(共17张PPT)
知识回顾
A
B
C
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2.全等三角形有什么性质？
３.已知
，试找出其中相等的边与角
≌
相等的边有：
相等的角有：
全等三角形的对应边相等，对应角相等
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
A
B
C
≌
如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的一部分，那么能否保证△ABC与△A'B'C'全等呢？
一个条件可以吗？
两个条件可以吗？
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
一个条件可以吗？
有一条边相等的两个三角形
不一定全等
2.有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
两个条件可以吗？
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60°
300
不一定全等
有两个角对应相等的两个三角形
3.有一个角和一条边对应相等的两个三角形
2.有两条边对应相等的两个三角形
4cm
6cm
不一定全等
300
60o
4cm
6cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
三个条件可以吗？
4.三个角。
1.三条边；
2.两边一角；
3.
两角一边；
如果给出三个条件画三角形,有哪几种可能的情况？
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，A'C'=AC，B'C'=BC；
1、画线段B'C'=BC；
2、分别以B',C'为圆心,
线段AB，AC为半径画弧,
两弧交于点A’；
3、连接线段A'B',A'C'；
C
A
A'
B
C'
B'
把你所画的三角形撕下来，放到ΔABC上，它们全等吗？为什么？
以上反应了什么规律？
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
三边对应相等的两个三角形全等
（简写成“边边边”或“SSS”）
A
B
C
A′
B′
C′
AB＝A'B'
AC＝A'C'
BC＝B'C'
∴
△ABC≌△A'B'C'（SSS）
∵在△ABC和△A'B'C'中
例
A
C
B
D
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
如图,
△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证:△ABD≌△ACD
求证：∠B=∠C
∴∠B=∠C
练
【例】如图,AB＝AC,BD＝CE,AD＝AE,求证：△ABE≌△ACD.
证明：∵BD＝CE，
∴BD＋DE＝CE＋ED，
即BE＝CD.
在△ABE和△ACD中，
AB＝AC,
BE＝CD,
AE＝AD,
∴△ABE≌△ACD(SSS).
练
如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,
从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(
)
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
C
探索新知
新知:全等形的判定(SSS)
我们利用前面的结论，
还可以得到作一个角等于已知角的方法。
例2：已知∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB
作法：
1.以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D；
2.画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A,于点C'；
3.以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D'；
4.过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB
课堂小结
2.
三边对应相等的两个三角形全等
（简写
“边边边”
或“SSS”）；
1.
知道三角形三条边的长度怎样画三角形；
3.“边边边”的应用方法:
证明线段(或角)相等
转
化
证明线段(或角)
所在的两个三角形全等
课堂小结
1.
(1)三边分别相等的两个三角形______，
简写成“_______”或“______”.
用数学语言表述：
AB=A′B′，
AC=______，
BC=______，
∴△ABC≌_________(______).
用上面的规律可以判断两个三角形_________.
“SSS”是证明三角形全等的一个依据.
全等
在△ABC和△A′B′C′中,
边边边
SSS
A′C′
B′C′
△A′B′C′
SSS
全等
课堂小结
2.
如图，AB=DE，AC=DF，BF=EC.
(1)若BC=18cm，则EF=______；
(2)若∠B=50°,∠D=70°,则∠DFE=_____.
3.
如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F是BC边的四等分点，则图中全等三角形共有(
)
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对
18cm
60°
C
课堂小结
4.如图,在△ABC中,AB＝AC，D为BC中点,
AD⊥BC,∠BAD＝35°,则∠C的度数为(
)
A.
35°
B.
45°
C.
55°
D.
60°
5.如图,已知AB＝CD,AD＝CB,则下列结论不一定正确是(
)
A.AB∥DC
B.∠B＝∠D
C.∠A＝∠C
D.AB＝BC
C
D
课后作业
1.《学导练》P21
2.《课堂小测本》P125(共16张PPT)
情境导入
上节课我们讨论了两个三角形有三组对应相等的元素，
有几种情况？
4.三个角。
1.三条边；
2.两边一角；
3.
两角一边；
60°
300
300
60o
情境导入
判定方法
SSS
SAS
AAS
ASA
探索新知
新知:全等三角形的判定（HL）
如图，Rt△ABC中，∠C
=90°，
直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,
对直角三角形是否适用？
探索新知
新知:全等三角形的判定（HL）
2.斜边和一个锐角对应相等
3.一条直角边和一锐角对应相等
4.两直角边对应相等
两个直角三角形，满足以下条件，这两个直角三角形全等吗？
1.三边对应相等
【SSS】
【AAS】
【ASA】
【AAS】
【SAS】
5.斜边和一条直角边对应相等???
证明三角形全等
不存在【SSA】定理.
