗？若能，请求出sin
∠CBD的值，若不能，请说明理由．
解：(1)在Rt△ABC中，sin
A＝＝＝
(2)能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴sin
∠CBD＝sin
A＝
24．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.(参考数据：≈1.414，≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶，∴tan
α＝＝，∴α＝30°　(2)该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1∶，∴tan
∠CAD＝＝＝，解得AD＝6米，∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD－BD＝(6－6)米，又∵PB＝8米，∴PA＝PB－AB＝8－(6－6)＝14－6≈14－6×1.732＝3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，tan
∠BAC＝.
(1)如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan
∠BAM的值；
(2)如图2，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan
∠PAC的值．
解：(1)∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠MAB＋∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBC＋∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB∽△BNC，∴＝＝tan
∠BAC＝.∵点B是线段MN的中点，∴BM＝BN，∴在Rt△AMB中，tan
∠BAM＝＝
(2)如图2，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E.∵tan
∠BAC＝，∠APB＝∠BAC，∴tan
∠BAC＝＝，tan
∠APB＝＝.设BC＝x，则AB＝2x，BP＝4x，则CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.同理(1)中，可得∠BAC＝∠ECD，∴∠APB＝∠ECD.∵DE⊥BP，∴CE＝EP＝CP＝x.同理(1)中，可得△ABC∽△CED，∴＝＝＝，∴在Rt△ACD中，tan
∠PAC＝＝
26．(2019·江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8
cm，CD＝8
cm，AB＝30
cm，BC＝35
cm.(结果精确到0.1)
(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.
①填空：∠BAO＝________°；
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离；
(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6
cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)
解：(1)①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°＋70°＝160°，故答案为：160
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB·sin
∠ABF＝30sin70°≈28.2(cm)，∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF＋OA－CD＝28.2＋6.8－8＝27(cm)
(2)过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2
cm，DH＝6
cm，BC＝35
cm，CD＝8
cm，∴CM＝AF＋AO－DH－CD＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm)，∴sin
∠MBC＝＝＝0.6，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM－∠MBC＝33.2°