人教版数学八年级上册 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 教案

第八.二讲--三角形的高、中线与角平分线
初中数学
年级
八年级
重难点
重点:
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点:
1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
2.钝角三角形高的画法.
3.不同的三角形三条高的位置关系.
【知识储备】
三角形的
重要线段意义图形表示法三角形
的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.三角形
的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的
线段1.AD是△ABC的BC上的中线.
2.BD=DC=BC.三角形的
角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=∠BAC.
【结论一】：每个三角形都能画出三条高。
【结论一】：每个三角形都能画出三条高。
相同点：三角形的三条高交于同一点。
不同点：锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的三条高交于直角的顶点，钝角三角形的三条高交于三角形外一点。
【结论二】：无论哪种三角形，它们都有三条中线，并且这三条中线都交于一点，这一点都在三角形内部。三角形的中线将三角形的面积平均分成两份。三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
【结论三】：无论哪种三角形，它们都有三条角平分线，并且这三条角平分线都交于一点，这一点都在三角形内部。
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系?
三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.
(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段,
而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交,
这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.
三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?
三角形的高、中线和角平分线都代表线段,
这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.
【典例精析】
典例1
已知：钝角△ABC，请画出△ABC的角平分线BD，AB边上的中线和AC边上的高，并用字母表示．
典例2
如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点C到AB的距离为_______.
【答案】B
【详解】解：以CE为高的三角形就是以C为一个顶点，再从B，F，E，D，A中任意选两个点组成，
∴4+3+2+1=10（个）．
∴以CE为高的三角形有10个．
故选：B．
典例4
如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）
A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
典例5．
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，∴∠AED＝85°，∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
典例6．如图，为△ABC的中线，为的中线．
（1），，求的度数；
（2）若△ABC的面积为20，，求△BDE中边上的高．
解：（1）在中，
，，
；
（2）过点作边上的高，
为的中线，为的中线，
，
，
，
的面积为20，，
，
即：
，
；
典例7如图BO、CO分别平分和，DE过点D且，，，求的周长．
解∵BO、CO分别平分和，
，，
又．
，，
，，
，，
∴△ADE周长
【当堂小测】
1、看图填空
①、∵AE是△ABC的角平分线
∴∠
=∠
=
∠
（
）
②、∵AF是△ABC的中线，
∴
=
=
（
③、∵AG是△ABC的高线，
∴∠
=∠
=90°（
）
2、如图∠ACE=∠BCE，BD=CD，指出图中三角形的特殊线段。
3.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B
落在点B′的位置,则线段AC具有性质(
)
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一
4、如图，在ΔABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且
B=50°，
C=60°，则
EAD的度数是（
）
（A）35（B）25（C）15（D）5
5/如图,在⊿ABC中,
∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的
.
①AD是⊿ABE的角平分线
(
)
②BE是⊿ABD边AD上的中线
(
)
③BE是⊿ABC边AC上的中线
(
)
④CH是⊿ACD边AD上的高
(
)
6、如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(
)
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.∠C的对边是DE
【课后作业】
一、单选题
1．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．以上皆不对
2．画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知BD是的中线，，且的周长为11，则的周长是（
）
A．9
B．14
C．16
D．不能确定
4．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）
A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
6．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（　　）
A．BC是△ABC的高
B．AC是△ABE的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
7．如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．下列说法错误的是（
）
A．三角形三条高交于三角形内一点
B．三角形三条中线交于三角形内一点
C．三角形三条角平分线交于三角形内一点
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
9．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（　
　）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题
10．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是___三角形.
11．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2．
12．如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________?．
13．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________
14．如图，以为高的三角形共有___________个.
15．如图，在△ABC中，AB＝2019，AC＝2010，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为________．
三、解答题
16．如图，画出△ABC的AC边上的高BD，再写出图中的直角三角形．
17．如图，中（），，边上中线把的周长分成和两部分，求和的长．
18．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
答案
1．C
2．D
3．A
4．D
5．C
6．C
7．D
8．A
9．D
10．直角
11．12cm2．
12．4
13．8
cm．
14．6
15．9
16．解：如图，BD即为所求作高线，
直角三角形有：Rt△ABD、Rt△BCD．
17．解：设AC=x，则AB=2x，
∵BD是中线，
∴AD=DC=，由题意得，
2x+=30，解得x=12，则AC=12，AB=24，
∴BC=20﹣×12=14．
18．∵CD⊥AB∴∠CDB＝90°.
∵∠B＝60°∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝30°.
∵∠A＝20°∠B＝60°∠A＋∠B＋∠ACB＝180°∴∠ACB＝100°.
∵CE是∠ACB的平分线∴∠BCE＝∠ACB＝50°
∴∠CEB＝180°－∠BCE－∠B＝70°
∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝20°.