探索新知
新知:全等三角形的判定（HL）
画一个△A'B'C',使∠C'=∠C=90°,B'C'=BC,A'B'=AB，
1.画线段B'C'=BC；
C'
B'
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
2.画∠C'=∠C=90°；
3.画线段A'B'=AB；
A'
把你所画的三角形撕下来，放到ΔABC上，它们全等吗？为什么？
以上反应了什么规律？
探索新知
新知:全等三角形的判定（HL）
斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
AB＝A'B'
BC＝B'C'
∴
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）
∵在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中
符号语言
例
例5
如图,AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：∵
AC⊥BC，
BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°.
AB=BA,
AC=BD
.
在Rt△ABC和Rt△BAD
中，
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL).
∴
BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
练
【例1】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，
下列条件能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的有( )
①AC=A'C'，∠A=∠A'；
②∠A=∠A'，∠B=∠B'
；
③AB=A'B'，AC=A'C'；
④AB=A'B'，∠A=∠A'；
⑤AC=A'C'，BC=B'C'.
A.
2个 B.
3个 C.
4个 D.
5个．
Ｃ
１．如图，在△ABC和△CDE中，
已知AC=CD，AC⊥CD，∠B=∠E=90°，
则下列结论不正确的是( )
A．
∠A与∠D互为余角
B．
∠A=∠2
C．
△ABC≌△CED
D．
∠1=∠2
Ｄ
练
练
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝3，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和与AC垂直的射线AX上移动，当AP＝＿＿＿＿＿时，才能使△ABC与△QPA全等.
3或7
练
2．如图，已知AD，AF分别是
两个钝角△ABC和△ABE的高，
如果AD=AF，AC=AE,求证：BC=BE．
证明:∵AD，AF是△ABC和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°
在Rt△ADC和Rt△AFE中
AC=AE，
AD=AF，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
在Rt△ABD和Rt△ABF中
AB=AB，
AD=AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HT).
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF，
即BC=BE．
课堂小结
1.
_______________________的两个直角三角形______
（可以简写成“____________”或“______”）．
斜边和一条直角边分别相等
全等
斜边、直角边
HL
3.
使两个直角三角形全等的条件是( )
A.
一个锐角对应相等
B.
两个锐角对应相等
C.
一条边对应相等
D.
两条边对应相等
Ｄ
课堂小结
2.如图,AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.
(1)若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF______
（填“全等”或“不全等”），根据______（用简写法）；
(2)若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF______
（填“全等”或“不全等”），根据______（用简写法）；
(3)若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF______
（填“全等”或“不全等”），根据______（用简写法）；
(4)若AB=DE，AC=DF，则△ABC与△DEF______
（填“全等”或“不全等”）,根据______（用简写法）.
全等
ASA
全等
AAS
全等
SAS
全等
HL
课堂小结
4.
如图,在△ABC中,AB＝AC,若AD⊥BC,
则判定△ABD≌△ACD的方法是( )
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.HL
5.
如图,DE⊥AB，
DF⊥AC，
AE＝AF，
请找出一对全等的三角形：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
Ｄ
Rt△AED≌Rt△AFD
课后作业
1.《学导练》P30-31
2.《课堂小测本》P129-130
3.
试卷
注：国庆收假后，三项交齐(共20张PPT)
情境导入
判定方法
判定1:三边对应相等的两个三角形全等
（简写成“边边边”或“SSS”）
判定2:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS”）
情境导入
上节课我们讨论了两个三角形有三组对应相等的元素，
有几种情况？
4.三个角。
1.三条边；
2.两边一角；
3.
两角一边；
探索新知
全等三角形的判定
如果已知两个三角形有两角一边对应相等时，
应分为几种情形讨论？
角－角－边
角－边－角
Ａ
Ａ
Ａ'
Ａ'
Ｂ
Ｂ'
Ｂ
Ｂ'
Ｃ
Ｃ
Ｃ'
Ｃ'
探索新知
新知1:全等形的判定(ASA)
角－边－角
画一个△A'B'C'，使B'C'=BC，
∠B'=∠B，∠C'=∠C
1.画线段B'C'=BC；
2.画∠B'=∠B；
4.A'B'与A'C'相交于点A'；
C
A
A'
B
C'
B'
把你所画的三角形撕下来，放到ΔABC上，它们全等吗？为什么？
以上反应了什么规律？
3.画∠C'=∠C；
探索新知
新知1:全等形的判定(ASA)
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角边角”或“ASA”）
A
B
C
A′
B′
C′
∠B＝∠B'
∠C＝∠C'
BC＝B'C'
∴
△ABC≌△A'B'C'（ASA）
∵在△ABC和△A'B'C'中
例
例3.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,
求证：AD=AE
证明:
在△ADC和△AEB中
∠A=∠A
AC=AB
∠C=∠B
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE
A
E
D
C
B
练
【例】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD＝AE，
求证：BE＝CD.
