人教版八年级上册 11.2.1 三角形的内角教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册 11.2.1 三角形的内角教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 552.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-05 21:05:02 | ||
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文档简介
第八.四讲--三角形的内角
初中数学
年级
八年级
重难点
教学重点：三角形内角和定理及应用。
教学难点：三角形内角和定理证明中辅助线的添加。
知识点一：三角形内角和定理
1、三角形三边满足什么关系？（两边之和大于第三边，两之差小于第三边）。
那么三角形的三个内角有什么关系？你有什么方法得出答案？
答：（1）用量角器量180°。
???
（2）用折纸把三个内角拼在一起。
???
（3）将三角形纸片两个内角剪下拼成一个平角。
小结：我们不能对所有的三角形都进行拼图实验，这需要我们利用所学的知识去证明。
分析证明思路
已知：△ABC求证∠A+∠B+∠C=180°
分析：此题显然是要作辅助线，根据刚才平移角的思路。方法如下
证明：延长BC到D，作CF∥BA?
∴∠ACF=∠A，∠FCD=∠B
???∵?∠ACF+∠FCD+∠ACB=180°
???∴∠A+∠B+∠ACB=180°
另外还有一种作辅助线的方法，学生可以课外证明?
?（1）过A作BC的平行线，图如下?
教师组织学生讨论，放手让学生证明。（证明略）
2、经过证明，发现三角形内角和定理
(1?)定理：三角形内和等于180°。
即????∠A+∠B+∠C=180°
(2?)作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的?一个等量关系，是求三角形时常用的一个条件。
(3?)定理形式的变形：
①∠A?=?180°?―∠B―∠C????????；??????
?②∠B?+?∠?C?=180?°?－?∠A???????。
3、按角对三角形进行分类
三角形中能有几个钝角？几个直角？几个锐角？
（得出三个概念：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形）。
判断下列说法是否正确
三角形的三个内角中，最多有一个是钝角。
三角形的三个内角中至少有两个是锐角。
直角三角形的两个锐角是互余的。
得出推论：直角三角形的两个锐角互余。
知识点二：互余定理。
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°
我们以此可以看出，三角形内角和定理在直角三角形中也是适用的，成立。
从上面我们可以得出：∠A+∠B的和是多少？
生：90度。
师：对，这两个角的和恰好等于∠C的大小，这不是一种巧合，这是直角三角形的一个性质。
我们得出：在直角三角形中，如果两个锐角的和等于90°，那么我们说这两个锐角是互余的。
正在这里，我们有一种专门的标记直角三角形的特殊符号：“Rt”
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
【典例精析】
例1已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
?
证明：过点A
做BC边平行线L，使L∥BC
∵
L∥BC
∴
∠1=
∠4,
∠3=
∠5（两直线平行内错角相等）
∵
∠1,
∠2,
∠3组成平角（平角定义）
∴
∠1+∠2+∠3=180°
则∠2+∠4+∠5=180°（等量代换）
三角形内角和等于180°
例2
图8
如图8，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.
在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°.
图9
例3
如图9是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.
∵
AD∥BE，∴
∠BAD+∠ABE=180°.
∴
∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°.
∴
∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB=180°－60°－30°=90°.?
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
图10
例4
如图10所示，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.?
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵
∠AEC=∠BED，∴
∠CAE=∠DBE.
例5：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:7，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：2x、3x、7x,
由三角形内角和为180°，得：2x+3x+7x=180°
所以三个内角度数分别为30°,45°,105°。
【当堂小测】
1、如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
2、
如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠D=75°，则∠B的数为（
）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
3、如图,
在△ABC中,
BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB.
1).若∠A=60°,求∠BOC的度数.
2).若∠A=α,求∠BOC的度数.
【课后作业】
1、
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）则∠BAE＝
；
（2）求∠DAE的度数．
2、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C的度数．
初中数学
年级
八年级
重难点
教学重点：三角形内角和定理及应用。
教学难点：三角形内角和定理证明中辅助线的添加。
知识点一：三角形内角和定理
1、三角形三边满足什么关系？（两边之和大于第三边，两之差小于第三边）。
那么三角形的三个内角有什么关系？你有什么方法得出答案？
答：（1）用量角器量180°。
???
（2）用折纸把三个内角拼在一起。
???
（3）将三角形纸片两个内角剪下拼成一个平角。
小结：我们不能对所有的三角形都进行拼图实验，这需要我们利用所学的知识去证明。
分析证明思路
已知：△ABC求证∠A+∠B+∠C=180°
分析：此题显然是要作辅助线，根据刚才平移角的思路。方法如下
证明：延长BC到D，作CF∥BA?
∴∠ACF=∠A，∠FCD=∠B
???∵?∠ACF+∠FCD+∠ACB=180°
???∴∠A+∠B+∠ACB=180°
另外还有一种作辅助线的方法，学生可以课外证明?
?（1）过A作BC的平行线，图如下?
教师组织学生讨论，放手让学生证明。（证明略）
2、经过证明，发现三角形内角和定理
(1?)定理：三角形内和等于180°。
即????∠A+∠B+∠C=180°
(2?)作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的?一个等量关系，是求三角形时常用的一个条件。
(3?)定理形式的变形：
①∠A?=?180°?―∠B―∠C????????；??????
?②∠B?+?∠?C?=180?°?－?∠A???????。
3、按角对三角形进行分类
三角形中能有几个钝角？几个直角？几个锐角？
（得出三个概念：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形）。
判断下列说法是否正确
三角形的三个内角中，最多有一个是钝角。
三角形的三个内角中至少有两个是锐角。
直角三角形的两个锐角是互余的。
得出推论：直角三角形的两个锐角互余。
知识点二：互余定理。
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°
我们以此可以看出，三角形内角和定理在直角三角形中也是适用的，成立。
从上面我们可以得出：∠A+∠B的和是多少？
生：90度。
师：对，这两个角的和恰好等于∠C的大小，这不是一种巧合，这是直角三角形的一个性质。
我们得出：在直角三角形中，如果两个锐角的和等于90°，那么我们说这两个锐角是互余的。
正在这里，我们有一种专门的标记直角三角形的特殊符号：“Rt”
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
【典例精析】
例1已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
?
证明：过点A
做BC边平行线L，使L∥BC
∵
L∥BC
∴
∠1=
∠4,
∠3=
∠5（两直线平行内错角相等）
∵
∠1,
∠2,
∠3组成平角（平角定义）
∴
∠1+∠2+∠3=180°
则∠2+∠4+∠5=180°（等量代换）
三角形内角和等于180°
例2
图8
如图8，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.
在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°.
图9
例3
如图9是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.
∵
AD∥BE，∴
∠BAD+∠ABE=180°.
∴
∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°.
∴
∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB=180°－60°－30°=90°.?
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
图10
例4
如图10所示，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.?
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵
∠AEC=∠BED，∴
∠CAE=∠DBE.
例5：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:7，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：2x、3x、7x,
由三角形内角和为180°，得：2x+3x+7x=180°
所以三个内角度数分别为30°,45°,105°。
【当堂小测】
1、如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
2、
如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠D=75°，则∠B的数为（
）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
3、如图,
在△ABC中,
BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB.
1).若∠A=60°,求∠BOC的度数.
2).若∠A=α,求∠BOC的度数.
【课后作业】
1、
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）则∠BAE＝
；
（2）求∠DAE的度数．
2、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C的度数．