证明：∵∠3＝∠4,∠1＝∠2
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠ADC＝∠AEB.
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A,
AE=AD,
∠AEB=∠ADC,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴BE＝CD.
练
如图，点A,B,C,D在同一条直线上，
BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.
求证：AE=FC.
证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D.
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，
AB=FD，
∠A=∠F,
∴△ABE≌△FDC(ASA).
∴AE=FC.
探索新知
新知2:全等形的判定(AAS)
例4.如图,在△ABC和△DEF中,∠A＝∠D,∠B＝∠E,BC＝EF,
求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC中,∠A+∠B+∠C＝1800,
∴
∠C＝180°－∠A－∠B
同理∠F
＝180°－∠D－∠E,
又∵
∠A
＝∠D,
∠B＝∠E,
∴
∠C＝∠F,
在△ABC和△DEF中
∠B＝∠E,
BC＝EF,
∠C＝∠F,
∴
△ABC
≌△DEF
（ASA）
角－角－边
Ａ
D
Ｂ
E
Ｃ
F
探索新知
新知2:全等形的判定(AAS)
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
A
B
C
A′
B′
C′
∠C＝∠C'
AB＝A'B'
∠B＝∠B'
∴
△ABC≌△A'B'C'（AAS）
∵在△ABC和△A'B'C'中
练
【例】如图,△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点E，
且∠A＝∠D，AB＝DC，∠ABC=∠DCB.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB＝50°时,求∠EBC的度数.
(1)证明:在△ABE和△DCE中，
∠A＝∠D，
∠1＝∠2，
AB＝DC,
∴△ABE≌△DCE(AAS).
(2)解:∵△ABE≌△DCE，
∴∠3＝∠4.
∵∠ABC=∠DCB,
∴∠5＝∠6.
又∵∠1=∠5+∠6=50°,
∴∠5=25°,
即∠EBC=25°.
2
1
3
4
5
6
练
如图,在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D,E，AD,CE交于点H，已知EB＝3，AE=CE＝4，求CH的长.
解:∵AD⊥BC，
∴∠1+∠B=90°.
∵CE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°.
∴∠B=∠2.
在△AEH和△CEB中，
∠2=∠B,
∠AEH=∠CEB,
AE=CE,
∴△AEH≌△CEB(AAS).
1
2
∴EH=EB.
∵EB=3，AE=CE=4，
∴CH=CE-EH=4-3=1.
课堂小结
1.(1)__________________________的两个三角形______
（可以简写成“角边角”或“______”）.
（2）如图，请用数学语言表述:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠B=∠B′，
BC=_____，
∠C=_____，
∴△ABC≌__________(_____).
两角和它们的夹边分别相等
全等
ASA
B′C′
∠C′
△A′B′C′
ASA
课堂小结
2.
如图，△ABC≌△DBE
,
∠DBA=35°,
则∠EBC=_______.
3.
如图，∠CAE＝∠DAB，AB＝AD，请你再补充一个条件_____________，使得△ABC≌△ADE(ASA).
35°
∠B＝∠D
课堂小结
4.如图，AB＝AC，∠B＝∠C，
BE，CD相交于点O，则直接判定
△ABE≌△ACD的依据是(
)
A.SAS
B.ASA
C.SSA
D.AAA
5.
在△ABC和△DEF中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件( )
A.
AB=ED B.
AB=FD
C.
BC=DE D.
∠A=∠F
B
Ｃ
课堂小结
1.(1)______________________________的两个三角形全等
（可以简写成“角角边”或“______”）.
（2）如图，请用数学语言表述:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′，
∠B=_____，
BC=_____，
∴△ABC≌_________（_____）.
两角和其中一个角的对边分别相等
AAS
∠B′
B′C′
△A′B′C′
AAS
课堂小结
2.
如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，
要证明△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据，
还需添加的条件为_______________；
(2)若以“ASA”为依据,还需添加的条件为____________；
(3)若以“AAS”为依据,还需添加的条件为_____________.
BE=CF或BC=EF
∠A=∠D
∠ACB=∠DFE
3.如图①,已知△ABC的六个元素,则图②中
甲,乙,丙三个三角形,与△ABC全等的是(
)
A.
甲和乙
B.
乙和丙
C.
只有乙
D.
只有丙
4.
能确定△ABC≌△A1B1C1的条件是( )
A.
AB＝AC，
A1B1＝A1C1，
∠A＝∠A1
B.
AC＝A1C1，
∠A＝∠A1，
∠B＝∠B1
C.
BC＝B1C1，
AC＝A1C1,
∠A＝∠B
D.
∠A＝∠A1，
∠B＝∠B1，
∠C＝∠C1
课堂小结
B
B
课后作业
1.《学导练》P26、P28
2.《课堂小测本》P127-P128(共17张PPT)
知识回顾
三边对应相等的两个三角形全等
（简写成“边边边”或“SSS”）
A
B
C
A′
B′
C′
AB＝A'B'
AC＝A'C'
BC＝B'C'
∴
△ABC≌△A'B'C'（SSS）
∵在△ABC和△A'B'C'中
知识回顾
上节课我们讨论了两个三角形有三组对应相等的元素，
有几种情况？
4.三个角。
1.三条边；
2.两边一角；
3.
两角一边；
探索新知
新知:全等形的判定(SAS)
如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，
应分为几种情形讨论？
边－角－边
边－边－角
Ａ
Ａ
Ａ'
Ａ'
Ｂ
Ｂ'
Ｂ
Ｂ'
Ｃ
Ｃ
Ｃ'
Ｃ'
探索新知
新知:全等形的判定(SAS)
边－边－角
12cm
300
30o
12cm
8cm
8cm
探索新知
新知:全等形的判定(SAS)
边－角－边
画一个△A'B'C'，
使A'B'=AB，
∠B'=∠B，
B'C'=BC；
1.画线段B'C'=BC；
2.以B'为圆心,画∠B'=∠B；
4.连接线段A'C'；
C
A
A'
B
C'
B'
把你所画的三角形撕下来，放到ΔABC上，它们全等吗？为什么？
以上反应了什么规律？
3.以B'为圆心,画线段A'B'=AB；
探索新知
新知:全等形的判定(SAS)
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS”）
A
B
C
A′
B′
C′
AB＝A'B'
BC＝B'C'
∠B＝∠B'
∴
△ABC≌△A'B'C'（SAS）
∵在△ABC和△A'B'C'中
例
2.如图，点E,F在BC上,BE＝CF，AB＝DC，
∠B＝∠C,
求证:∠A＝∠D.
A
B
E
D
C
F
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝EF＋ED，
即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
AB＝DC,
∠B＝∠C
BF＝CE,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴∠A＝∠D
练
【例1】如图，A,F,C,D四点同在一条直线上，
AF＝DC，AB∥DE,且AB＝DE。
求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)∠CBF＝∠FEC.
证明：(1)∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D.
又∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋CF,
即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中
AB＝DE,
∠A＝∠D，
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
在△FBC和△CEF中
BC＝EF，
∠ACB＝∠DFE
FC=CF,
∴△FBC≌△CEF(SAS).
∴∠CBF＝∠FEC.
练
1．
如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD，
经分析，有＿＿＿＿≌＿＿＿＿,此时有∠F=＿＿＿.
△ADF
△BCE
∠E
例
例2
如图有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CA=CD；连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,量出DE的长就是A、B的距离,为什么？
A
B
E
D
C
1
2
证明：
CA=CD，
在△ABC与△DEC中
∠1=
∠2
，
CB=CE，
∴
△ABC≌
△DEF(SAS）
解:(1)测量方案:先在平地上取一个可直接到达A,B的点C，
连接AC,BC，并分别延长AC至点E,BC至点D,使EC=AC，DC=BC，
最后测出DE的距离即为AB的距离.
（2）理由如下：在△EDC和△ABC中，
EC=AC，
∠DCE=∠BCA，
DC=BC，
∴△EDC≌△ABC（SAS）.
∴ED=AB，即DE的距离就是AB的距离．
练
【例2】如图,A,B两点分别位于一个假山两边,请你利用全等三角形的知识设计一种测量A,B间距离的方案,并说明其中的道理
（1）写出一种测量方案；（2）说明理由.
练
2．如图，将两根等长钢条AA′,BB′的中点O连在一起，
使AA',BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是(
)
A.
边边边
B．边角边
C．角边角
D．角角边
B
课堂小结
1.
(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形______，简写成“________”或“________”.
（2）如图，请用数学语言表述:
AB=A'B'，
∠B=________，
BC=________，
∴△ABC≌________（_____).
全等
边角边
SAS
∠B′
B′C′
△A′B′C′
SAS
在△ABC和△A'B'C'中,
课堂小结
2.如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB∥DE,
AB＝DE,BE＝CF.若AC＝6,则DF＝_____.
3.如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,OB=OC,
则下列结论正确的是(
)
A.
△AOB≌△DOC
B.
△ABO≌△DOC
C.
∠A=∠C
D.
∠B=∠D
6
Ａ
课堂小结
4.下列四组条件中,
能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.
AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF
B.
AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF
C.
BC＝EF，∠C＝∠F，AB＝DE
D.
AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF
5.图中甲,乙,丙三个三角形与如图①的△ABC全等的是(
)
A.
甲 B.
乙
C.
丙
D.
甲和丙
Ｄ
Ｂ
课后作业
1.暗线本A
PT
2.《学导练》P-P
3.《课堂小测本》P-P
